Analisi Matematica II - 5 Giugno 2012

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1 Analisi Matematica II - 5 Giugno ) Sia F il campo vettoriale ( F = ax x + y, ) y + b. x + y Stabilire per quali valori dei parametri a, b R il campo è chiuso. Calcolare per tali valori di a, b il lavoro fatto dal campo F lungo la curva x(t) = + t cos t t π; y(t) = t sin t Sempre con gli stessi valori di a, b determinare, se esistono, tutti i potenziali di F. ) Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy: y = x. y() = 3) Sia T il triangolo che si trova nel primo quadrante del piano (x, z) e che sta al di sotto della retta che passa per il punto (, h) e che forma con l asse delle z (nel verso negativo) un angolo di α radianti. Sapendo che la sua densità è pari ad, determinare il baricentro di T, determinare il baricentro del cono generato da T per rotazione intorno all asse z, determinare il luogo geometrico dei baricentri dei triangoli ottenuti da T per rotazione intorno all asse z. Svolgimento

2 ) Il campo vettoriale F C (R \ {(x, y) : x + y = }. Risulta X y X y 4axy = (x + y ) 4xy + bx = (x + y ). Quindi il campo è chiuso se e solo se a =, b =. Consideriamo allora il campo vettoriale F dato da: ( F = x x + y, ) y. x + y Osserviamo che F non è definita in un semplicemente connesso e quindi non ne possiamo dedurre il fatto che sia conservativo. Osserviamo tuttavia che la curva γ si trova tutta nel semipiano x >. Quindi se io penso F ristretta al semipiano x > il campo vettoriale F è conservativo e dunque l integrale non dipende dal percorso seguito, ma solo dal punto iniziale A = (, ) e dal punto finale B = (+π, ). Calcolo allora l integrale sul segmento x = t, y =, t + π. Xdx + Y dy = γ +π t t = ln(( + π) ) ln 99. Per quanto riguarda il terzo punto abbiamo prima detto che non possiamo usare la condizione sufficiente perché il dominio di F non è privo di buchi. Ma abbiamo visto che lo è in E = {(x, y) : x > }. Calcoliamo un potenziale di F in questo semipiano: U(x, y) = U y = x x + y dx = ln( x + y ) + c(y) y x + y + c (y) = x + y se e solo se c(y) k. La famiglia dei potenziali U in E è: U(x, y) = ln( x + y ) + k. Osserviamo tuttavia che il gradiente di U coincide con F ( U = F ) su tutto il dominio di F il quale però non è connesso. Siccome tale dominio è costituito da due componenti connesse possiamo scrivere: U(x, y) = ln( x + y ) + c x + y < ln( x + y ) + c x + y >.

3 ) L equazione y = x è a variabili separabili. y(x) = x dx = x x + arcsin x + c. La soluzione cercata si ottiene per c =. Se risolviamo per sostituzione l integrale ponendo x = cos t, dx = sin tdt otteniamo: la soluzione y(x) = (x x arccos x) + π. (Ovviamente arcsin x = (arccos x π)). 4 3) Se α è l angolo in radianti che la retta forma con l asse z orientato negativamente, allora la base del triangolo è pari a h tan(α). Dalla geometria sappiamo che il baricentro di un triangolo (omogeneo) è il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è sempre interno e ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto :. Il baricentro di un triangolo qualsiasi si trova sempre ad /3 dell altezza per cui, nel caso del nostro triangolo rettangolo, risulta: x G (T ) = h 3 tan(α), z G(T ) = h 3. Allo stesso risultato si perviene utilizzando gli integrali doppi. L angolo che la retta passante per (h, ) forma con l asse delle x orientato positivamente è pari a α + π/. Il suo coefficiente angolare è m = tan(α + π/) = / tan(α) e la retta ha equazione z = h x/ tan(α). L area del triangolo T è pari a h tan(α). Pertato le coordinate (x G, z G ) del baricentro di T saranno determinate da: x G (T ) = = z G (T ) = = h tan(α) h tan(α) h tan(α) h tan(α) h tan(α) [h x xdx h x tan(α ) x 3 3 tan(α) h tan(α) [ h x + dx ] h tan(α) h x tan(α ) dz = zdz = x 3 3 tan (α) hx tan(α) h tan(α) = h 3 tan(α) h tan(α) ] h tan(α) = h 3. h tan(α) h tan(α) (hx x tan(α) )dx = (h + x tan (α) hx tan(α) )dx Per determinare il baricentro del cono osserviamo che l asse z è asse di simmetria, pertanto le prime due coordinate di tale baricentro saranno nulle. Calcoliamo allora la terza coordinata. Il volume del cono è dato da 3

