UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Corso di Analisi Matematica III - 9 CFU C.d.S. Triennale in Matematica A.A. 2016/2017 I Esercitazione 12 Aprile 2017

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1 C.d.S. Triennale in Matematica A.A. 2016/2017 I Esercitazione 12 Aprile 2017 Esercizio 1. Data la successione di funzioni f n t = en1+t4 + e nt2 n 3 + e, t R, n1+t2 a determinare l insieme di convergenza puntuale di f n n in R e nei suoi sottoinsiemi; b studiare la convergenza uniforme di f n n in 1, 1, in 0, 1 e in 0, b, 0 < b < 1; c provare che e nt2 n 3 + e 1 a2 n1+t2 enb2, t [a, b], 0 < a < b < 1; d studiare la convergenza uniforme di f n n in [a, b], 0 < a < b < 1, utilizzando c; 1/2 e calcolare lim n 1/4 e n1+t4 [n 3 + e n1+t2 2 ] dt; f la convergenza totale di f nt in [a, b], 0 < a < b < 1. Esercizio 2. Data la seguente serie di potenze [ 1 cos arctan 3 n cos 1 3 n ]z n, a determinare il disco di convergenza della serie; b studiare il comportamento della serie sul bordo del disco di convergenza. Esercizio 3. Data la seguente serie trigonometrica [ sinhn 1/n log 1 + e 1/n log log 1 + 1n ] sin 2nx, α > 1 β 2, β > 0, n α stabilire se è la serie di Fourier di una funzione f L 2 T R, specificando il valore del periodo T

2 A.A. 2016/2017 II esercitazione 8 Giugno 2017 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = y log1 + 5x2 y 2 y0 = π, 1 + x 6 + e x6 + y 2 tracciare un grafico qualitativo della soluzione. sinh y 4 + arctanx 2 + 1, Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy { x = fx, x0 = 0, 0 < α < 1 2, con fx = e 1/ arctan x α e 1/ x α e 1/ x α se x x 4α 0 se x = 0 studiare l esistenza locale e dire se si verifica il fenomeno del pennello di Peano. Esercizio 3. Calcolare Σ z x2 + y 2 ds ove Σ = {x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0, x 2 + y 2 6x}.

3 A.A. 2016/ Giugno 2017 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = y log1 + 5x2 y 2 + y 2 sinh y 4 + arctanx 2 + 1, 1 + x 6 + e x6 y0 = π, tracciare un grafico qualitativo della soluzione. 1 1 f n t = log 1 + nt2 + 1 nt2 + 1, t R, a determinare l insieme I di convergenza puntuale di f n n ; b studiare la convergenza uniforme di f n n in I e in [a,, a > 0; c studiare la convergenza totale di f n t in I e in [a,, a > 0; d studiare la convergenza totale di e calcolare lim n 1 Esercizio 3. Calcolare 0 f n t sin 1 2 dt. n Σ f n t sin 1 n in I e in [a,, a > 0; z x2 + y 2 ds ove Σ = {x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0, x 2 + y 2 6x}. Esercizio 4. Data la seguente serie trigonometrica log cos 1 1 n 2 n 2 cosh sin nx n stabilire se essa è la serie di Fourier di una funzione in C T, specificando il valore del periodo T.

4 A.A. 2016/ Giugno 2017 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy 1 y = log x 1 y , y1 = 3, tracciare un grafico qualitativo della soluzione. f n t = t log log t 1 n, t > 1, t a provare che f n n converge puntualmente in 1, ; b studiare la convergenza uniforme di f n n in 1, e nei suoi sottoinsiemi; c studiare la convergenza totale di f n t in 1,, in [a, b], 1 < a < b e in a,, a > 1. Esercizio 3. Risolvere il seguente problema di Cauchy W 1 t 2, yt = 1, y0 = 2 Esercizio 4. Stabilire se la seguente serie trigonometrica tan 3 9n 2 + n 3n n sin nx arccos n é la serie di Fourier di una funzione in C T, fornendo anche l espressione di T.

5 5 A.A. 2016/ Luglio 2017 Esercizio 1. Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy y = λy y 3, al variare di λ R. y0 = k R, f n t = t 3 n n t, t 0, a determinare l insieme A R + 0 di convergenza puntuale di f n n ; b studiare la convergenza uniforme di f n n in A e nei suoi sottoinsiemi; c studiare la convergenza puntuale e uniforme di f n t in A; c studiare la convergenza totale di f n t in [0, M], 0 < M < 1. Esercizio 3. Risolvere il seguente problema di Cauchy y = x2 y 2 + x 2 y y 3 x 2 y 2 + xy 2 x, 3 y1 = 1. Esercizio 4. Stabilire se la seguente serie trigonometrica 2n x α + 1 2/3 dx sin nx, α > 3, n è la serie di Fourier di una funzione in C T, fornendo anche l espressione di T.

