Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.

Transcript

1 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Dimostrare che l equazione f x, y = x log y + e x y = definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = e, e calcolare h e.

2 . Calcolare l integrale doppio dove Ω è la semiellisse Ω = Ω x + y 3 dxdy { } x, y : x a + y b, y, con a, b > fissati. 3. Si consideri una sfera Ωsolida, di raggio Re centro l origine, avente densità volumica δ x, y, z = R µ x + y + z R 4 dove µ > è una costante avente le dimensioni di una massa. momento d inerzia rispetto all asse z. Calcolare il suo

3 4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo: F x, y, z = y e x, ye x e z+y, e z z + ey. 5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σgenerata dalla rotazione attorno all asse zdella curva γdel piano xz { x = R + r cos 3 φ z = r sin 3 per φ [, π] φ con R > r > parametri fissato. Dopo aver calcolato l elemento d area e verificato che si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l area di Σ. Suggerimento: calcolare l elemento d area di Σa partire dalle equazioni parametriche di γ. 3

4 6. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ]da f x = sin πx. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di ftracciarne il grafico sul periodo [, ],quindi sull intervallo [, ], quindi sul periodo [, ], così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato. 4

5 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f x, y = x + y + soggetta al vincolo x 4 + y 4 =. 5

6 . Sia T è il triangolo di vertici,,,,,. Dopo aver scritto la rappresentazione analitica di T come dominio y-semplice o unione di domini y-semplici, calcolare l integrale doppio I = xydxdy. T 3. Calcolare il volume e il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido omogeneo di massa m rappresentato da: { } Ω = x, y, z : z [, h], x + y R z h con R, h > parametri fissati. 6

7 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano F = y x + y, x x + y lungo l arco di curva piana espressa in forma polare dall equazione ρ = + sin 3θ per θ [, π], dove R > è un parametro fissato. Riportare impostazione e passaggi intermedi. 5. Sia Σla superficie grafico della funzione z = h R x + y per x + y R, con R, h > costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata verso l alto, del campo vettoriale F = x, y, zx R. Prestare cura nell impostazione dell integrale di flusso a partire dalle definizioni. 7

8 6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π ] da f x = sin x. [ a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo π, ] π : in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi - cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un espressione semplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito. 8

9 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Dimostrare che l equazione f x, y = xy x + y x + y definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =. Calcolare g. 9

10 . Calcolare l integrale doppio I = x y + x y 3 xy dxdy dove Ω è l ellisse Ω = Ω { } x, y : x a + y b, con a, b > fissati. 3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: Ω = {x, y, z : z [, h], x + y R z 3 } con R, h > parametri fissati. h 3

11 4. Si consideri il campo vettoriale piano xy F = x + y, y x x + y. a. Determinare il suo insieme di definizione Ωe stabilire se il campo è conservativo in Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di ellisse [ π r t = cos t, 3 sin t, t, 3 ] π. 5. Sia Σla superficie ottenuta facendo ruotare attorno all asse zla curva γche nel piano xzha equazioni parametriche { x = Ch t per t [, ]. z = Sh t Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σe l elemento d area di Σ, calcolare l integrale di superficie zds. Σ Suggerimento: calcolare l elemento d area di Σa partire dalle equazioni parametriche di γ.

12 6. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = cos πx. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un espressione semplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito.

13 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f x, y = x 4 + y + soggetta al vincolo x + y 4 =. 3

14 . Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse zdi una lamina piana omogenea di massa mrappresentata nel piano x, ydall interno dell arco di curva di equazione polare ρ = Rθ per θ [, π]. 3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera Sdescritta in coordinate sferiche da x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ ρ [, R], θ [, π], φ [Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie]. [, 3 π ]. 4

15 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano F = y, x lungo l arco di curva r t = + sin t cos t, sin t sin t, t [, π]. Riportare impostazione e passaggi intermedi. 5. Sia Sla superficie materiale conica grafico della funzione z = h R x + y per x + y R, con R, h > costanti fissate. Calcolare l elemento d area dse il momento d inerzia di Srispetto all asse zsapendo che la sua densità superficiale è δ x, y, z = µ R 3 z + h + x + y dove µ > è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa. 5

