Secondo appello di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti. Tema n 1.

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1 Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) 1. Si consideri il problema di Caucy: y + ex 1+e x y = e x y ) = 1 a. Prima di risolverlo, stabilire in base alla teoria l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione. b. Risolvere il problema di Caucy, semplificando l espressione ottenuta per la soluzione.. Si consideri la funzione: x y per x, y), ) f x, y) = x +y per x, y) =, ). a. Stabilire se f è continua in, ). b. Stabilire se f è derivabile in, ), calcolando in caso affermativo f, ). c. Stabilire se f è differenziabile in, ), giustificando la risposta.. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = 6e y x 1 y) + e y.. Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse z di una lamina piana omogenea di massa m ce nel piano xy è descritta in coordinate polari da: ) θ Ω = ρ, θ) : ρ R, θ, π]} π dove R > è un parametro fissato. 1

2 5. Si consideri il solido: C = x, y, z) : z, y, x + y ) } Rz con R, > parametri fissati. Dopo aver riconosciuto di quale solido elementare si tratta e averne quindi calcolato il volume senza bisogno di integrali!), calcolarne il centroide mediante opportuni integrali, e sfruttando opportunamente le simmetrie). 6. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale piano F = y, x) lungo l arco di curva γ : x = cos t y = sin t t, π ]. 7. Si consideri la funzione π-periodica definita in π, π] da 1 se x π, π] f x) = se x π, ) π 1 se x ] π, π a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f e scrivere la serie di Fourier.

3 Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Es Tot. Punti 1. Si consideri il problema di Caucy: y + ex 1+e x y = e x y ) = 1 a. Prima di risolverlo, stabilire in base alla teoria l intervallo più ampio su cui sarà definita la soluzione. b. Risolvere il problema di Caucy, semplificando l espressione ottenuta per la soluzione. a. Equazione lineare del prim ordine a coeffi cienti continui su tutto R, perciò la soluzione sarà definita e C 1 su tutto R. b. a x) = ex 1 + e x ; A x) = e x 1 + e x dx = log 1 + ex ). } } y x) = e c Ax) + e Ax) b x) dx = e log1+ex ) c + e log1+ex) e x dx = e x c + } 1 + e x ) e x dx = e x c + x e x }. Imponiamo la condizione di Caucy: = e x 1 = y ) = 1 c } c = c + e x + 1 ) dx } e la soluzione è: y x) = e x + x e x }. Si consideri la funzione: x y per x, y), ) f x, y) = x +y per x, y) =, ).

4 a. Stabilire se f è continua in, ). b. Stabilire se f è derivabile in, ), calcolando in caso affermativo f, ). c. Stabilire se f è differenziabile in, ), giustificando la risposta. a. x y x x + y x + y + y x + y x + y x y = x x + y y = x + y per x, y), ) e per il criterio del confronto, f x, y) per x, y), ), perciò è continua in, ). b. f x, ) = x = x = x x, perciò x x f, ) = x f, y) = y = y y y = y, perciò f, ) = 1 y in particolare f è derivabile in, ), con f, ) =, 1). c. f x, y) f, ) x, y) x + y = x y x +y + y = x y + y x + y x + y x + y g x, y). x + y La funzione f è differenziabile in, ) se e solo se g x, y) per x, y), ). Tuttavia g y, y ) = y6 y + y y = y6 + y 1 ) y y + y y y + 1 y = y + 1 ) 1 y + 1 sgn y) ± per y. In particolare, g x, y) non tende a zero per x, y), ), e f non è differenziabile in, ).. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = 6e y x 1 y) + e y.

