Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)

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1 Analisi Matematica II Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 5//14 Michela Eleuteri 1 eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri Nel seguito indichiamo con [MS] il testo: P. Marcellini, C. Sbordone : Esercitazioni di Matematica, volume, parte seconda, Liguori Editore, Curve Esercizio 1.1. Data la curva γ parametrizzata da e t cos t, e t sin t) con t π, dire se è semplice e/o chiusa e determinate la lunghezza di γ; determinate poi la retta tangente alla curva nel punto corrispondente a t =. La curva data è semplice e non è chiusa. Se ϕt) = e t cos t, e t sin t) allora ϕ t) = e t cos t sin t), e t sin t + cos t)), quindi Allora ϕ t) = e t cos t + sin t sin t cos t + sin t + cos t + sin t cos t = e t. lγ) = π ϕ t) dt = π e t dt = e π e ). Poi per t = si ha ϕ) = 1, ) e ϕ ) = 1, 1), e la tangente cercata ha equazione parametrica o cartesiana y = x 1. { x = 1 + t y = t 1 È vietata la diffusione e la riproduzione di questo materiale o parte di esso particolarmente a fini commerciali) senza il consenso della sottoscritta. Queste note, che riprendono in parte gli esercizi svolti durante le ore di esercitazioni frontali, costituiscono parte integrante ma non esclusiva!) del corso di Analisi II e pertanto, ai fini dell esame, devono essere adeguatamente integrate con il materiale indicato dal docente titolare del corso. 1

2 Esercizio 1.. Determinare una parametrizzazione della curva chiusa γ che si ottiene percorrendo prima da sinistra verso destra il grafico di fx) = 1/3)x 1) 3/ per 1/ x 1 e poi da destra a sinistra il segmento congiungente gli estremi del grafico di f stessa. Disegnare quindi il sostegno di γ e calcolarne la lunghezza. Dire se la curva è chiusa o no; dire se è semplice o no. Chiamiamo γ 1 il tratto di curva che si ottiene percorrendo il grafico di f da sinistra a destra e γ il segmento che si ottiene congiungendo gli estremi di f e percorrendolo da destra a sinistra). Dobbiamo scrivere una parametrizzazione di entrambi. Per γ 1 semplicemente poniamo x = t e y = ft), con t [1/, 1] da cui si ha { x = t γ 1 = y = 1 3 t 1)3/ 1 t 1; Per γ abbiamo diverse possibilità. Ne proponiamo due, ma altre scelte sono possibili. Figura 1: Esercizio 1.: le curve γ 1 e γ primo modo: una possibile scelta consiste nel pensare t come legge oraria che quindi varia con continuità nel percorrere le due curve in sequenza; quindi si può farlo variare a partire dall istante di arrivo nel caso precedente che è t = 1) fino a un istante successivo t > 1 per

3 esempio si può scegliere per comodità t = ). In tal caso, una possibile parametrizzazione di x consiste nello scrivere il segmento che passa per i punti t = 1, x = 1 e t =, x = 1/ che è x = 3 1 t. A questo punto per ottenere l espressione di y in funzione di t si scrive prima il segmento passante per i punti x = 1/, y = e x = 1, y = 1/3, che risulta essere y = 3 x 1 3 e poi si sostituisce l espressione precedente di x dentro questa appena ricavata per y, da cui y = ) t 1 3 = 1 [ t], 3 cioè riassumendo γ = { x = 3 1 t y = 1 3 t) 1 t. secondo modo: alternativamente si può far variare t in un intervallo comodo indipendentemente da un eventuale significato fisico del parametro, per esempio si può scegliere t [, 1]. In tal caso allora scriviamo il segmento per i punti t =, x = 1 e t = 1, x = 1/ ottenendo x = 1 t+1 stiamo dunque percorrendo il segmento da A a B come richiesto esplicitamente nell esercizio). Notiamo che, indipendentemente dalla richiesta dell esercizio, se avessimo percorso il segmento nella direzione opposta, la lunghezza di γ non sarebbe cambiata. Questo perché gli integrali di linea di prima specie sono invarianti per cambiamenti di parametrizzazione e il verso con cui si percorre una curva non cambia il risultato dell integrale; non sarà così ovviamente nel caso degli integrali di linea di seconda specie. A questo punto allora abbiamo ricavato prima l espressione del segmento per i punti x = 1, y = 1/3 e x = 1/, y = che era y = 3 x 1 3 quindi l espressione di γ ottenuta in questo secondo modo è { x = 1 1 t γ = y = t) t 1. Naturalmente questa espressione si poteva ottenere da quella precedente con un opportuno cambio di variabile cambio di parametrizzazione). In ogni caso comunque si ha γ 1t) = 1, t 1) γ t) = 1 ), 1. 3 Da cui lγ) = lγ 1 ) + lγ ) = = = 1 1/ La curva data è chiusa e semplice. 1 1/ γ 1t) dt t 1) dt + 1 1/ [ ] t3/ + = γ t) dt ) + 1 3) = / t dt