16 6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [, π]da f x = cos x. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di ftracciarne il grafico sul periodo [, π],quindi sull intervallo [ π, π], quindi sul periodo [ π, π ], così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato. 6

17 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Dimostrare che l equazione f x, y = x log y + e x y = definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = e, e calcolare h e. Si ha: f x, e = x + e x = se x =. Inoltre un confronto grafico mostra immediatamente che questa è l unica soluzione: f x x, y = log y e x y f, e = =, x e per il teorema di Dini, essendo f C nel semipiano y >, f, e =, f x, e, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = e; risulta h e = e f h y e = f x, e, e. 7

18 Calcoliamo perciò f y x, y = x y + e x f y, e = e f h y e = f x, e = /e, e = e.. Calcolare l integrale doppio x + y 3 dxdy dove Ω è la semiellisse Ω = In coordinate polari ellittiche { x = aρ cos θ y = bρ sin θ Ω { } x, y : x a + y b, y, con a, b > fissati. si ha Ω = {ρ, θ : ρ [, ], θ [, π]}, dxdy = abρdρdθ, x + y 3 π dxdy = a ρ cos θ + b 3 ρ 3 sin 3 θ abρdρ dθ Ω π sin 3 θdθ = π = a 3 b π π cos θdθ ρ 3 dρ + ab 4 sin 3 θdθ ρ 4 dρ. sin θ cos θ dθ = = = 4 3. [ ] π cos θ + cos3 θ 3 Perciò: Ω x + y 3 π dxdy = a 3 b = π 8 a3 b ab ab Si consideri una sfera Ω solida, di raggio R e centro l origine, avente densità volumica δ x, y, z = R µ x + y + z R 4 8

19 dove µ > è una costante avente le dimensioni di una massa. Calcolare il suo momento d inerzia rispetto all asse z. Il momento d inerzia è: I = in coordinate sferiche x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ I = π S x + y δ x, y, z dxdydz dxdydz = ρ sin φdφdθ π R ρ sin φ R ρ µ R 4 ρ dρ sin φdφ dθ = π µ π {R R 4 Poiché π sin 3 φdφ = R π } R sin 3 φdφ ρ 4 dρ sin 3 φdφ ρ 5 dρ. π { I = π 4 µ 3 R 4 R sin φ cos φ dφ = R ρ 4 dρ = 8 3 π µ { R 4 R R5 5 R6 6 R ρ 5 dρ [ ] π cos φ + cos3 φ = 4 3 3, } } = 8 { 3 πµr 5 } 6 = 8 45 πµr. 4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo: F x, y, z = y e x, ye x e z+y, e z z + ey. U x = F ; U x, y, z = y e x dx = y e x + g y, z U y = ye x + g y y, z = F = ye x e z+y g y y, z = ez+y ; g y, z = e z e y dy = ez+y + h z ; 9

20 U x, y, z = y e x ez+y + h z ; U z = ez+y + h z = F 3 = e z z + ey h z = e z z + ; h z = e z z + dz = e z z + e z dz = ze z + c U x, y, z = y e x ez+y + ze z + c. 5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ del piano xz { x = R + r cos 3 φ z = r sin 3 per φ [, π] φ con R > r > parametri fissato. Dopo aver calcolato l elemento d area e verificato che si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l area di Σ. Suggerimento: calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. x = R + r cos 3 φ cos θ Σ : y = R + r cos 3 φ sin θ z = r sin 3 φ Per il calcolo dell elemento d area, dette φ [, π], θ [, π]. a φ = R + r cos 3 φ, b φ = r sin 3 φ a φ = 3r cos φ sin φ; b φ = 3r sin φ cos φ a φ + b φ = 9r cos 4 φ sin φ + sin 4 φ cos φ La superficie è regolare a pezzi, in quanto = 9r cos φ sin φ ds = a φ a φ + b φ dφdθ = R + r cos 3 φ 3r cos φ sin φ dφdθ. R + r cos 3 φ 3r cos φ sin φ = per φ =, π, π, 3 π,

21 che corrispondono a 4 linee di punti singolari sulla superficie. π π Σ = R + r cos 3 φ 3r cos φ sin φ dφ dθ = π 3r π per le simmetrie = 6πr π = 6πrR 4 R + r cos 3 φ cos φ sin φ dφ R cos φ sin φ dφ π/ [ sin φ cos φ sin φdφ = 4πRr ] π/ = 4πRr = πrr. 6. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ]da f x = sin πx. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di ftracciarne il grafico sul periodo [, ],quindi sull intervallo [, ], quindi sul periodo [, ], così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier saranno o /k.

