3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0.

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1 1 Calcolo vettoriale 1 Scrivere il vettore w =, 6 sotto forma di combinazione lineare dei vettori u = 1, e v = 3, 1 R w = v 4u Determinare la lunghezza o il modulo del vettore, 6, 3 R 7 3 Determinare la distanza tra i punti con coordinate 1,, 4 e 3, 1, R 7 4 Determinare il prodotto scalare tra i vettori 1,, 3, 3, 1, R 5 5 Dati i vettori u = 1,, 4, v = 3, 1, e w = 6, 1, 1, quali sono le coppie di vettori ortogonali? R u, w 6 Trovare il valore di k per cui i vettori 1, k, 3 e 3, 1, risultano ortogonali R 3 7 Determinare il coseno dell angolo formato dai vettori 1,, 3, 3, 1, R 5/14 8 Determinare il prodotto vettoriale tra i vettori 1,, 3, 3, 1, R 1, 7, 7 9 Un triangolo ha per vertici i punti 1,,, 3, 1, 3,, 5, Determinarne l area e le coordinate del baricentro R 9 3,,, 1 Geometria analitica 1 Determinare l equazione del piano passante per i punti, 6,, 5, 9, 3 e, 3, 4 R + y + 3z + 4 = 0 Determinare { l equazione del piano passante per il punto 1, 3, 5 e passante per la retta di + y z + = 0 equazione R 11 6y + z + = 0 3y + z 1 = 0 3 Determinare l equazione del piano ortogonale al vettore 1,, 3 ed equidistante dai punti 5, 7, 7 e 1, 1, 1 R + y + 3z + 4 = 0 4 Determinare le equazioni della retta ortogonale al piano + y + 3z + 4 = 0 e passante per il punto 1,, 3 R 1 = y = z Determinare la proiezione ortogonale del punto, 1, sul piano + y + 3z + 4 = 0 R 1, 1, 1 6 Determinare la proiezione ortogonale del punto, 1, sulla retta 1 = y = z 3 3 R 5, 10, Determinare l insieme dei punti equidistanti dai punti, 6,, 5, 9, 3 e, 3, 4 8 Determinare l insieme dei punti equidistanti dai piani di equazione + y + 3z + 4 = 0 e y + 3z 4 = 0 9 Determinare i piani passanti per la retta 1 = y = z 3 ed aventi distanza dal punto 3 0, 1, 0 10 Determinare i piani ortogonali alla retta 1 = y = z 3 ed aventi distanza 1 dal punto 3 0, 1, 0 11 Determinare i piani passanti per la retta 1 = y = z 3 che formano un angolo di 45 3 con il vettore 1, 1, 1 3 Matrici 1 Dire quali della seguenti matrici sono matrici a scala: , , Ridurre a scalale seguenti matrici: , , R, , , R sì; no; sì; sì; sì; no; sì ,

2 3 Ridurre a scala le seguenti matrici: , Ridurre a scala le seguenti matrici:, R R ,, Discutere al variare del parametro m il rango della seguente matrice: A = 1 m 3m R per m 3, ranka = 3; per m = 3, ranka = Discutere al variare del parametro b il rango della seguente matrice: 1 1 A = 3b 4 b 3 3 R per b 1, ranka = 3; per b = 1, ranka = Discutere al variare del parametro a il rango della seguente matrice: a a 3a 4 A = R per a, ranka = 3; per a =, ranka = Discutere al variare del parametro m il rango della seguente matrice: 1 3 m 5 A = 4 3m m 4 R per m 1, ranka = 4; per m = 1, ranka = Sistemi lineari { a y = 3a + y = a R per a = 0, nessuna soluzione; per a 0, 1 soluzione: a+4 1 Risolvere al variare del parametro a il seguente sistema lineare: Risolvere al variare del parametro a il seguente sistema: + a 1y z = 0 + 3ay 4z = a + 5y + z = 0, a 6 5a 5 R per a, solo la soluzione banale; per a =, 1 soluzioni: { 0, h, h, h R } y = 1 3 Risolvere al variare del parametro b il seguente sistema lineare: + 7y + z = b 7 + by + z = 1 R per b 4, 1 soluzione:, 1, b ; per b = 4, 1 soluzioni: { h+3, 10 3h, h, h R } by = 5 4 Risolvere al variare del parametro b il seguente sistema lineare: + 5y = y = R per b, nessuna soluzione; per b =, 1 soluzione: 9, { m 1 + y mz = 0 5 Risolvere al variare del parametro m il seguente sistema: m + y + mz = 0 R per ogni m, 1 soluzioni: { mh, m1 mh, h, h R}