5 fx = 1xe y x 1 y) = ] f y = 6e y x y 1) + e y = x 1 y) = e x 1 y) + 1 = La prima equazione dà x = o y = 1. Se x =, 1 y) + 1 = y = Se y = 1, e x + 1 = x = ± log e i punti stazionari sono:, ), ± ) log, 1. fx = 1xe y x 1 y) = Calcoliamo la matrice essiana. ] f y = 6e y x y 1) + e y = f xx = 1e y x 1 y) 1 x ) = 1e y x y 1) 1 x ) f xy = 1xe y x 1 y) 1] = 1x y 1) e y x f yy = 6e y x 1 y) ] + e y = e y 1 6ye x) 1e y x 1 y) 1 x ) ] 1x y 1) e y x Hf x, y) = ) 1x y 1) e y x e 6ye y x + 1 = e y e x 1 y) 1 x ) ] x y 1) e x x y 1) e x 1 6ye x Studiamo ora la natura dei punti stazionari: Hf, ) ] = e / 1 definita negativa, punto di massimo. Hf ± ) log, 1 = e ± ] log ± indefinita, punti di sella. log 1. Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse z di una lamina piana omogenea di massa m ce nel piano xy è descritta in coordinate polari da: ) θ Ω = ρ, θ) : ρ R, θ, π]} π 5

6 dove R > è un parametro fissato. Utilizzando le coordinate polari, l area della lamina è data da: π ) R θ π ) π ) 1 θ Ω = ρdρdθ = ρdρ dθ = R dθ π Ω = R π) π Il momento d inerzia è: I = m ρ dρdθ = m Ω Ω Ω = 5m πr 1 R 1 π) 8 π θ dθ = R π) π) 5 π 5 = 1 5 πr. ) R θ π ) ρ dρ dθ = m π ) 8 1 θ Ω R dθ π θ 8 dθ = 5m π R 1 9 π) π) 8 9 = 5m π R π 9 = 5 18 mr. 5. Si consideri il solido: C = x, y, z) : z, y, x + y ) } Rz con R, > parametri fissati. Dopo aver riconosciuto di quale solido elementare si tratta e averne quindi calcolato il volume senza bisogno di integrali!), calcolarne il centroide mediante opportuni integrali, e sfruttando opportunamente le simmetrie). Si tratta di una metà di cono circolare di raggio R e altezza, perciò di volume C = 1 1 πr = 1 6 πr. 6

7 Per simmetria x c =, mentre dobbiamo calcolare y c e z c. Utilizzando le coordinate cilindrice abbiamo: C = ρ, θ, z) : z, θ, π], ρ Rz } dxdydz = ρdρdθdz y c = 1 ydxdydz = 6 C C πr = 6 π ) πr sin θdθ = 6 πr cos θ]π ) 1 = 6 ) R πr = 1 π R. Rz Rz z c = 1 zdxdydz = 6 C C πr = 6 Rz ) πr π z ρdρ = z dz = =. Rz ρ dρ ) dz z ) dz = 6 R Quindi il centroide a coordinate, 1π R, ). dz Rz π ) ) ρ ρ sin θdθ dρ dz z 1 π ) ) ρ dθ dρ dz ) Rz dz 6. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale piano F = y, x) lungo l arco di curva γ : x = cos t y = sin t t, π ]. 7

8 r t) = cos t, sin t ) r t) = cos t sin t, sin t cos t ) F r t)) = sin t, cos t ) π/ L = F dr = cos t sin 5 t + sin t cos 5 t ) dt = = γ π/ π/ cos t sin t ) dt = cos t sin t sin 5 t ) dt π/ sin t = τ; cos tdt = dτ 1 = τ τ 5) 1 dt = 1 ) 6 cos t 1 sin t ) sin tdt = Si consideri la funzione π-periodica definita in π, π] da 1 se x π, π] f x) = se x π, ) π 1 se x ] π, π a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f e scrivere la serie di Fourier. a. La funzione è regolare a tratti ma discontinua, quindi la serie di Fourier converge puntualmente a f in π, π] tranne nei punti ±π, in cui converge a, e nei punti ± π in cui converge a ± 1, rispettivamente. Poicé f è dispari sarà a k = per ogni k. I coeffi cienti b k tenderanno a zero ma ci aspettiamo ce non saranno o 1/k). b. Per i coeffi cienti b k si a π b k = 1 f x) sin kx) dx = π π π = ] π cos kx) = π k πk perciò f x) π/ k=1 π cos f x) sin kx) dx = π ) ) cos kπ) k π cos k π ) ) cos kπ) sin kx) πk 8 π π sin kx) dx

9 Grafico di f e della sua somma parziale di Fourier per n = 15 9