Esercizi sulle funzioni f : R 2 R. Soluzioni

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1 Esercizi sulle funzioni f : R R Soluzioni. Disegnare il grafico della funzione f : R R, nei casi: (a) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. In questo caso il grafico rappresenta un piano (vedi figura). (b) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. Le sezioni del grafico con piani verticali paralleli al piano z sono parabole, mentre le sezioni del grafico con piani verticali paralleli al piano z sono rette orizzontali (vedi figura) (c) f(, ) = 4 In questo caso il grafico rappresenta un paraboloide passante per (0, 0, 4) con concavità rivolta verso il basso (vedi figura).. Descrivere le curve di livello della funzione f : R R, nei casi: (a) f(, ) =. L equazione = c, ovvero = c definisce delle rette parallele alla bisetrice del primo e terzo quadrante (vedi figura) (b) f(, ) =. Per c = 0, l equazione = 0 definisce le due rette = 0 e = 0, ovvero i due assi coordinati. Se c > 0 l equazione = c, ovvero = c/, definisce due rami di iperbole nel primo e nel terzo quadrante, mentre se c < 0 l equazione = c, ovvero = c/, definisce due rami di iperbole nel secondo e nel quarto quadrante (vedi figura) (c) f(, ) = sin(). Per c l equazione sin() = c ha come soluzioni = arcsin(c) + kπ, con k Z, che rappresenta un insieme di rette parallele all asse delle (vedi figura). (d) f(, ) = sin() sin(). Per c =, l equazione sin() sin() = ha come soluzione l insieme dei punti del piano della forma (π/ + kπ, π/ + hπ), e della forma π/ + kπ, π/ + hπ) con k, h Z. Per c = 0, l equazione sin() sin() = 0 ha come soluzione sin() = 0 oppure sin() = 0, che rappresentano rispettivamente nel piano le rette

2 5,0,5 5,0 0,0,5 0,0,5,5 5,0 5,0,5 0,0,5 5,0 5,0 es (a): il grafico della funzione f(, ) = = kπ, con k Z (parallele all asse delle ) e le rette = hπ, con h Z, (parallele all asse delle ). Per 0 < c < oppure < c < 0 l equazione sin() sin() = c rappresenta una famiglia di curve chiuse che si ripetono con periodicità di (π, π) nel piano (vedi figura). (e) f(, ) =, dove f è definita in {(, ) + R : + 0}. Per c l equazione c = c definisce nel piano la curva =, + +c ovvero una retta passante per l origine e di coefficiente angolare c. Per +c c = l equazione = c definisce nel piano la retta = 0 (l asse + delle ). Le linee di livello sono quindi rette passanti per l origine e di inclinazione dipendente dal valore di c (vedi figura). (f) f(, ) = e, dove f è definita in {(, ) R : 0}. L equazione e = c definisce, al variare di c R, la famiglia di curve della forma = ce (vedi figura). 3. Per le funzioni che seguono, determinare il gradiente della funzione data nel punto indicato e l equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto indicato. (a) f(, ) = in (, ).

3 5 0 5,0,5 5 0,0 0 5,5 0 5,0,5 0,0 5,0 5,0,5 es (b): il grafico della funzione f(, ) = es (c): il grafico della funzione f(, ) = 4

4 K K 0 K K es (a): alcune curve di livello della funzione f(, ) = K K 0 K K es (b): alcune curve di livello della funzione f(, ) =

5 6 4 K6 K4 K K K4 K6 es (c): alcune curve di livello della funzione f(, ) = sin() es (d): alcune curve di livello della funzione f(, ) = sin() sin()

6 4 3 K K 0 K K K3 K4 es (e): alcune curve di livello della funzione f(, ) = + 3 K K K3 es (f): alcune curve di livello della funzione f(, ) = e

7 Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da f(, ) = (3 3, 3 3) Il gradiente nel punto di coordinate (, ) è dunque f(, ) = (6, 6). L equazione del piano tangente al grafico di f in (, ) è dunque: z = 4 + 6( ) + 6( ) (b) f(, ) = in (, ). + Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da ( f(, ) = + ( + ), + ) ( + ) Il gradiente nel punto di coordinate (, ) è dunque f(, ) = (/, /). L equazione del piano tangente al grafico di f in (, ) è dunque: z = ( ) ( ) (c) f(, ) = in (, 5). Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da ( ) e log() f(, ) =, log()e log() Il gradiente nel punto di coordinate (, 5) è dunque f(, 5) = (5, 0). L equazione del piano tangente al grafico di f in (, ) è dunque: z = + 5( ) 4. Si consideri il grafico della funzione f(, ) = (a) Calcolare il punto ( 0, 0, f( 0, 0 )) in cui il piano tangente è orizzontale. Se il piano tangente è orizzontale, ha equazione z = f( 0, 0 ). Dobbiamo cercare quindi il punto ( 0, 0 ) in cui f( 0, 0 ) = 0, f( 0, 0 ) = 0. Cerchiamo quindi il punto le cui coordinate ( 0, 0 ) sono soluzioni del sistema: { = = 0 e otteniamo 0 = 7/5, 0 = 4/5, e f( 0, 0 ) = 9/5.