3 m + z = 1 + y = 1 6 Risolvere al variare del parametro m il seguente sistema lineare: m + + z = 0 + y + z = R nessuna soluzione per ogni m R a + y + z = 3 + y = 1 7 Risolvere al variare del parametro a il seguente sistema lineare: a y z = y + z = 3 R per a 1, nessuna soluzione; per a = 1, 1 soluzione:, 1, Discutere al variare del parametro b il seguente sistema: b + y + 3z + bt = 0 b + + 3y + 4z + 3t = 0 b by + z + t = 0 R per b 1, 1 soluzioni; per b = 1, soluzioni + m + 1y z t = m Risolvere al variare del parametro m il sistema: m y + z + 3t = m + y + t = m + { } per m 1, R 1 soluzioni: 1 h, h, hm 3m, h + m, h R ; per m = 1, soluzioni: { 4 h 4k, 4h+5k+1, h, k, h, k R } ay + 3z + a 1t = y + z + t = 0 10 Risolvere al variare del parametro a il seguente sistema: + z = y + t = 0 R per a, solo la soluzione nulla; per a =, 1 soluzioni: {h, 9h, h, 3h, h R} 9y + z = b 11 Risolvere al variare del parametro b il seguente sistema lineare: + by + z = b b + 5y = 1 b 1 per b 0 e b 9, 1 soluzione: R,, b3 +7b b+1 ; bb+9 b+9 bb+9 per b = 0 oppure b = 9, nessuna soluzione ay + az at = a 3 + y z + 4t = 1 1 Risolvere al variare del parametro a il seguente sistema lineare: + 3y + z + t = y + z + t = per a, 1 soluzione: 0, R 5, 7, 1 ; 4 4 per a =, 1 soluzioni: { 4 4h, 7h+8, 37h+1, h, h R } Discutere al variare del parametro m il seguente sistema: + m y + 3mz mt = 1 3 m 3 y + z + 3t = m + 9y + 10z 3t = m + 11 R per ogni m, 1 soluzioni + a 3 y + 3az at = 1 14 Discutere al variare del parametro a il seguente sistema: 3 a y + z + 3t = a + 18y + 10z 3t = a + 11 R per a 3, 1 soluzioni; per a = 3, soluzioni a + by = b 15 Risolvere al variare dei parametri a e b il seguente sistema lineare: 3 y = y = 1 R per a 1b, nessuna soluzione; per a = 1b, 1 soluzione: 1,

4 4 16 Risolvere al variare dei parametri a ed m il seguente sistema: + 1 ay + mz = y + z = 0 + 5y z = 0 R per a 3m, solo la soluzione nulla; per a = 3m, 1 soluzioni: { h, h, h, h R } y z = a 17 Risolvere al variare dei parametri a ed b il seguente sistema: b + 3ay bz = b y z = per b 0, 1 soluzione: 6a +ab 6a+3b, a, 6a +4ab 6a+11b ; 5b 5 5b R per b = 0 e a = 0 o 1, 1 soluzioni: { h + 3a+8, a, h, h R } ; 5 5 per a 0, a 1 e b = 0, nessuna soluzione + 3by + z = 1 18 Discutere al variare dei parametri a, b e c il seguente sistema lineare: a + y + z = 1 + y + z = c per a 1 e b 1, 1 sola soluzione; per a = 1 e c 1, nessuna soluzione; 3 R per b = 1 e c 1, nessuna soluzione; per a = 1, b 1 e c = 1, soluzioni; per a 1, b = 1 e c = 1, 3 1 soluzioni; per a = 1, b = 1 e c = 1, 3 soluzioni; Calcolare i seguenti limiti: 1 lim 0 sin3 R 3 lim 0 sin sin R 1 3 lim 0 1 cos R 1 4 lim 0 sin 0 0 R 1 5 lim 1 sin 1 1 R 5 Primi esercizi sui limiti 6 lim 0 7 lim + R Non esiste +3 + R 8 lim cos 3 9 lim 10 lim + 11 lim tan 0 sin lim 0 13 lim π 14 lim + sincos cos cos 15 lim 0 lne 1 ln 6 Esercizi sui limiti Eventualmente utilizzando i teoremi di de L Hôpital, calcolare i seguenti limiti: ln 1 lim ln R 0 6 lim 11 lim sin lim R 1 e 7 lim 1 lim ln 3 ln ln lim + ln R lim 0 sin R 0 5 lim 0 + R 1 8 lim 0 tan ln e 9 lim cos 0 sin 10 lim lim + 14 lim e 1 0 tan π 1 1 sin cos 15 lim 0 3 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: 1 f = f = sin 3 f = sin 1 4 f = cosarcsin 5 f = arcsin + arccos 7 Derivate 6 f = sin 5 7 f = tan 8 f = ln 1+ 9 f = ln7 + e 7 10 f = e 1+ln 11 f = cosln f = f = f = f = cos sin