4 Esercizio 1.3. [MS], Esercizio 5.19, pag. 97) Calcolare la lunghezza dell arco di cardioide descritta dalle equazioni in coordinate polari ρ = r1 + cos θ) θ [, π], r >. Vogliamo applicare la formula relativa alla lunghezza di una curva in coordinate polari, cioè π lγ) = [ρθ)] + [ρ θ)] dθ. Nel nostro caso si ha ρθ) = r1 + cos θ) ρ θ) = r sin θ da cui π lγ) = 4r 1 + cos θ) + 4r sin θ dθ = π r 1 + cos θ dθ. Effettuiamo un cambio di variabile θ = x, x [/, π/]. Si ha lγ) = π/ / ma dalle formule di duplicazione, oservando che 4 r 1 + cosx) dx cosx) = cos x sin x = cos x cosx) = cos x si deduce allora avendo preliminarmente osservato che cos x se x [/, π/]) lγ) = 8r π/ / Integrali di linea di prima specie Esercizio.1. cos x dx = 16r. Calcolare l integrale curvilineo) di fx, y) = xy 4 + x lungo la curva γ il cui sostegno è il bordo E di } E = {x, y) : x, x + y 1, y 1 x 4 e determinare la retta tangente a γ nel punto 1, 3 ). 4 Dalla linearità dell integrale di linea si ha fx, y) ds = γ fx, y) ds + γ 1 fx, y) ds + γ fx, y) ds γ 3 4

5 dove γ 1 = {x, y) R : y =, 1 x } γ = {x, y) R : y = 1 x, x 1} γ 3 = {x, y) R : y = 1 x /4, x }. Scegliamo una parametrizzazione dei vari tratti di curva. Si ha ad esempio Figura : Esercizio.1: la curva γ da cui si deduce immediatamente Inoltre da cui γ fx, y) ds = π/ γ 1 t) = γ t) = fγ t)) γ t) dt = { x = t y = 1 t, γ 1 fx, y) ds =. { x = cos t y = sin t t π π/ 5 sin t cos t 4 + cos t dt = [ 4 + cos t] π/ = 5.

6 Infine x = t γ 3 t) = y = 1 t 4 t ; da cui Quindi Riassumendo dunque Nel punto γ 3 fx, y) ds = γ 3t) = = fγ 3 t)) γ 3t) dt = γ ) t 4 + t =. ) t t3 dt = 1 4 [ t fx, y) ds = , 3 ) c è il tratto di parabola γ 3 da cui 4 γ 3t) = 1, t ) e il punto 1, 4) 3 corrisponde al valore t = 1. La forma parametrica della retta tangente è dunque x = 1 + t y = t t R; t1 t 4 ) 4 + t dt 4 + t t4 16 ] = 1 [ 1] = 1. che in forma cartesiana diventa y = 1 x Esercizio.. Si calcoli l area della superficie S parallela all asse delle z, compresa tra il piano z = ed il grafico della funzione fx, y) = x y che interseca il piano z = lungo la parte dell ellisse contenuta nel primo quadrante. } {x, y) R : x 9 + y 4 = 1 Una parametrizzazione della curva γ che descrive la parte di ellisse contenuta nel primo quadrante data dal problema è { x = 3 cos θ [ γθ) = θ, π ] y = sin θ 6