22 b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché T =, ω = π T = π, a k = T = 4 T/ T/ f x cos kωx dx = 4 T sin πx cos kπx dx. T/ Quindi a = 4 sin πxdx = 4 [ cos πx]/ = 4 π π mentre sfruttando l identità si ha, per k =,, 3... a k = 4 sin α cos β = {sin α + β + sin α β} sin πx cos kπx dx = [ cos k + πx cos k πx = + π k + π k [ = cos kπ + π + cos ] kπ π π k + k = π k + k = 4 π f x cos kωx dx = 4 f x cos kπx dx [sin k + πx + sin k πx] dx 4k e la serie di Fourier di f è f x = a + a k cos kπx = π 4 π 4k cos kπx. k= Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5: ] k=

23 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f x, y = x + y + soggetta al vincolo x 4 + y 4 =. Sia g x, y = x 4 + y 4, poiché g è C R e g x, y = 4x 3, 4y 3 =, x, y =, e g,, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana L x, y, λ = f x, y λg x, y = x + y + λ x 4 + y 4 e risolviamo il sistema L x = x 4λx 3 = x + L y = y 4λy 3 = y + L λ = x 4 + y 4 = La a equazione dà: [ ] x x + 4λx3 = x x + + λx = per { x = oppure λ = x x + Se x = la terza equazione dà y = ± e la seconda dà un certo valore di λ. Se invece x e quindi λ =, la seconda equazione dà x x + [ ] [ ] y y + λy = y y + + y x x + = se e solo se y = la quantità entro quadre è sempre positiva. Perciò x y =, che dalla terza equazione dà x = ±. 3

24 Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono ±,,, ±. Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, per il teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistono certamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha: pertanto: f ±, = + = f, ± = + = ±, sono punti di minimo assoluti vincolati, ± sono punti di massimo assoluti vincolati.. Sia T è il triangolo di vertici,,,,,. Dopo aver scritto la rappresentazione analitica di T come dominio y-semplice o unione di domini y-semplici, calcolare l integrale doppio I = xydxdy. T = T {x, y : x [, ], x } y x {x, y : x [, ], x } y 3 x I = = = x x ydy dx + x x 4x x 5 8 x3 dx + [ 3x 4 = = = dx + x 8 3 x x 3 x x ydy dx x x 3 x x 4 3x 4x + 36 dx ] dx = 5 [ ] 4 3. Calcolare il volume e il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido omogeneo di massa m rappresentato da: { } Ω = x, y, z : z [, h], x + y R z h 4

25 con R, h > parametri fissati. Ω = Ω dxdydz = = π R h h = π R h. h I = m x + y dxdydz = m Ω Ω Ω x +y R z h h dxdy dz = x +y R z h h π R z dz h x + y dxdy passando in coordinate polari = m h R z h π ρ 3 dρ dz = m h 4 π z R dz Ω Ω 4 h = m π R 4 Ω h h z dz = m π R h π R 4 h 3 h 3 = 3 mr. 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano F = y x + y, x x + y lungo l arco di curva piana espressa in forma polare dall equazione ρ = + sin 3θ per θ [, π], dove R > è un parametro fissato. Riportare impostazione e passaggi intermedi. L = γ F dr = π F r θ r θ dθ dz r θ = + sin 3θ cos θ, + sin 3θ sin θ r θ = 3 cos 3θ cos θ + sin 3θ sin θ, 3 cos 3θ sin θ + + sin 3θ cos θ F r θ = + sin 3θ + sin 3θ sin θ, + sin 3θ cos θ = + sin 3θ sin θ, cos θ F r θ r θ = + sin 3θ 3 cos 3θ cos θ + sin 3θ sin θ, 3 cos 3θ sin θ + + sin 3θ cos θ sin θ, cos θ = + sin 3θ {sin θ [3 cos 3θ cos θ + sin 3θ sin θ] cos θ [3 cos 3θ sin θ + + sin 3θ cos θ]} = + sin 3θ { + sin 3θ} = + sin 3θ 3. 5