5 5 8 Asintoti Trovare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: 1 f = +1 5 f = f = f = +4 5 f = 4 6 f = f = f = f = f = e 3 11 f = e 1 1 f = e f = e + cos 14 f = ln f = lne 1 9 Massimi e minimi Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo delle seguenti funzioni: 1 f = 5 0 f = f = e f = ln 5 f = f = f = e 1 8 f = + 9 f = e Studiare le seguenti funzioni: 1 f = 4+ 3 f = 4 3 f = f = e +1 5 f = Studio di funzioni 6 f = 5e 7 f = e 1 8 f = e 1 9 f = f = lne 1 11 f = ln f = e ln ln 13 f = lne 3e f = ln ln 15 f = e + Classificare le seguenti coniche: 1 5y + y 3 + 6y + 1 = 0 3y + y y + 3 = y + 9y 4 + 6y 3 = y + 4y 6 + 4y + 1 = 0 5 y + 3y 3 + 6y + 8 = y + y 3 + 6y + 5 = y y y 1 = 0 8 y 3 7y + 5 = y + 4y 6 4y + 1 = y + 9y 3 + 6y + 1 = 0 11 Classificazione delle coniche 1 Rette tangenti 1 Trovare le rette passanti per il punto 1, 1 e tangenti alle coniche precedenti Interpretare geometricamente Trovare le rette parallele al vettore 1, 1 e tangenti alle coniche precedenti Interpretare geometricamente 3 Trovare l inviluppo della famiglia di rette definita come assi dei segmenti di estremi 0, 1 e t, 0, t R 4 Trovare l inviluppo della famiglia di rette definita come assi dei segmenti congiungenti il punto 1, 0 ad un generico punto della circonferenza centrata nell origine e raggio unitario 5 Trovare l inviluppo della famiglia di segmenti di lunghezza 1 aventi estremi sugli assi coordinati asteroide

6 6 13 Aree 1 Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = 4, y = Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = 9+4 4, y = Calcolare l area della regione interna al cerchio di raggio 5 e centro l origine ed interna all iperbole di equazione y = 1 4 Determinare l area della regione del piano definita da {, y R : + y 4 4y/3} 5 Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = + 4, y = 6 Determinare per quali valori di h la retta y = h taglia la circonferenza unitaria in due parti di cui una di area doppia dell altra 7 Trovare per quale valore di a la retta + y = a determina con la parabola y = una regione limitata di area 1 8 Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = 3 7+, y = Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = 4, y = Calcolare l area della regione limitata del piano determinata dalle curve di equazione y = , y = Lunghezze Calcolare la lunghezza delle seguenti curve: 1 circonferenza t = 1 + cos t, yt = sin t, t [0, π] nefroide t = 3 cos t cos3t, yt = 3 sin t sin3t, t [0, π] 3 catenaria y = a e a + e a, [ 1, 1] 4 y = 3, [0, ] 5 asteroide y = 1 3 3, [0, 1] 15 Derivate parziali e direzionali Calcolare la derivata parziale rispetto a delle seguenti funzioni: 1 f = 3 +y+5y f = sin y y y +1 3 f = y + y 4 f = 5 f = ln1 + y y 6 f = ye +y Calcolare la derivata direzionale delle precedenti funzioni nel punto, 3 lungo la direzione del vettore 1, 3 16 Classificazione dei punti critici Determinare e classificare i punti critici delle seguenti funzioni: 1 f, y = 3 6y + 3y 13 f, y = f, y = + y y y 4 + 4y 3 f, y = y + y 4 f, y = 3 + y 3 3y 5 f, y = 4 + y 4 4y 6 f, y = + 8 y y 7 f, y = cos + y 8 f, y = sin y 9 f, y = cos + cos y 10 f, y = y + +y 11 f, y = 1+ +y 1 f, y = 1 1 +y+ +y 14 f, y = ye +y 15 f, y = ye +y 16 f, y = ye y 4 17 f, y = e y f, y = y + 4 +y 4 19 f, y = 3 + y 3 3 3y 0 f, y = 4 + y + y f, y = + y 3 y f, y = 4 + y f, y = e y+