8 (b) Calcolare il punto ( 0, 0, f( 0, 0 )) in cui il piano tangente è ortogonale al vettore N = (, 4, ). In vettori normali al piano tangente al grafico della funzione f nel punto ( 0, 0, f( 0, 0 )) sono i multipli del vettore ( f( 0, 0 ), ) f( 0, 0 ),. Imponiamo quindi che esista una costante λ R, tale che ( f( 0, 0 ), ) f( 0, 0 ), = λ(, 4, ) Cerchiamo quindi il punto le cui coordinate ( 0, 0 ) sono soluzioni del sistema: = λ = 4λ = λ ottenendo λ =, 0 = /5, 0 = 4/5, f( 0, 0 ) = 7/5. 5. Determinare la direzione di massima crescita della funzione data nel punto indicato: (a) f(, ) = log( + 3 ) in (, ) Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da: ( ) 6 f(, ) = + 3, + 3 Il gradiente nel punto di coordinate (, ) è dato da ( 4 f(, ) = 7, 6 ), 7 che indica la direzione di massima crescita della funzione a partire dal punto (, ). (b) f(, ) = e cos() in (π, ) Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da f(, ) = ( e sin(), e cos()) Il gradiente nel punto di coordinate (π, ) è dato da f(π, ) = (0, e ) che indica la direzione di massima crescita della funzione a partire dal punto (π, ).

9 (c) f(, ) = in (, ) Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da: f(, ) = (, ) Il gradiente nel punto di coordinate (, ) e dato da f(, ) = (, ) che indica la direzione di massima crescita della funzione a partire dal punto (, ). (d) f(, ) = sin() cos() in (π/, 0) Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da: f(, ) = (cos() cos() sin() sin(), sin() sin()) Il gradiente nel punto di coordinate (π/, 0) e dato da f(π/, 0) = (0, 0). Il punto (π/, 0) è un punto in cui il gradiente è il vettore nullo. Dato che f è differenziabile (in quanto di classe C si ha anche che per ogni vettore v, la derivata direzionale di D v f(0, 0) = Determinare la derivata direzionale della funzione data nel punto indicato e nella direzione specificata (a) f(, ) = e in (, ) nella direzione del vettore v = 3 i+ j Utilizziamo la formula f (, ) = f(, ) v, dato che f è differenziabile in (, ) v (è immediato verificare che le derivate parziali sono funzioni continue). Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da f(, ) = (e, e ), quindi il vettore gradiente nel punto di coordinate (, ) è f(, ) = (e, e), e la derivata direzionale cercata è ( ) f 3 (, ) = (e, e) v, 3 = e + e

10 (b) f(, ) = log( + ) in (, ) nella direzione del vettore v = i + j Utilizziamo la formula f (, ) = f(, ) v. Il vettore gradiente nel v generico punto di coordinate (, ) è dato da f(, ) = ( +, + quindi il vettore gradiente nel punto di coordinate (, ) è f(, ) = (/5, 4/5), e la derivata direzionale cercata è ( ) f (, ) = (/5, 4/5) v, = 3 5 (c) f(, ) = sin( + ) in ( π, π) nella direzione del vettore v = i j Il vettore gradiente nel generico punto di coordinate (, ) è dato da ), f(, ) = ( cos( + ), cos( + )), quindi il vettore gradiente nel punto di coordinate ( π, π) è e la derivata direzionale cercata è f( π, π) = ( π, π), f v ( π, π) = ( π, π) (, ) = ( ) π (d) f(, ) = in (, ) nella direzione del vettore v = i j. + Le due derivate parziali nel generico punto di coordinate (, ) sono: f (, ) = f (, ) = + ( + ) + 4 ( + ) quindi il vettore gradiente nel punto di coordinate (, ) è f(, ) = (/9, /9), e la derivata direzionale cercata è ( ) f (, ) = (/9, /9) v, = 9

11 7. Si consideri la funzione f : R R definita da { per (, ) (0, 0) f(, ) = + 0 per (, ) = (0, 0) Calcolare il vettore gradiente di f in (0, 0) e la derivata direzionale D v f(0, 0) di f in (0, 0) nella direzione del vettore v = i + j. Come mai la formula D v f(0, 0) = f(0, 0) v non vale? la funzione f è identicamente nulla sugli assi coordinati, quindi f f (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0, quindi il gradiente di f nel punto (0, 0) è il vettore nullo: f(0, 0) = (0, 0) La derivata direzionale di f in (0, 0) nella direzione del vettore v è data da: h, ) h ( f f (0, 0) = lim v h 0 = lim h 0 4 h h = h Si noti che in questo caso non vale la formula del gradiente, infatti f(0, 0) v = 0, mentre f (0, 0) =. Questo è dovuto al fatto che f non è differenziabile v 4 in (0, 0), infatti non esiste il limite f(, ) f(0, 0) f(0, 0) ( 0, 0) lim = lim (,) (0,0) + (,) (0,0) ( + ) 3/ 8. Si consideri la funzione F : R R data da f(, ) = sin() e la funzione α : R R data da α(t) = (t, cos(t)). Si calcoli la derivata della funzione composta f α. La funzione composta f α è data da f α(t) = sin(t cos(t)) quindi d dt f α(t) = cos(t cos(t)) ( t cos(t) t sin(t) ) Si poteva ottenere lo stesso risultato utilizzando le regola di derivazione delle funzioni composte: d dt f α(t) = f(α(t)) α (t) 4

12 dove f(, ) = ( cos(), cos()) e quindi f(α(t)) = cos(t cos(t))(cos(t), t ) e α (t) = (t, sin(t), quindi: f(α(t)) α (t) = cos(t cos(t))(cos(t), t ) (t, sin(t) = cos(t cos(t))(t cost t sin t) 9. Utilizzando la formula di derivazione di funzione composta otteniamo: d T((t), (t)) = d dt dt T α(t) = T((t), (t)) ( (t), (t)) = ((t), 4(t)) ( (t), (t)) = (( t 3 ), 4t) ( 3t, ) = 6t 5 t + 4t Potevamo arrivare allo stesso risultato esplicitando la funzione composta e derivandola rispetto alla variabile t, infatti: T((t), (t)) = ( t 3 ) + t = t t 3 + t la cui derivata è la funzione d dt T((t), (t)) = 6t5 t + 4t