TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

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1 TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare il valore di x [ log e t + ) ] + at + t c dt. x 0 x 0 ] Studiare, per a R, la convergenza dell integrale improprio + x ) a log x + log 3 x dx. 3] Dopo aver determinato, al variare di a R, la soluzione y a del problema di Cauchy y y y = 4 e x x) y 0) = 0, y 0) = 3a stabilire per quali valori di a esiste ed è finito e calcolarlo. l = y a x) x x, 4] Determinare, al variare di p > 0, il carattere della serie + ) n + n p sin x dx. x + n= n

2 ] Se f è una funzione continua in un intorno di t = 0, infinitesima, e tale che la funzione F x) = x f t) dt soddisfa 0 F x) = f t) = bt k + o t k) per t 0 )) b k + xk+ + o x k+) per x 0 e quindi x F x) b k + xk. Quando x 0, questa quantità non ammette ite se k = 0; il ite invece esiste se k, e vale b quando k =, mentre vale 0 se k. Perciò, studiamo quali valori si ottengono per b e k in ), in dipendenza dai parametri a e c. Abbiamo, per t 0 f t) = log e t + ) + at + t c log c e quindi f è infinitesima cioè k ) solo se c = log. Con questa scelta f t) = log e t + ) + at + t = log + t + + a ) t + o t) = + a 4 ) t + o t) log = log = log + e t + + at + t ) + a ) ) t + o t) 4 e quindi per a 4 otteniamo k = e b = + a 4, ed il ite cercato vale Se invece a = 4, otteniamo k, ed il ite cercato vale 0. Riassumendo, il ite cercato esiste solo per c = log, e vale + a ). 4 + a ). 4 ] La funzione integranda è definita, continua e positiva in, + ). Per x + abbiamo f x) x a log x e si ha integrabilità solo per a. Per x + conviene porre x = + ε, con ε 0 +. Otteniamo f + ε) = εa log + ε) + log 3 + ε) εa+, integrabile per a >. Quindi, l integrale improprio converge per a, ].

3 3] Si tratta di un problema di Cauchy con equazione differenziale lineare del II ordine, non omogenea, a coefficienti costanti. Con l equazione caratteristica P λ) = λ λ = 0 troviamo i valori λ = e λ =. Così, la generica soluzione dell equazione differenziale lineare associata è y H x) = c e x + c e x. Cerchiamo una soluzione particolare della forma u x) = Ae x + mx + q). Derivando due volte, e sostituendo nell equazione differenziale, otteniamo A =, m = e q =. Perciò, la generica soluzione dell equazione assegnata è y x) = c e x + c e x e x + x. Imponendo le condizioni iniziali troviamo c = a e c = a +. Perciò y a x) = a) e x + a + ) e x e x + x. Per ottenere un ite finito quando x è necessario scegliere a =, ed in questo caso otteniamo l =. 4] La funzione integranda soddisfa Poiché n + n x + x + il termine generale a n della serie soddisfa f x) = sin x x + 3 x +. dx = log x]+n n = log n + n + = log + ) n, n + n p a n = n p n + n sin x x + dx ) 3n p e la serie converge se e solo se p <. Negli altri casi la serie diverge a +. 3

4 Prova scritta del 5 giugno 003 ] Trovare i punti stazionari della funzione f : R R definita da e determinarne la natura. f x, y) = x + 3xy + x ] Calcolare dove F x) x x 0 + x 4 F x) = x 0 sin t + cos t) log + t) dt. 3] Determinare, al variare di y 0 R, la soluzione del problema di Cauchy + x ) y = + y y 0) = y 0 e tracciarne un grafico qualitativo. 4] Calcolare, al variare dei parametri α, β R, il ite n + n + + αn log n n + + βn log /n). 4

5 ] La funzione è di classe C R ), ed il suo gradiente vale f x, y) = + x ) 4x + 3y) + x ) 4x x + 3xy ), 3x + x )). La derivata f si annulla solo se x = 0, e da questo si ricava che l unico punto stazionario y è 0, 0). Si tratta di un punto di sella, perchè f x, 0) = x x 0 e f x, x) = + x + x 0 ] La funzione F è derivabile, il ite cercato è della forma 0, e quindi possiamo 0 provare a calcolarlo utilizzando il criterio de l Hôpital: F x) x x 0 + x 4 = x 0 + F x) x 4x 3 = x 0 + sin x + cos x) log + x) x 4x 3 =... Ci troviamo ancora con una forma 0, ed applichiamo una seconda volta il criterio 0 cos x sin x) log + x) + sin x + cos x)... = + x x 0 + x ) + x) x x + o x ) x x + o x )) = + x x) x ) + x x + o x ) + x 4x + + x) x =. 5