4 V = π 3 h3 tan (α). Le equazioni della superficie conica sono date da: x(t) = t cos θ y(t) = t sin θ z(t) = h t/ tan(α) t h tan(α), θ π. Il cono C (pieno) sarà individuato allora dall insieme { } C = (x, y, z) : x + y h tan x + y (α), z h. tan(α) Risulta allora: z G (C) = = = 3 πh 3 tan (α) 3 πh 3 tan (α) 3 h 3 tan (α) x +y h tan (α) h tan(α) π h tan(α) r rdr h x +y tan(α) dxdy [h + r tan (α) [h + r tan (α) hr tan(α) zdz = hr ] dθ = tan(α) ] dr = h 4. La risposta all ultima domanda si ottiene ruotando il baricentro di T di un angolo θ rispetto all asse z. x G (T (θ)) = h 3 tan(α) cos(θ), y G(T (θ)) = h 3 tan(α) sin(θ), z G(T (θ)) = h 3. Il luogo geometrico dei baricentri è {(x, y, z) : x + y = h 9 tan (α), z = h }. 3 Il baricentro di un triangolo qualsiasi si trova sempre ad /3 dell altezza. Dato un qualsiasi cono, il suo baricentro si trova sull asse di simmetria e dista dalla base /4 dell altezza h. In figura è indicato in rosso il baricentro del cono ed in verde il luogo geometrico dei baricentri dei triangoli. 4

5 Analisi Matematica II - 6 Giugno ) Sia f(x, y) = x 3 + x + y. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti di f in A = {(x, y) : < x < 3}; determinare massimi e minimi assoluti di f in B = {(x, y) : x + y 9}. ) Data la circonferenza di centro l origine e raggio R, determinare il baricentro del settore circolare individuato dalla circonferenza e dalle rette y = ±x tan(α), sapendo che la sua densità è pari ad. 3) Dato D = [, ] [, ] \ {(x, y) (R + ) : x + y }, calcolare x + y x + y dxdy. D Svolgimento ) Essendo A un insieme aperto ed f C (A) (dunque differenziabile) allora i punti di massimo e di minimo di f vanno cercati tra quelli che annullano il gradiente. Risulta: f = x 3x + x x = +y f y = y x +y =. La seconda equazione si annulla se e solo se y = e dunque la prima diventa: 3x + x x xy (x +y ) 3/ x (x +y ) 3/ = x =. L unico punto critico è il punto P = (, ). Calcoliamo la matrice Hessiana: Hf(x, y) = 6x + y xy (x +y ) 3/ (x +y ) 3/ Hf(, ) = 6 Siccome il determinante è negativo il punto P non è ne di massimo ne di minimo. Per quanto riguarda l insieme B osserviamo che B è compatto e che f C(B), dunque per il teorema di Weierstrass, f ammette massimi e minimi assoluti. 5

6 Osserviamo poi che f non è differenziabile in (, ), quindi i massimi ed i minimi andranno cercati con il teorema di Fermat in B \{(, )} e, a parte nel resto. Nel passo precedente abbiamo visto che il gradiente si annulla solo in (, ) B \ {(, )}, ma questo è un punto sella. Esaminiamo ora i punti per cui x +y = 9. La funzione f, valutata in tali punti diventa: g(x) = x = 37 x 3, x 3. La g ha un massimo per x = 3 ed un minimo per x = 3. Siano P = (, ), P = ( 3, ), P (3, ), risulta: f(, ) =, f(3, ) =, f( 3, ) = 64. Quindi P è un minimo assoluto, P un massimo assoluto. Il grafico qui sotto, riporta le quote della f ristretta ai valori di B, dai valori minimi in bianco, a quelli più alti, in scala di viola. ) L asse delle x è asse di simmetria per il settore circolare D e dunque y G =, basta 3) allora calcolare x G. L area del settore circolare è pari a: αr e dunque x G = xdxdy = αr D αr α R cos tdt r dr = sin(α) 3 α R. 6

