PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA II (V.O.), ANNO 2002

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1 PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA II (V.O.), ANNO 22 Prova scritta del 1/1/22 Si esamini la serie di funzioni: 1 log x (e n + n), definita per x IR. Si determini l insieme S in cui tale serie converge, si controlli se in S la convergenza é uniforme, e se nell insieme S [ A+1, + [ si ha convergenza A totale, ove A = numero lettere del nome. Si determini la totalitá delle soluzioni della seguente equazione differenziale: e si trovi quella soluzione y che verifica: (sin x) y + (sin x) y = cos 2x, lim y (x) = lim y (x) =. x x π/2 Determinare i massimi e minimi liberi (se ve ne sono) della funzione nel suo campo di definizione. h(x, y) = xy + 1 xy + B log xy + B xy + 1, Soluzioni compito 1/1/2 Dato che la successione a n = 1 log(e n +n) é infinitesima dello stesso ordine di 1 n, per n che tende a +, la serie data converge per x > 1 e diverge per x 1. Non si ha convergenza uniforme in S =]1, + [, (altrimenti si dovrebbe avere convergenza anche per x = 1) ma si ha convergenza totale in [ A+1 A, + [, essendo ivi 1 log x (e n +n) 1 log a (e n +n), ove a = A+1 A. E facile notare che y 1 = cos x e y 2 = sin x costituiscono un sistema fondamentale per l equazione omogenea associata. Mediante il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, si determina facilmente una soluzione particolare: y = (sin x) log (sin x). Essa é anche la soluzione particolare che verifica le condizioni ai limiti imposte. 1

2 Studiando la funzione ϕ(t) = t + 1 t + B log t + B t + 1, si vede facilmente che essa é definita per t < B e t > 1. (Chiaramente, si presume B > 1). t = B e e 1. Si vede inoltre che tale funzione ammette solo un massimo relativo per Di conseguenza, la funzione data ammette massimi relativi nei punti (x, y) con xy = B e, in quanto verificanti la condizione xy > 1. e 1 Prova scritta del 21/3/22 Si consideri la successione di funzioni, definita da: x2 + nx + n 2 n, x f n (x) = x 1, x =. 2 Si studi la convergenza puntuale in IR, e si stabilisca se sussiste anche convergenza uniforme, o in tutto IR o almeno in [, A] ove A = numero lettere del nome. Si risolva il sistema di equazioni differenziali: { y = y t x = x + 2y con t [, 1], e con i seguenti dati iniziali: y() = 1, x() =, y () = 2, x () = 1. Sia Γ la curva in IR 2 definita dalle equazioni parametriche: { x(t) = te t Γ : y(t) = t + e t con t [, 1]. Si determini l area della regione di piano E delimitata dalla curva Γ, e dalle rette x = e, y = 1. Soluzioni compito 21/3/22 2

3 Per x, risulta lim n + x2 + nx + n 2 n x x + n = lim n + x2 + nx + n 2 + n = 1 2, quindi la successione data converge puntualmente alla costante 1 2. Risulta poi: f n (n) = 2 1+, per ogni n, il che ovviamente esclude che la convergenza 3 possa essere uniforme in IR. Nell intervallo ], A], ponendo u = x, si puo scrivere n f n (x) = 1 + u 1 + := g(u); 1 + u + u2 poiché risulta lim u g(u) = 1, se ne deduce che, per ogni ε > esiste un δ > tale 2 che g(u) 1 < ε quando u < δ. Ora, in ], A] risulta x A e u A/n, pertanto, 2 scelto n > A/δ, si ha g(u) 1/2 < ε, e quindi in [, A] la convergenza é uniforme. La prima equazione ha ovviamente come soluzione la funzione y(t) = t + e t. Sostituendo y nella seconda equazione, si trova: x x = 2e t. Col dato iniziale assegnato, la soluzione é x(t) = te t. Adoperando le formule di Green, l area di E é data da: e+1 xdy = e dy + te t (1 + e t )dt, F r(e) 1 1 poiché il tratto orizzontale non da contributo. Un semplice calcolo fornisce il risultato: mis(e) = e 2 5/4 e 2 /4 = 3e Prova scritta del 24/4/22 Si consideri la successione di funzioni f n (x) = e nx x 2 + n 2 3