26 L = = π + sin 3θ 3 dθ = { 8 π π π 5. Sia Σ la superficie grafico della funzione 8 + sin 3θ + 6 sin 3θ + sin 3 3θ dθ } sin 3θdθ + = {6π + 6π} = π. z = h R x + y per x + y R, con R, h > costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata verso l alto, del campo vettoriale F = x, y, zx R. Prestare cura nell impostazione dell integrale di flusso a partire dalle definizioni. Φ F, Σ = F nds Σ dove, detta f x, y = R h x + y, è nds = f x, f y, dxdy = h x R x + y, h y R x + y, dxdy h F /Σ = x, y, x R 3 + y x h Φ F, Σ = x, y, x x +y R R 3 + y x h x R x + y, h y R x + y, dxdy = h x + y + h x x +y R R x + y R 3 + y x dxdy h x = x + y R R dxdy x +y R in coordinate polari, π R = = h R = h R { R {π R3 5 h ρ R ρ R cos θ ρdρ dθ π π R3 3 R cos θdθ } = πr h } R ρ 4 dρ π ρ dρ 5 3 = 7 5 πr h. 6

27 6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π ] da f x = sin x. [ a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo π, ] π : in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi - cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un espressione semplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f in π, π, mentre negli estremi ± π converge a. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno a priori o /k. b. La funzione è dispari, perciò a k = per ogni k. Per calcolare i b k, poiché T = π, ω = π T =, b k = T = 4 π T/ T/ f x sin kωx dx = 4 T π sin x sin kx dx. Sfruttando l identità si ha, per k =,, 3... π T/ f x sin kωx dx = 4 π sin α sin β = {cos α β cos α + β} π π b k = 4 sin x sin kx dx = [cos k x cos k + x] dx π π = [ ] π sin k x sin k + x π k k + [ = sin kπ π sin ] kπ + π π k k + = se k pari se k dispari = k+ 8 k π 4k = π = π [ [ k k+ k k+ ] = ] π = 8 π k 4k k + k+ = 8 π f x sin kx dx k 4k 7

28 e la serie di Fourier di f è f x = 8 π k+ k 4k sin kx k= oppure, in forma non semplificata, [ f x = sin kπ π π k sin kπ + ] π sin kx. k + k= Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5: 8

29 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3 Es Tot. Punti. Dimostrare che l equazione f x, y = xy x + y x + y definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =. Calcolare g. Si ha: f, y = y = y =. + y f x x, y = y x + y y xy x + y + x f 5, = y 5 + = 5 e per il teorema di Dini, essendo f C nel piano privato dell origine, f, =, f y,, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzioni y = g x in un intorno di x =, con g =. Si ha: Calcoliamo perciò f g x = f y,,. f y x + y x xy x, y = x x + y + y f, = + = x 5 5 g = f x f y, =, 5 5 =. 9

30 . Calcolare l integrale doppio I = x y + x y 3 xy dxdy dove Ω è l ellisse Ω = Ω { } x, y : x a + y b, con a, b > fissati. Per le simmetrie si ha x ydxdy = Ω x y 3 xy dxdy = 4 x y 3xy dxdy Ω Ω dove Ω è il quarto di ellisse } Ω = {x, y : x a + y, x, y. b In coordinate polari ellittiche { x = aρ cos θ y = bρ sin θ si ha Ω = { ρ, θ : ρ [, ], θ [ ]}, π, dxdy = abρdρdθ, I = 4 x y 3xy dxdy Ω π = 4 a bρ cos θρ sin θ 3abρ cos θ sin θ abρdρ dθ π = 4a 3 b π cos θ sin θdθ ρ 4 dρ a b cos θ sin θdθ [ = 4a 3 b cos3 θ 3 = 4a 3 b 3 5 = 4 5 a3 b 3 a b. ] π 5 a b [sin a b θ 4 ] π 4 ρ 3 dρ 3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: Ω = {x, y, z : z [, h], x + y R z 3 } con R, h > parametri fissati. h 3 3