7 Trasformo il dominio D in coordinate polari: D = D D, { D = (r, t) : t π/4, r }, cos t { D = (r, t) : π/4 t π/, r } sin t Risulta: D x + y x + y dxdy = = = D π/4 π/4 x + y x + y dxdy (cos t + sin t)dt ( cos t + sin t cos t x + y x + y dxdy = D / cos t dr + sin t)dt + π/ π/4 π/ π/4 (cos t + sin t)dt ( cos t sin t / sin t dr = + cos t sin t)dt = = [t sin t ln(cos t) + cos t] π/4 + [ ln(sin t) + t sin t + cos t] π/ π/4 = = π + ln 4. 7

8 Analisi Matematica II - 6 Giugno ) Determinare il baricentro della lamina piana individuata da: D = {(x, y) : x + y xr ; x + y 3xr + r }, sapendo che la densità della lamina è pari ad. ) Risolvere il seguente problema di Cauchy: yy cos y = (ln t) y() = π. 3) Determinare l insieme di convergenza e la somma della serie: ( + 4 cos x) n, x [, π]. n= Svolgimento ) L insieme D è costituito dai punti del cerchio C di centro (r, ) e raggio r che sono esterni al cerchio C di centro ( 3 r, ) e raggio r/. Sapendo che la densità è pari ad, la massa di D è data da: m = m m = πr π 4 r = 3 4 πr. Per ragioni di simmetria il baricentro deve trovarsi sull asse delle x, resta pertanto da calcolare solo la prima coordinata del baricentro: 4 x D = xdxdy = 4 ( ) xdxdy xdxdy 3πr D 3πr C C ( 4 = πr r π 3πr 4 r 3r ) = 5 6 r. = 4 3πr (m x C m x C ) = ) Si tratta di una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Risulta: y sin y + cos y = y cos ydy = (ln(t)) dt = t ( ln t ln t + ) + c. Imponendo la condizione iniziale si ottiene c = 3. 8

9 3) Si tratta di una serie di potenze di ragione q = + 4 cos x. Tale serie converge se q < cioè < + 4 cos x < < cos x < π < x < 3 π, oppure 4 3 π < x < 3 π. In tali punti la somma della serie è: 4 cos x = ( + 4 cos x) n. n= 9

10 Analisi Matematica II - 7 Giugno ) (OBBLIGATORIO). Siano a= numero lettere del nome, b= numero delle lettere del cognome. Sia T il triangolo rettangolo di base a e altezza b, che si trova nel primo quadrante e si appoggia agli assi coordinati. Scrivere T in coordinate polari e calcolare, sempre in coordinate polari T \{(x,y):x +y } ) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y = e y ln t y() =. ay + bx x + y dxdy. 3) Calcolare la massa del filo r(t) = ( sin t) i + ( cos t) j + (3t) k), t π, sapendo che la funzione densità è data da: f(x, y, z) = z. Svolgimento ) La retta che congiunge il punto (a, ) con il punto (, b) ha equazione ay + bx = ab. Se la mettiamo a sistema con una generica retta uscente dall origine y = x tan(t), con t < π o x = (corrispondente alla pendenza π ), otteniamo Pertanto x = r(t) = x (t) + y (t) = ab ab tan(t), y =, x =, y = b. a tan(t) + b a tan(t) + b a b (a tan(t) + b) ( + tan (t)) = ab a sin(t) + b cos t. La funzione r(t) è definita anche nel punto π ed il suo valore è proprio b, pertanto si ottiene T = { (r, t) : t π, r r(t) = } ab. a sin(t) + b cos t

11 Si ha dunque: T \ {(x, y) : x + y } = T \{(x,y):x +y } ay + bx x + y dxdy = { (r, t) : t π, r π/ = ab π π/ (a sin t + b cos t)dt } ab a sin(t) + b cos t ab a sin t+b cos t dr = (a sin t + b cos t)dt = abπ a b. ) L equazione differenziale che compare nel problema di Cauchy è del primo ordine, a variabili separabili, pertanto: e y dy = ln tdt = e y = t(ln t ) + c = y = ln[t(ln t ) + c]. La condizione iniziale fornisce il valore c =, e la soluzione y è definita ad esempio per t > /e. 3) Sia C la curva di equazioni parametriche ( sin t, cos t, 3t). Tale curve ha componenti di classe C ([, π]) ed inoltre z (t) = 3. Dunque C è regolare. Inoltre ds = (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt = 3dt. Risulta allora: m = C zds = 3 π 3 tdt = 3 3 π.