4 definita per x. Si determini quindi l insieme A di convergenza della serie n=1 f n(x), e si denoti con S(x) la somma di tale serie, per x A. Si dimostri che S é decrescente in A. Si puo dire che S é continua in A? Si puo dire che S (x) = n=1 f n(x) in A? Si trovino tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali: y (x) + y(x) = 2z (x) z (x) y (x) = xz(x) 2 2 Si consideri il solido Q, definito da: Q = {(x, y, z) IR 3 : z 1 (x 2 + y 2 )}. Si determini il volume di Q, e la quota z G del suo baricentro. Soluzioni compito 24/4/22 Risulta, ovviamente, f n (x) 1 n 2, per ogni n e ogni x : per cui la serie data é totalmente convergente nell insieme assegnato: dunque A = [, + [. Dato che si ha convergenza uniforme, e che le funzioni f n sono continue, per noti teoremi anche S é continua, in A. Derivando f n, si ottiene f n(x) = ne nx x 2 +n 2 2xe nx (x 2 +n 2 ) 2. Da cio si vede chiaramente che ogni f n é decrescente, e quindi anche la somma S lo é. Infine, essendo f n() = 1 n, é chiaro che la serie n=1 f n(x) non é convergente in tutto A. Si ha tuttavia f n(x) ne nε n 2 + e nε non appena x ε, per qualsiasi fissato ε >, e dunque S risulta derivabile per ogni x >, e si ha S (x) = n=1 f n(x) per x >. 4

5 Un confronto immediato tra le due equazioni porta alla relazione y(x) = xz(x). Da qui, derivando, si ottiene y = z + xz, e y = 2z + xz. Sostituendo quindi nella prima equazione, si ricava xz + xz = e quindi le soluzioni z = A cos x + B sin x, y = Ax cos x + Bx sin x. Il volume di Q non é altro che l integrale: V = (1 x 2 y 2 )dxdy D ove D é il cerchio, nel piano xy, di centro l origine e raggio 1. Si ha pertanto V = 2π ( 1 (1 ρ 2 )ρdρ)dθ = 2π( ) = π 2. Per quanto riguarda la quota del baricentro, é z G = 1 1 ρ 2 ( zdz)ρdρdθ = 2 V D 1 ρ(1 ρ 2 ) 2 dρ = 1 3. Prova scritta del 18/6/22 Data la successione di funzioni dimostrare che: f n (x) = nx n (1 x) log x, x [, 1] i) ogni f n é integrabile in s.g. e calcolare 1 f n(x)dx; ii) verificare che la successione (f n ) converge puntualmente ad una funzione f, anch essa integrabile; iii) verificare se risulta 1 lim n f n (x)dx = 1 f(x)dx. 5

6 Data l equazione differenziale x 3 y + xy = 1 trovare l espressione dell integrale generale. Data la forma differenziale lineare y(log(xy) + 1)dx + x(log(xy) + 1)dy si verifichi che é chiusa nel primo quadrante e si valuti il suo integrale curvilineo lungo un qualunque arco della curva y = k/x, con k costante positiva, e < α < x < β. Si determini il potenziale U, sapendo che esso é della forma U(x, y) = f(xy). Soluzioni compito 18/6/22 Dato che la funzione log x é un infinito in di ordine inferiore rispetto a 1 x, tutte le funzioni f n sono limitate, e pertanto integrabili anche in senso classico. L integrale si calcola facilmente per parti: 1 f n (x)dx = 2n 2 + 3n (n + 1) 2 (n + 2) 2. Anche il limite puntuale é di facile individuazione: lim n f n (x) = per ogni x, e ovviamente la funzione limite é integrabile. Infine, poiché l integrale di f n tende a, si ha anche il passaggio a limite sotto il segno di integrale. L equazione omogenea associata é del tipo di Eulero: x 2 y + y =. Un sistema fondamentale é dato da y 1 (x) = 3 x sin( 2 log(x)), y 2(x) = 3 x cos( 2 log(x)). Una soluzione particolare dell equazione completa é: y(x) = 1, e quindi la soluzione 3x generale é: y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + 1 3x. 6

