Esercitazione di Metodi Matematici per l Ottica del E. Scoppola. y 1 x, 1 y 1, x > 0, y < log x

Transcript

1 Esercitazione di Metodi Matematici per l Ottica del E. Scoppola Esercizio Determinare gli insiemi di definizione delle funzioni: fx) = x y y ) /4 loge x ) + loglog x y), gx) = x y y Per fx) abbiamo le condizioni: corrispondenti a e dunque alla regione x y, y, x >, log x y > y x, y, x >, y < log x Per gx) abbiamo le condizioni: x y >, y >, e x > corrispondenti a e dunque alla regione y < x, y >, x >

2 Esercizio Studiare la continuità delle seguenti funzioni nell origine: { x xy if x, y), ) fx, y) = +y if x, y) =, ) { x 6 x gx, y) = 6 +y if x, y), ) if x, y) =, ) La funzione fx, y) è continua poiché usando la disuguaglianza otteniamo xy x + y xy x + y x + y e dunque per ogni ɛ esite δ = ɛ tale che xy ɛ x + y per ogni x, y) tale che x + y < δ. La funzione gx, y) non è continua infatti lim x,y),) x 6 x 6 + y non esiste visto che vale se x, y), ) lungo l asse y e vale se x, y), ) lungo l asse x. Esercizio Determinare il gradiente e la derivata direzionale delle seguenti funzioni nelle direzioni indicate

3 fx, y) = xe xy + y 7, v =, ), P =, ) gx, y) = x + y), v =, ), P =, ) Abbiamo che calcoliamo in P : fx, y) = e xy + xy), x e xy + 7y 6) f, ) =, 7) Normalizzando il vettore v otteniamo ˆv =, ) e dunque fˆv, ) = 7 = 4 gx, y) = ) x + y), x + y) g, ) = 6, 6) e dunque g v, ) = 6 Esercizio 4 Determinare modulo e argomento dei numeri complessi Abbiamo da cui θ = e dunque z = + i, z = i z = + =, cos θ =, sin θ = z = e i z = 9 + =, cos θ =, sin θ = da cui θ = e dunque z = e i Esercizio 5 Studiare il carattere delle serie numeriche: S = S = n= a n n, a n= n n n 4 +

4 S è una serie a termini non negativi che per il criterio del rapporto converge per a [, ) e diverge per a >. Infatti a n+ a n = an+ n + ) n a n = a n n + ) a Per a = la serie è una serie armonica generalizzata convergente. La serie S ha termini positivi per n abbastanza grandi n > ) e per il criterio del confronto è convergente infatti n n n 4 + che è convergente armonica generalizzata). Esercizio 6 Calcolare < n n 4 = n + n 4 n n + 4 n Abbiamo in entrambi i casi la somma di due serie geometriche: + n 4 n = 4 n + n 4 n = /4 + /4 = = 6 n + ) n + 4 n = 4 n = + 4 = 6 Esercizio 7 Sviluppare in serie di Taylor attorno al punto x = le funzioni fx) =, gx) = log + x), hx) = + x x a, a Per sviluppare fx) possiamo usare la serie geometrica di ragione x ottenendo fx) = + x = ) n x n e per la funzione gx) possiamo ricordare che integrando lo sviluppo precedente otteniamo ) n gx) = log + x) = n + xn+ Per la funzione hx) utilizziamo sempre la serie geometrica osservando che x a = a 4 x/a

5 e otteniamo Esercizio 8 x a = x n a n+. Sviluppare in serie di Fourier in [, ] le funzioni cosh ax = eax + e ax, sinh ax = eax e ax La funzione cosh ax è una funzione pari dunque gli unici coefficienti di Fourier diversi da zero sono le a. Abbiamo a = a = e ax + e ax dx = [ ) )] e a e a = a e a e a) = a e ax + e ax cos xdx = a sinha) e ax + e ax) cos xdx Calcoliamo integrando due volte per parti gli integrali eax cos xdx e e ax cos xdx, otteniamo: da cui e ax cos xdx = sin xeax e analogamente e dunque da cui a e ax cos xdx = e ax sin xdx = a cos xeax a [ ] + a ) e a e ax cos xdx = a [ ] + a ) e a a = ) a sinh a + a cosh ax = sinha) [ a + = a ) + a cos x ] a Analogamente per la funzione sinh ax che è una funzione dispari abbiamo che gli unici coefficienti di Fourier diversi da zero sono le b. b = e ax e ax sin xdx = Di nuovo integrando due volte per parti otteniamo da cui e ax sin xdx = cos xeax + a e ax sin xdx = e ax e ax) sin xdx e ax cos xdx = [ + a ) 5 e a] ) e a ) a e ax cos xdx e ax sin xdx

6 e analogamente Otteniamo in conclusione e dunque e ax sin xdx = b = sinh a sinh ax = [ + a ) + a )[ e a e a] = e a] + a ) sin x 6