7 17 Massimi e minimi vincolati 1 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = + y nel rettangolo 0, 0 y 1 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y nel rettangolo 1 1, 0 y 1 3 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y y nel disco + y 1 4 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = + y nel disco + y 1 5 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y 3 y nel quadrato 0 1, 0 y 1 6 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y1 y nel triangolo con vertici 0, 0, 1, 0, 0, 1 7 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = sin cos y nel triangolo con vertici 0, 0, π, 0, 0, π 8 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = sin sin y sin + y nel triangolo con vertici 0, 0, π, 0, 0, π 9 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y 1+ +y nel semipiano y 0 10 Determinare massimo e minimo di f, y = ye y nel disco + y y Determinare i valori massimo e minimo di f, y = 3 y sulla retta + y = 1 1 Quali sono i rettangoli di area massima tra quelli che hanno perimetro fissato? 13 Determinare la distanza minima tra la parabola y = ed il punto 1, 14 Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y nell insieme dei punti che verificano + 4y = Determinare i valori massimo e minimo di f, y = y sulla circonferenza + y = Autovalori ed autovettori Determinare gli autovalori ed autovettori delle seguenti matrici: 1 λ = 1 : h, h 1 R 4 5 λ = 6 : h, 4h, h R

8 8 19 Volumi e baricentri 1 Determinare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all asse delle ascisse la curva di equazione y = + + 4, con Determinare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all asse delle ascisse la regione del piano racchiusa tra l asse delle ascisse, la retta = 3 e la curva y = Determinare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all asse delle ascisse la regione del piano racchiusa dall asse delle ascisse, dalle rette = π/3, = π/3 e dalla curva y = 1 cos 4 Determinare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all asse delle ordinate la regione del piano racchiusa dagli assi coordinati e dalla curva y = ln Calcolare y d dy, con T = {, y R : 0 1, 0 y } T 6 Calcolare y + y d dy, con Q = [0, 1] [0, 1] Q 7 Calcolare + sin y d dy, con Q = [ 1, 1] [ 1, 1] Q 8 Trovare il baricentro della regione del piano delimitata dalla curva y = sin e dal segmento congiungente i punti 0, 0 e π, 0 9 Trovare il baricentro della regione delimitata dalle curve di equazione y = e y = 10 Trovare il baricentro della regione interna all ellisse di equazione + y = 1 e contenuta nel semipiano dei punti con ordinata positiva 11 Trovare il baricentro di mezza palla 1 Calcolare il volume dell intersezione tra la palla con centro nell origine e raggio 1 e la regione dello spazio costituita dai punti con ascissa compresa tra 0 e 1 13 Calcolare il volume della porzione di ellissoide 4 + 4y + z 4 al di sopra del piano z = 1 14 Calcolare il volume dell intersezione tra due cilindri di raggio 1 con assi ortogonali ed incidenti 15 Il cerchio + y 4 0 ruota attorno all asse delle ordinate Determinare il volume del solido ottenuto 16 La regione delimitata dalla curva y = , dagli assi coordinati e dalla retta = 3 ruota attorno all asse delle ordinate Determinare il volume del solido ottenuto 17 Calcolare il volume del pezzo di cilindro + y 1 contenuto tra i due piani z + = 0 e + z + = 0 18 Calcolare il volume dell intersezione tra il cilindro + z 1 ed il cono circolare retto che ha per vertice il punto 0, 0, 3 e per base un cerchio di raggio sul piano z = 0 19 Sia S l ottaedro regolare avente i vertici nei punti, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0, Determinare il volume dell intersezione tra S e il cilindro circolare retto di equazione + y = 1

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