31 Ω = dxdydz = Ω = π R h 3 h4 4 = π R h 4. h x +y R z 3 h 3 Per simmetria, x c = y c =. Calcoliamo z c = zdxdydz = Ω Ω Ω h π R z 3 = Ω z h 3 h z dz = 4 πr h π R h 3 e il centroide ha coordinate,, 4 5 h. h dxdy dz = x +y R z 3 h 3 4. Si consideri il campo vettoriale piano xy F = x + y, y x x + y. h dxdy π R z 3 dz h 3 dz z 4 dz = 4 πr h π R h 3 h 5 5 = 4 5 h, a. Determinare il suo insieme di definizione Ω e stabilire se il campo è conservativo in Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di ellisse [ π r t = cos t, 3 sin t, t, 3 ] π. a. Ω = {x, y : x, y, }. Cerchiamo un potenziale in Ω. xy U x = F = x + y xy U x, y = x + y dx = y x + y + c y x + y y U y = x + y + c y = x y x + y + c y = F = y x x + y c y =, c y = c. Perciò il campo è conservativo in Ω, con potenziale U x, y = y x + y. 3

32 b. Sapendo che il campo è conservativo, è suffi ciente ora calcolare i punti iniziale e finale dell arco di curva: π A = r =, 3 3π B = r =, 3 pertanto il lavoro è L = U B U A = 3 3 = Sia Σ la superficie ottenuta facendo ruotare attorno all asse z la curva γ che nel piano xz ha equazioni parametriche { x = Ch t per t [, ]. z = Sh t Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σ e l elemento d area di Σ, calcolare l integrale di superficie zds. Σ Suggerimento: calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. Σ ha equazioni parametriche: x = Ch t cos θ y = Ch t sin θ z = Sh t per t [, ], θ [, π]. Posto a t = Ch t e b t = Sh t, risulta ds = a t a t + b t dtdθ = Ch t 4 Sh t + Ch t dtdθ quindi Σ zds = π = 4π Sh t Ch t 4 Sh t + Ch t dt dθ Sh t Ch t 5 Sh t + dt Sh t = u; Ch tdt = du; u [, Sh ] 3

33 = 4π Sh u 5u + du = 4π [ 5u + ] 3/ Sh 5 = 4π [ ] 3/ 5 Sh + 5 Se si sceglie l altra sostituzione si ha: zds = 4π Sh t Ch t 5 Ch t 4dt Σ Ch t = u; Sh tdt = du; u [, Ch ] = 4π Ch u 5u 4du = 4π [ 5u 4 ] 3/ Ch = 4π [ ] 3/ 5 Ch Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = cos πx. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un espressione semplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier saranno o /k. b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché T =, ω = π T = π, a k = T = 4 Quindi T/ T/ f x cos kωx dx = 4 T cos πx cos kπx dx. T/ a = 4 cos πxdx = 4 [sin πx]/ = 4 π π 33 f x cos kωx dx = 4 f x cos kπx dx

34 mentre sfruttando l identità si ha, per k =,, 3... a k = 4 cos α cos β = {cos α + β + cos α β} cos πx cos kπx dx = [ sin k + πx sin k πx = + π k + π k [ sin kπ + π + sin ] kπ π k + k = π { se k pari = se k dispari = k+ 4 π 4k e la serie di Fourier di f è k= [ = π k+ k = 4 π 4k [cos k + πx + cos k πx] dx ] ] = 4 π k= 4k f x = a + a k cos kπx = π + 4 k+ π 4k cos kπx. Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5: 34

35 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Es Tot. Punti. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f x, y = x 4 + y + soggetta al vincolo x + y 4 =. Sia g x, y = x + y 4, poiché g è C R e g x, y = x, 4y 3 =, x, y =, e g,, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana L x, y, λ = f x, y λg x, y = x 4 + y + λ x + y 4 e risolviamo il sistema L x = 4x3 λx = x 4 + L y = y 4λy 3 = y + L λ = x + y 4 = La a equazione dà: [ ] 4x3 x x 4 λx = x + x + + λ = per { x = oppure λ = x x + Se x = la terza equazione dà y = ± e la seconda dà un certo valore di λ. Se invece x e quindi λ = x, la seconda equazione dà x + [ ] [ ] y y + λy = y y + + 4x y x + = se e solo se y = la quantità entro quadre è sempre positiva. Perciò x y =, che dalla terza equazione dà x = ±. 35