6 3] Si tratta di un problema di Cauchy con equazione differenziale lineare del I ordine, a coefficienti continui in R. Le variabili possono essere separate; notiamo dapprima che, se y 0 =, la funzione costante y x) è una soluzione. Se invece y 0 abbiamo y + y = + x da cui e quindi log + t ] y y 0 = arctan t] x 0 = arctan x y x) = + y 0 ) e arctan x ] a n = n + + αn log n n + + βn log /n) = α n log n) + n + β) n log n) + n + per cui se β 0 il ite vale α, mentre se β = 0 ed α 0 il ite vale + ) sgn α); β infine, se α = β = 0 il ite vale. 6

7 Prova scritta del 3 luglio 003 ] Trovare i punti stazionari della funzione f : R R definita da e determinarne la natura. f x, y) = xye x e y ] Sia data la funzione F x) = x t te t dt. Determinarne: insieme di esistenza, iti, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, concavità. Tracciarne un grafico qualitativo. 3] Determinare per quali valori del parametro reale β la soluzione y = y x) del problema di Cauchy y 3y + y = e x y 0) = 3 y 0) = β soddisfa x + e x y x) = 0. 4] Sia data la successione u n } definita come: [ )] u n = n α n sin + n con α R. Determinare per quali valori α le serie sono entrambe convergenti. + n= u n n e + n= n 3 u n 7

8 ] La funzione è di classe C R ), ed il suo gradiente vale f x, y) = ye x + xye x, xe x e y ) = x + ) ye x, xe x e y ) che si annulla se x + ) y = 0, xe x = e y cioè nel solo punto α, 0), dove α 0, ) è l unica soluzione dell equazione xe x =. Calcolando la matrice hessiana otteniamo ye x x + ) e x x + ) Hf x, y) = e x x + ) e y e quindi det Hf α, 0) = + α) e α < 0, per cui α, 0) è un punto di sella. ] La funzione integranda f t) = t è definita e continua in R\ 0}, e non è te t integrabile in senso improprio in un intorno destro di t = 0, per cui la funzione integrale F è definita solo per x 0, + ). Inoltre, F ) = 0, e F x) = f x) 0 se e solo se x. Perciò, F presenta un punto di minimo assoluto in x =. Il segno di f, e la sua non-integrabilità in t = 0, permettono di concludere che F x) = +. Invece, l integrabilità in senso improprio) di f in x 0 + un intorno di + porta ad avere F x) = β > 0. x + Per quanto riguarda la concavità: x F x) = xe x ) = x + x + x e x. Questa quantità è non-negativa solo per x 0, + 3]

9 3] Si tratta di un problema di Cauchy con equazione differenziale del II ordine, lineare, non omogenea, a coefficienti costanti. Iniziamo con lo studiare l equazione omogenea associata, il cui polinomio caratteristico è la sua soluzione generale è data da P λ) = λ 3λ + = λ ) λ ) ; y H x) = Ae x + Be x, A, B R. Poiché il termine che rende non omogenea l equazione è e x, e poiché λ = è una radice semplice di P, cerchiamo una soluzione particolare della forma u x) = cxe x. Si ricava facilmente c =, e quindi la soluzione generale della nostra equazione ha la forma y x) = Ae x + Be x + xe x, A, B R. Le condizioni iniziali richiedono che 3 = A + B β = A + B + = A = 8 β B = β 5 e quindi la soluzione del problema di Cauchy è y x) = 8 β) e x + β 5) e x + xe x. La condizione x + e x y x) = 0 è perciò soddisfatta solo per β = 5. 4] Per n + abbiamo [ )] u n = n α n sin + n n α = n + n ) nα 4. [ n α n ] + n Allora u n n nα 5 e n 3 u n n, α per cui deve essere 5 α > α > ossia < α < 4. 9

10 Prova scritta del ottobre 003 ] Determinare l insieme di definizione della funzione F x) = x e tracciarne poi un grafico qualitativo. e t t t dt ] Sia f : R R definita da f x, y) = x x + y y ). Determinarne i punti stazionari, e stabilire la loro natura. 3] Sia data l equazione differenziale y = x) y + x x +. a) Determinarne una soluzione della forma y x) = x n, n N. b) Risolvere il problema di Cauchy y = x) y + x x + y 0) = 4] a) Determinare A, B, C R tali che t 3 t = A t + B t + C t +. b) Calcolare il valore di 4 dt t 3 t. 0