6 A.A. 2016/ Settembre 2017 Esercizio 1. Siano p 1 t e p 2 t due funzioni continue e u e v due funzioni di classe C 2 tali che u + p 1 tu = 0, v + p 2 tv = 0 in a, b, a < b, con v 0 in [a, b]. Si chiede di : a provare che vale la seguente identità u u v uv = p 2 p 1 u 2 + v u v u 2 v b dedurre da a che se p 2 t > p 1 t in a, b e ua = ub = 0, allora u non può essere positiva in a, b. e t n 1 f n t = t 0, t a determinare l insieme I di convergenza puntuale di f n n e determinare il limite puntuale f; b studiare la convergenza uniforme di f n n in I e nei suoi sottoinsiemi; c studiare la convergenza puntuale di f n t in I; d stabilire se la serie f n t converge uniformemente in I; e studiare la convergenza totale di f n t in I e in, a, a < 0. Esercizio 3. Calcolare zds ove Σ è il grafico della funzione fx, y = xy sull insieme Σ D = {x, y R 2 : x 2 + y 2 1, 0 y 3x}. Esercizio 4. Data la seguente serie trigonometrica n + n + n 1 sin 1 + n n α + 1 sin nx, 0 < α < 1 2, stabilire se essa è la serie di Fourier di una funzione in L 2 T, specificando il valore del periodo T.

7 A.A. 2016/ Gennaio 2018 Esercizio 1. Tracciare un grafico qualitativo della soluzione del seguente problema di Cauchy y = y4 1 y cosh y x 2 x3 arctan 2 + x, 2 y0 = 2. f n t = sinh t n, t R, a determinare l insieme A R di convergenza puntuale di f n n ; b studiare la convergenza uniforme di f n n in A e nei suoi sottoinsiemi [a, b], < a < 0 < b < ; c studiare la convergenza puntuale e uniforme di f n t in [a, b], < a < 0 < b < ; d studiare la convergenza totale di α 0, 1. f n t n α in [a, b], ove < a < 0 < b < e Esercizio 3. Data la serie numerica a termini positivi la seguente serie trigonometrica p a n p a n a p+1 n a n convergente, stabilire se an sin nx, p > 0, è la serie di Fourier di una funzione in L 2, fornendo anche l espressione di T.

8 A.A. 2016/ Febbraio 2018 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y y α = 1 + sinh y α y0 = 0, 3 [ y α arctan ] y α, sin y α ove α 0, 1/3, a studiare l esistenza locale e dire se si verifica il fenomeno del pennello di Peano; b dimostrare che ogni soluzione massimale è globale; c calcolare lim x yx e lim x yx. f n x = log 1 + n + 1 n x arctan, x R, n N n + 4 n a studiare la convergenza puntuale e uniforme di f n x n in R; b studiare la convergenza totale di f nx su R e sugli insiemi limitati di R; c stabilire se vale F x = f nx, in [a, b], < a < b <, ove F x = f nx Esercizio 3. Data la seguente serie di trigonometrica cosh e 2n + sinh e a2 n n a + 3 n a + 4 an+n a+1 cos 2nx, a > 0, stabilire se è la serie di Fourier di una funzione analitica in R, specificando il valore del periodo T.

9 A.A. 2016/ Febbraio 2018 Esercizio 1. Dato il sistema y 1 = 2y 1 y 2 2y 3 + e 2x y 2 = 2y 2 + 3y 3 + 2, y 3 = 2y 3, y 1 0 = 1, y 2 0 = 2, y 3 0 = 0. a scrivere il sistema in forma compatta Y = AY + B, Y 0 = Y 0 ; b decomporre la matrice A nella somma di due matrici, una delle quali nilpotente, e dedurne l espressione di e Ax e di e Ax ; c determinare l integrale generale del sistema omogeneo associato e poi infine calcolare la soluzione del sistema. n α + 1 f n x = arctan n 2α + cos1/n e x n, x R, α 0, 1, si chiede di studiare: a la convergenza puntuale e uniforme di f n x n in R; b la convergenza totale di f nx in R e nei sottinsiemi di R. Esercizio 3. Sia c n n una successione a termini positivi e tale che c n <. Stabilire se la seguente serie trigonometrica ] 1 + c n [c 2/cn n log 1 + c n sin 2nx, è la serie di Fourier di una funzione analitica in C T, specificando il valore del periodo T. Esercizio 4. Calcolare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze n n n n n n log z n n + 1