36 Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono ±,,, ±. Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, per il teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistono certamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha: pertanto: f ±, = + = f, ± = + = ±, sono punti di minimo assoluti vincolati, ± sono punti di massimo assoluti vincolati.. Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse z di una lamina piana omogenea di massa m rappresentata nel piano x, y dall interno dell arco di curva di equazione polare ρ = Rθ per θ [, π]. La lamina corrisponde all insieme rappresentato in coordinate polari da Ω = { ρ, θ : θ [, π], ρ [, Rθ ]} quindi l area è Ω = π Rθ ρdρ dθ = π R θ 4 dθ = R π 5 5 = 6 5 π5 R. Il momento d inerzia rispetto all asse z è: I = m x + y dxdy = m Ω Ω Ω = m Ω π R 4 θ 8 4 π Rθ ρ ρdρ 5m R 4 π 9 dθ = 6π 5 R = π4 mr. dθ 36

37 3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera S descritta in coordinate sferiche da x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ ρ [, R], θ [, π], φ [, 3 π ]. [Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie]. Poiché l elemento di volume è dxdydz = ρ sin φdφdθ, S = π = π R3 3 Per simmetria, x c = y c =, mentre z c = zdxdydz = S S πr 3 = [ R4 sin ] φ 3 π π = R πr3 4 4 R ρ 3 π dρ sin φdφ dθ [ cos φ] 3 π = 3 π + R 3 = πr 3. π 3 e il centroide ha coordinate,, 3 6 R. R ρ 3 3 π dρ sin φ cos φdφ dθ = 3 6 R, 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano lungo l arco di curva F = y, x r t = + sin t cos t, sin t sin t, t [, π]. 37

38 Riportare impostazione e passaggi intermedi. L = γ F dr = π F r t r t dt r t = + sin t cos t, sin t sin t r t = cos t sin t + sin t, sin t cos t + sin t cos t F r t = sin t sin t, + sin t cos t F r t r t = sin t sin t, + sin t cos t cos t sin t + sin t, sin t cos t + sin t cos t = sin t sin t cos t + sin t sin t sin t cos t + sin t + cos t sin t = sin t cos t + sin t = sin t cos t + cos t. L = π sin t cos t + cos t dt = [ ] π 3 cos3 t + π = π. 5. Sia S la superficie materiale conica grafico della funzione z = h R x + y per x + y R, con R, h > costanti fissate. Calcolare l elemento d area ds e il momento d inerzia di S rispetto all asse z sapendo che la sua densità superficiale è δ x, y, z = µ R 3 z + h + x + y dove µ > è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa. L elemento d area di una superficie cartesiana z = f x, y è dato da ds = + f x, y dxdy, in questo caso h x + y R = h x R x + y, y, x + y ds = + h R dxdy. Il momento d inerzia è dato da: I = x + y δ x, y, z ds = S x +y R x + y µ R 3 h x + y R + h + x + y + h R dxdy 38

39 in coordinate polari R = π ρ µ h R 3 R ρ + h + ρ + h R ρdρ = π µ R h R R 4 + h R + ρ + h ρ 3 dρ { = π µ h R R R 4 + h R + ρ 4 dρ + h = π µ R 4 R + h { h R + R 5 = πµ R + h { h + R 5 + h 4 } 5 + hr4 4 } R ρ 3 dρ } = πµ R + h { 5 R + 9 h } 6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [, π]da f x = cos x. a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di ftracciarne il grafico sul periodo [, π],quindi sull intervallo [ π, π], quindi sul periodo [ π, π ], così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f tranne nei punti kπ, in cui converge a. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno a priori o /k. b. La funzione è dispari, perciò a k = per ogni k. Per calcolare i b k, poiché T = π, ω = π T =, b k = T = 4 π T/ T/ f x sin kωx dx = 4 T π Sfruttando l identità cos x sin kx dx. T/ f x sin kωx dx = 4 π sin α cos β = {sin α + β + sin α β} π f x sin kx dx 39

40 si ha, per k =,, 3... π π b k = 4 cos x sin kx dx = [sin k + x + sin k x] dx π π = [ ] π cos k + x cos k x + π k + k [ = cos kπ + π + cos ] kπ π π k + k = π k + + = 8 k k π 4k e la serie di Fourier di f è f x = 8 π k= k 4k sin kx. Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5: 4