11 e t ] La funzione integranda f t) = t è definita e continua in [0, 4) 4, + ) ; t in t = 4 il denominatore ha uno zero del I ordine, per cui f non è integrabile in senso improprio in un intorno sinistro di t = 4. Così la funzione integrale F è definita solo per x [0, 4). Inoltre, F ) = 0, e F x) = f x) < 0 per ogni x [0, 4). Il segno di f, e la sua non-integrabilità in t = 4, permettono di concludere che F x) =, mentre x 4 F 0) = β > 0. 4 ] La funzione è di classe C R ), pari rispetto alla variabile x, ed il suo gradiente vale f x, y) = x x + y y), x y ) )), ) che si annulla nei punti ± 4, e in tutti i punti della forma 0, y), y R. È possibile evitare il ricorso alla matrice hessiana, considerando il segno di f. Infatti, f si annulla sull asse y e nei punti della circonferenza di centro 0, /) e raggio /; è positiva esternamente alla circonferenza, e negativa internamente. Perciò, i punti 0, y) con 0 < y < sono punti di massimo debole), quelli con y < 0 oppure y > sono ) punti di minimo debole), i punti 0, 0) e 0, ) sono di sella, e i punti ± 4, sono di minimo forte)

12 3] L equazione differenziale assegnata è del I ordine, lineare e non omogenea. Sostituendo y x) = x n, otteniamo da cui nx n = x n x) + x x + x n+ x n + nx n = x x + che diviene un identità se n =. Perciò y x) = x è una soluzione particolare dell equazione data; per l equazione omogenea associata y = x) y, separando le variabili otteniamo una soluzione della forma y x) = e x x. Quindi, tutte e sole) le soluzioni dell equazione di partenza hanno l aspetto y x) = x + ce x x, c R. Sostituendo la condizione iniziale otteniamo c =. 4] Per ottenere t 3 t = A t + dobbiamo chiedere da cui segue B t + C t + = A t ) + Bt t + ) + Ct t ) t 3 t A + B + C) t + B C) t A = A =, B = C =. Perciò 4 dt t 3 t = = 4 t + ) 4 dt t + [ log t ) log t ] 4 = log t dt 5.

13 Prova scritta del gennaio 004 ] Determinare la natura dei punti stazionari della funzione f x, y) = x 4 + x y x y. ] Stabilire per quali versori v = v, v ) R esiste la derivata direzionale D v f 0, 0) della funzione calcolata nell origine. f x, y) = log + x y ) 3] Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = + x ) y x y ) = 4 4] Calcolare, per α R, il } αe x 3 cos x x 0 + x. 3

14 ] La funzione è di classe C R ), pari rispetto alla variabile x, ed il suo gradiente vale f x, y) = x x + y y), x y ) )), ) che si annulla nei punti ± 4, e in tutti i punti della forma 0, y), y R. È possibile evitare il ricorso alla matrice hessiana, considerando il segno di f. Infatti, f si annulla sull asse y e nei punti della circonferenza di centro 0, /) e raggio /; è positiva esternamente alla circonferenza, e negativa internamente. Perciò, i punti 0, y) con 0 < y < sono punti di massimo debole), quelli con y < 0 oppure y > sono ) punti di minimo debole), i punti 0, 0) e 0, ) sono di sella, e i punti ± 4, sono di minimo forte) ] La quantità cercata D v f 0, 0) si ottiene calcolando il purché questo ita esista e sia finito. Esplicitando i calcoli f tv, tv ) f 0, 0) t 0 t f tv, tv ) f 0, 0) t 0 t log + t v v ) ) log = t 0 t t v v ) t = = t 0 t t 0 t, v v e quindi il ite cercato esiste, e vale 0, solo nel caso v = v. log + = t 0 ) t v v ) t 4

15 3] Abbiamo un equazione differenziale lineare del I ordine, con coefficienti continui in 0, + ), e la formula risolutiva ci porta alla soluzione globale) [ x y x) = exp = e x log x = ex x = ex x = ex x t ) ] dt 4 + t x x x [ exp t } e t ++log t dt = ex 4 + x } t)e t dt = ex 4 x } x e x} = x e u du = ex x 9e x s ) ] } ds dt s x x 4 e x }. 0 } te t dt } e u du Questa soluzione non può essere prolungata a sinistra di x = 0, perché è ilitata per x 0 +. ) } 4] Utilizzando lo sviluppo di McLaurin, arrestato al II ordine, per l espressione a numeratore, otteniamo αe x 3 cos x = α e ex 3 cos x = α [ + x + o x )] 3 [ x e + o x ) ] α ) α = e 3 + e + 3 ) x + o x ) per cui, dividendo per x, otteniamo: } αe x 3 cos x = x 0 + x se α < 3e 9/ se α = 3e + se α > 3e 5

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