12 Analisi Matematica II - Luglio Siano a= numero lettere del nome, b= numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il baricentro della regione delimitata da y = a x, a x a e dall asse delle x sapendo che la densità è pari ad. ) Sia F il campo di forze F = (xz 3 + 6y, 6x yz, 3x z y ). Dire se F è conservativo o meno. Calcolare F ds dove C è una curva che congiunge il C punto P = (,, ) e P = (,, ). Darne una interpretazione fisica. 3) Calcolare π n= sin nx dx. n 3 Svolgimento ) Si tratta di calcolare il baricentro della semicirconferenza di centro (,) e raggio a posizionata nel semipiano non negativo delle y. La massa della semicirconferenza è pari a π a. Per ragioni di simmetria x G =, basta allora calcolare y G. Passando a coordinate polari si ha: y G = πa π sin tdt a r dr = πa a3 3 π/ cos tdt = 4a 3π. ) Il campo conservativo F C (R 3 ). Dunque F è conservativo se e solo se è irrotazionale (poichè R 3 è convesso). Se calcoliamo le derivate parziali otteniamo X = 6 Y = 6 y x X Z = 6xz = z x 6xz Y = y Z = y. z y Dunque F è conservativo ed un suo potenziale è dato da: Infine U(x, y, z) = y C 6xdt + z (3x t y )dt = 6xy + x z 3 y z + c. F ds = U(,, ) U(,, ) = 5.

13 L integrale dato rappresenta il lavoro svolto dal campo F per spostare un punto materiale lungo C. Tale lavoro non dipende dal percorso ma solo dal punto finale e dal punto iniziale. 3) Per ogni x R risulta sin nx n 3 n. 3 Dunque la serie converge totalmente e quindi uniformemente. Per il teorema di passaggio di serie sotto il segno di integrale di Riemann (in [, π]) si ha: π n= sin nx n 3 dx = = n= n= π sin nx dx = n 3 (n ) 4 (= π4 48 ). n= n [ cos 4 nx]π = n [ 4 ( )n ] = n= 3

14 Analisi Matematica II - Luglio CSiano a= numero lettere del nome, b= numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il baricentro della lamina piana rettangolare di base a e altezza b, poggiata nel primo quadrante sugli assi coordinati, sapendo che la funzione densità è f(x, y) = x + y. ) Calcolare (x y cos x + xy sin x y e x )dx + (x sin x ye x )dy C sapendo che C : x /3 + y /3 = a /3. 3) Determinare i massimi ed i minimi della funzione g(x, y, z) = xy z 3 sapendo che x + y + z = 6, x >, y >, z >. ) Sia R = [, a] [, b]. Risulta: Svolgimento m = x G = y G = a dx b 3 ab(a + b ) 3 ab(a + b ) (x + y )dy = a a dx dx b b a [x b + b3 ab ]dx = 3 3 (a + b ) x(x + y )dy = 3 ab(a + b ) a y(x + y )dy = b(a + 3b ) 4(a + b ). [x 3 b + xb3 3 ]dx = a(3a + b ) 4(a + b ) ) Sia ω = (x y cos x + xy sin x y e x )dx + (x sin x ye x )dy. Questa forma differenziale è di classe C (R ), inoltre X y = x cos x + x sin x ye x Y x = x sin x + x cos x ye x. La forma ω è pertanto chiusa, definita in un convesso e dunque è esatta. L integrale allora non dipende dal percorso e siccome la curva C (asteroide) è chiusa, l integrale è nullo. 4

15 3) Imponiamo la condizione z = 6 x y > e sostituiamola nella funzione g. Otteniamo G(x, y) = xy (6 x y) 3 che va studiata in (R + ). Siccome G è di classe C ed è definita in un aperto gli eventuali punti di massimo e di minimo ne annullano il gradiente. G x = y (6 x y) (6 4x y) = G y = xy(6 x y) ( x 5y) = = 6 4x y = x 5y = = x =, y =. Calcoliamo ora le derivate seconde di G. G xx = 6y (6 x y)(x + y 6) G xy = G yx = y(6 x y)[(6 x y) 3(y + x)(6 x y) + 6xy] G yy = x(6 x y) 3 xy(6 x y) + 6xy (6 x y) H(x, y) = G xx G xy H(, ) = G yx G yy 36 9 Il punto (,) risulta pertanto di massimo relativo per G. La funzione g ha allora un solo punto di massimo: P = (,, 3), in cui assume il valore 8. 5