7 La verifica della chiusura é un calcolo semplice. Per quanto riguarda l integrale curvilineo, esso si riconduce a: β ( k x (log(k) + 1) x(log(k) + 1) k ) dx. x 2 α Poiché l integranda é identicamente nulla, cosi é l integrale. Da cio si deduce che U(x, y) = f(xy), per opportuna funzione f. Impostando le condizioni si ricava: U x = y(log(xy) + 1), U y f (t) = log(t) + 1 = x(log(xy) + 1) da cui ovviamente f(t) = t log t e quindi il potenziale cercato é della forma: con C costante arbitraria. U(x, y) = xy log xy + C Prova scritta del 28/9/22 Sia f : [, 1] R, la funzione definita da f(x) = x sin t t Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di funzioni f( x n ). 2 (Sugg: si faccia uso del teorema di derivazione sotto il segno di serie) n=1 dt. Calcolare il seguente limite: lim n + B n 7 y (1 + nx) 2 dxdy,

8 dove B n = {(x, y) : x 2 + y 2 n, x, y }. Calcolare la distanza dall origine dell insieme B = {(x, y) : x <, y 1 x }. (Si ricorda la formula che esprime la distanza di un punto P da un insieme B: d(p, B) = inf{ P b : b B}). Soluzioni compito 28/9/22 Intanto, la serie di funzioni data converge banalmente a per x =. La serie derivata é data da per x, e da 1 n 2 sin x/n 2 x/n 2 = 1 x 1 n 2 sin x n 2, per x = (basta mandare a limite il termine generale della precedente, per x ). La serie derivata é dominata da 1 n 2, sia per x vicino a che per x lontano da, e quindi risulta totalmente convergente. Se ne conclude che la serie iniziale converge uniformemente in tutto IR. Usando le coordinate polari, l integrale diventa: ( n ) π/2 ρ 2 sin θ n dρ (1 + nρ cos θ) dθ = ( nρ )ρ2 dρ = n L ultimo integrale si risolve tramite la divisione tra polinomi, e si ottiene n e quindi il limite cercato é 1 2. ρ nρ dρ = n n + log(1 + n n) n 3 8 ρ nρ dρ.

9 Notiamo che minimizzare la distanza o il suo quadrato é la stessa cosa. Per ogni punto (x, y) B, si ha d((x, y), (, )) 2 = x 2 +y 2. Evidentemente, non vi sono minimi liberi, nella regione indicata, e quindi ricerchiamo i minimi sulla frontiera di B: pertanto, poniamo y = 1 e minimizziamo la funzione x f(x) = x x. 2 Poiché f (x) = 2x4 2, si vede facilmente che x = 1 é l unico valore accettabile di x 3 x che rende minima f, e corrisponde al punto ( 1, 1) di B. Dunque, la distanza cercata é 2. Prova scritta del 9/12/22 Si consideri la successione di funzioni (f n ), definita da: f n (x) = n x+1/n x t dt per ogni x IR. Si determini l insieme S IR in cui si ha convergenza, e si controlli se in S si ha convergenza uniforme. Sia A il numero delle lettere del nome. Siano poi C 1 e C 2 le curve piane di equazioni { { x = A cos t x = (A + 1) cos t C 1 ; C 2, t [, 2π]. y = (A + 1) sin t y = (A + 1) sin t Considerata la regione di piano E, contenuta nel semipiano x, e delimitata dalle due curve suddette, si determini il baricentro di E. Data l equazione differenziale x 2 (log x 1)y xy + y =, determinarne tutte le soluzioni y che verificano lim x + y(x) = +. 9

10 Soluzioni compito 9/12/22 Usando il teorema della media, vediamo che risulta f n (x) = x + θ n ove θ é un numero opportuno in [, 1], dipendente da x e da n. Chiaramente allora si ha lim n f n (x) = x per ogni x IR. Distinguendo i casi x > e x <, si vede facilmente che la convergenza é uniforme sia in ], [ che in ], + [ e quindi si ha convergenza uniforme in tutto IR. La regione E é differenza di una semiellisse e una semicirconferenza: la sua area é dunque S(E) = ((A+1)2 A(A+1))π = (A+1)π. L ordinata del baricentro é nulla 2 2 per motivi di simmetria, dunque resta da calcolarne l ascissa x G. Usando ad esempio le formule di Green, si ottiene 2S(E)x G = F r(e) Si deduce quindi x 2 dy = π/2 π/2 ((A + 1) 3 A 2 (A + 1)) cos 3 θdθ = 4 (A + 1)(2A + 1). 3 x G = 8 3π (A ). Una soluzione particolare é immediata: y 1 = x. Adoperando note formule, si ricava una seconda soluzione, linearmente indipendente: y 2 = log x. La soluzione generale é dunque y = c 1 x + c 2 log x e quelle che soddisfano al limite indicato sono tutte quelle per cui é c 2 <. 1