16 Analisi Matematica II - Settembre ) Calcolare i momenti di inerzia rispetto agli assi x, y del triangolo di vertici (,), (b,), (b,h), sapendo che la densità è pari ad. ) Determinare il piano tangente alla superficie nel punto (,,-). x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6 = 3) Risolvere il seguente problema di Cauchy: (x + y )y = xy y() =. Svolgimento ) Sia A la regione piana individuata dal triangolo. Risulta A := {(x, y) : x b, y hb } x. Risulta: I x = I y = A A y dxdy = x dxdy = b b h b x dx x dx h b x y dy = b dy = b3 h 4. [ y 3 3 ] h b x = bh3 ) la funzione f(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6 è di classe C in R 3. Inoltre: f = (3x + yz, 3y + xz, 3z + xy), f z(,, ) = 5. Per il teorema del Dini allora la funzione f si può esplicitare, in un intorno del punto dato, come z = z(x, y). Risulta inoltre: z x(x, y) = 3x + yz(x, y) 3z(x, y) + xy, z x(, ) = 5 z y(x, y) = 3y + xz(x, y) 3z(x, y) + xy, z y(, ) = 5. 6

17 L equazione del piano tangente alla superficie data nel punto (,,-) ha equazione: z + = 5 (x ) (y ) x + y + 5z 8 =. 5 3) Si tratta di una equazione differenziale di Manfredi. Siccome il dato iniziale è il punto (,) supponiamo che x > e y >. Posto t = y/x, risulta allora: t + t = t + x dt dx t3 + t = x dt dx dx x = + t dt ln x = x ln t + c ln x = ln y/x + c t y Imponendo il dato iniziale si ottiene c= -/. ln y c = x y y (ln y c) = x. t3 7

18 Analisi Matematica II - Settembre ) Risolvere il seguente problema di Cauchy: xy = y( + y ) y() =. ) Determinare il baricentro della figura piana delimitata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante e dalla parabola y = x, sapendo che la densità è pari a f(x, y) = xy. 3) Scrivere le equazioni delle rette tangente e normale alla curva di equazione xy + ln(x + y) = nel punto (, ). Svolgimento ) Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili. Siccome il dato iniziale è il punto (,) supponiamo che x > e y >. Risulta allora: dy dx y( + y ) = x ln cy + y = ln x. se imponiamo il dato iniziale si ottiene c =. Se esplicitiamo la soluzione rispetto alla variabile x otteniamo y = x x che rappresenta la soluzione del problema di Cauchy nell intervallo ], [. ) Sia A la regione piana individuata da A := { (x, y) : x, x y x }. 8

19 Risulta: m(a) = x G = y G = x xydxdy = xdx ydy = A x 4 x x ydxdy = 4 xdx ydy = 4 m(a) A x 35 x xy dxdy = 4 xdx y dy = 3 m(a) x 5. A 3) Sia f la funzione f(x, y) = xy + ln(x + y). La funzione è di classe C ((R + ) ). Inoltre f(, ) =, f x(x, y) = y + x + y, f x(, ) =, f y(x, y) = x + x + y, f y(, ) =. Per il teorema del Dini, la funzione f può essere esplicitata ad esempio come y = y(x) in un intorno di x =. Inoltre y(x) + y x + y(x) (x) = x + x + y(x) y () =. Le equazioni della rette tangente e normale saranno allora: τ : y + x = ν : y x + =. 9

20 Analisi Matematica II - 6 Gennaio 3 Nome: Cognome Matr. ) Determinare il baricentro in R 3 di una lamina piana rettangolare di densità δ(x, y, z) = µ L 4 (Ly + x ) e di vertici (, ), (, L), (, L/), (L, L/). Calcolare il momento di inerzia della lamina rispetto all asse x. ) Studiare la convergenza della serie n x n, x. n= 3) Studiare il seguente problema di Cauchy: x y 3xy + 4y = e x y() = y () =.

21 Svolgimento ) Calcolaimo innanzitutto la massa della lamina piana: m = µ L dx L 4 L/ (Ly + x )dy = µ L 4 L = µ L ( L 3 L L ) x dx = 7 4 µ. [ ] y=l/ L dx y + x y = y= Calcoliamo ora le coordinate del baricentro. Innanzitutto, visto che la lamina è piana z G =. Inoltre x G = m y G = m L L L/ xdx dx L/ µ L 4 (Ly + x )dy = 9 4 L; µ L 4 y(ly + x )dy = 7 L. Il momento di inerzia vale: I x = µ L L/ dx y (Ly + x )dy = µ L ( ) L 5 L 4 L L3 4 x dx = µl. ) Il termine generale della serie f n (x) = n x n è dominato da L n = n, dunque la convergenza è totale. 3) Si tratta di una equazione differenziale del tipo di Eulero. Se imponiamo la sostituzione x = e z, x >, otteniamo l eqnazione lineare a coefficienti costanti y (z) 4y (z) + y(z) = z, y(z = ) =, y (z = ) =. L equazione caratteristica associata alla eq. omogenea è a 4a + 4 =. L integrale generale della equazione omogenea è dato da: y(z) = c e z + c zez. Se imponiamo il primo dato iniziale otteniamo c =. Se deriviamo y(z) = c zez ed imponiamo il secondo dato otteniamo c =, dunque la soluzione cercata è: y(z) = ze z, y(x) = x ln x.

22 Analisi Matematica II - 6 Gennaio 3 Nome: Cognome Matr. ) Determinare il baricentro in R 3 di una lamina piana rettangolare di densità δ(x, y, z) = µ L 4 (Ly + x ) e di vertici (, ), (, L), (, L/), (L, L/). Calcolare il momento di inerzia della lamina rispetto all asse x. ) Studiare la convergenza della serie n x n, x. n= 3) Studiare il seguente problema di Cauchy: x y 3xy + 4y = ln(x) y() = y () =. Svolgimento ) Calcoliamo innanzitutto la massa della lamina piana: m = µ L dx L 4 = µ L ( L 3 L 4 L/ 8 + L x (Ly + x )dy = µ L 4 L ) dx = 7 4 µ. [ ] y=l/ L dx y + x y = y= Calcoliamo ora le coordinate del baricentro. Innanzitutto, visto che la lamina è piana z G =. Inoltre x G = m y G = m L L L/ xdx dx L/ µ L 4 (Ly + x )dy = 9 4 L; µ L 4 y(ly + x )dy = 7 L. Il momento di inerzia vale: I x = µ L L/ dx y (Ly + x )dy = µ L ( ) L 5 L 4 L L3 4 x dx = µl.

23 ) Il termine generale della serie f n (x) = n x n è dominato da L n = n, dunque la convergenza è totale. 3) Si tratta di una equazione differenziale del tipo di Eulero. Se imponiamo la sostituzione x = e z, x >, otteniamo l eqnazione lineare a coefficienti costanti y (z) 4y (z) + y(z) = z, y(z = ) =, y (z = ) =. L equazione caratteristica associata alla eq. omogenea è a 4a + 4 =. L integrale generale della equazione omogenea è dato da: y(z) = c e z + c zez. Se imponiamo il primo dato iniziale otteniamo c =. Se deriviamo y(z) = c zez ed imponiamo il secondo dato otteniamo c =, dunque la soluzione cercata è: y(z) = ze z, y(x) = x ln x.

24 Analisi Matematica II - Febbraio 3 ) Determinare il baricentro della lamina piana C = {(x, y) R, x, min{x, x } y max{x, x }. di densità δ(x, y) = y + x ) Determinare, se esiste e dove, un potenziale del campo vettoriale ( ) F = ln y +. y x + y, x y 3) Studiare il seguente problema di Cauchy: x y xy + y = x y() = y () =. x x + y Svolgimento ) la Lamina piana C si spezza in due parti: C e C : C = {(x, y) : x, x y x} C = {(x, y) : x, x y x }. Risulta allora: m = (y + x)dxdy + C (y + x)dxdy = C x = dx (y + x)dy + dx x ( x C = x dx x(y + x)dy + x ( y C = x dx y(y + x)dy + x x x (y + x)dy = x dx x(y + x)dy x x dx y(y + x)dy x ) ) = = Per disegnare l insieme C ed il suo baricentro con maple basta utilizzare i comandi: 3

25 c := plot(x, xˆ, x =.., color = blue); c := plot(x, xˆ, x =.., color = blue); c3 := plot([, t, t =.. 4], color = blue); G := pointplot([56/33, 57/66], color = red, axes = boxed, thickness = 5); c4 := plot([56/33, t, t =.. 57/66]); c5 := plot([t, 57/66, t =.. 56/33]); display({g, c, c, c3, c4, c5}, resolution = 6); Il disegno che si ottiene (va colorato) è il seguente: Figure : C e suo baricentro ) Studiamo il campo vettoriale F in A = R R +. Siccome A è un convesso e F C (A) allora F sarà conservativo se e solo se sarà irrotazionale. Risulta: X y = y + x y (x + y ) = Y x. Calcoliamo direttamente la classe delle primitive: ( U(x, y) = ln y + U y y x + y ) dx = x ln y + arctan x y + g(y) = x y x x + y + g (y) = Y g(y) = c. 3) Si tratta di una equazione equidimensionale di Eulero che si riporta a coefficienti costanti con la sostituzione x = e z. L eqnazione lineare a coefficienti costanti è y (z) y (z) + y(z) = e z. L equazione caratteristica ha come soluzioni α = con molteplicità. L integrale generale della equazione omogenea è y(z) = c e z + c ze z. 4

26 Una soluzione particolare dell equazione completa è della forma y(z) = az e z. Svolgendo i calcoli si ottiene a = /. Imponendo i dati iniziali calcolati in z = si ottiene c =, c = e dunque la soluzione cercata (nella variabile x) è: y(x) = x ln x x ln x. 5

27 Analisi Matematica II - (Industriale) Aprile 3 Motivare tutte le risposte. ) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y (x) + y (x) + y = e x y() = y () =. ) Data la funzione f : A R definita da: f(x) := ( ) n (x ) n ln( + n ) n= determinare l insieme A R in cui f è definita; determinare gli insiemi di convergenza uniforme e totale della serie; calcolare f( 3 ) con un errore inferiore a. 3) Determinare i coefficienti della serie di Fourier della funzione f, prolungata ad una funzione π-periodica su R, definita da: { x [, π[ f(x) = x [π, π[. Studiare la convergenza della serie di Fourier e determinarne la somma. Svolgimento ) L integrale generale della equazione omogenea è dato da c e x + c xe x ; una soluzione particolare della equazione completa è x e x. La soluzione del problema di Cauchy è data da: y(x) = x e x + e x + xe x. ) Applichiamo alla serie dei moduli il criterio del rapporto x n+ ln( + lim ) n+ n x n ln( + ) = x < < x <. n 3

28 In x = la serie diventa n= ( )n ln(+ ) che converge per il criterio di Leibnitz, n mentre in x = la serie data diventa n= ln( + ) = poiché si comporta come n la serie armonica. Si tratta dunque di una serie di potenze di punto iniziale x = e raggio r =. Dunque A =], ], mentre la serie converge assolutamente in ], [; uniformemente in ogni intervallo del tipo [ε, ] per ogni ε > (per il teorema di Abel); totalmente in ogni intervallo del tipo [ε, ε] per le proprietà delle serie di potenze. Non converge totalmente in tutto ], ] perché la serie n= sup x ],] f n (x) = ln( + n ) =. Se x = 3/ la serie data è a segni alterni e, per il criterio di Leinbitz, risulta: in particolare, per n = 4 n= R n ( 3 ) ( )n+ ln( + n + ) R 4 ( 3 ) ( )5 ln( 6 5 ) 3 5 = 6 <. Dunque per approssimare f(3/) con un errore inferiore a s 4 (3/). basta prendere 3) a = π a n = π π π π f(x)dx = f(x) cos(nx)dx = π B n = f(x) sin(nx)dx = π π = nπ n dispari n pari. π π cos(nx)dx = per n ; sin(nx)dx = π ( ) n n = Quindi la serie di Fourier associata ad f è: f + π n= sin((n + )x). n + 4

29 La serie converge puntualmente alla somma f(x) x ], π[ {π} s(x) = x = {, π, π} 5