7 da cui e γ θ) = γ θ) = { x = 3 sin θ y = cos θ θ [, π ] 9 sin θ + 4 cos θ = 5 sin θ + 4. Quindi, tenendo conto dell interpretazione geometrica dell integrale curvilineo rispetto alla lunghezza d arco, l area della superficie cilindrica S è data da π/ π/ fx, y) ds = fγθ)) γ θ) ds = 6 sin θ cos θ 5 sin θ + 4 dθ γ = 3 5 = 5 π/ 1 sin θ cos θ 9 3/ 4 3/) = Esercizi proposti dal testo [MS] 5 sin θ + 4 dθ = 3 5 [ 5 sin θ + 4) 3/ Gli esercizi del testo [MS] sono tutti fortemente consigliati; in particolare si raccomanda di svolgere i seguenti: Esercizi: 5.6, 5.8, 5.11, 5.1, 5.13, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5., 5.1, 5., 5.3, 5.4, 5.8, 5.9, 5.3, 5.31, 5.3, 5.33, 5.34, 5.35, 5.36, 5.37, 5.38, 5.39, 5.4, 5.41, 5.4, Altri esercizi proposti Esercizio / ] π/ Data la curva la cui equazione in coordinate polari è ρ = θ, determinare un vettore tangente alla curva nel punto che corrisponde a θ = π e scrivere l equazione cartesiana della retta tangente nello stesso punto. Determiniamo un equazione parametrica della curva data in coordinate polari. Si ha { xθ) = ρθ) cos θ = θ cos θ yθ) = ρθ) sin θ = θ sin θ. A questo punto, un vettore tangente alla curva nel punto che corrisponde al generico θ dato da { x θ) = cos θ θ sin θ y θ) = sin θ + θ cos θ. da cui un vettore tangente alla curva nel punto che corrisponde a θ = π x π ) = y π ) =. dato da 7

8 A questo punto, l equazione cartesiana della retta tangente al punto corrispondente al generico θ y θ )x xθ )) = x θ)y yθ )) per cui, se θ = π, si ha Esercizio 4.. x ) = y π) x + πy = π. Data la curva γ avente equazione in coordinate polari ρ = θ con θ π, determinate la lughezza di γ; determinate poi un versore tangente alla curva nel punto corrispondente a θ = ε e calcolate il limite per ε + di questo versore. primo modo: Si può pensare di calcolare direttamente la lunghezza della curva con la formula che coinvolge le coordinate polari. In tal caso, posto fθ) = θ si avrebbe f θ) = 4θ da cui lθ) = π π 4θ θ dθ = θ θ + 4 dθ = [ ] 4 π 3 θ + 4) 3/ = 4 3 π + 4) 3/ 3 3. secondo modo: alternativamente si può passare attraverso una rappresentazione parametrica della curva. In questo caso, posto con t π, si ha ϕt) = ρt) cos t, ρt) sin t) = t cos t, t sin t) ϕ t) = 4t cos t t sin t, 4t sin t + t cos t) da cui per cui ϕ t) = 16t + 4t 4 ϕ t) = 4t 4 + t ) = t 4 + t, lγ) = = Il versore cercato risulta π ϕ t) dt = [ 4 3 t + 4) 3/ ] π π t π 4 + t dt = t t + 4 dt = 4 3 π + 4) 3/ 3 3. ϕ ε) ϕ ε) = 4ε cos ε ε sin ε, 4ε sin ε + ε cos ε) ε 4 + ε quindi, visto che si fa tendere ε +, allora si può considerare ε > e dunque cos ε τε) = ε sin ε, sin ε + ε cos ε ) 1, ) 4 + ε 4 + ε 4 + ε 4 + ε 8

9 Esercizio 4.3. Su un filo rigido di rame disposto lungo la curva αt) = t cos t, t sin t, t), t [, π] è stata depositata una carica elettrica Q, che per effetto di un campo elettrico si dispone in modo che la sua densità lineare sia proporzionale alla quota; sia 3 3/ ) la costante di proporzionalità. Determinare Q. Si determini inoltre il piano normale ad α nel punto,, π) ovvero il piano normale alla retta tangente in quel punto). Osserviamo che se la curva α viene proiettata sul piano z = si ottiene la spirale di Archimede. Poniamo αt) := α 1 t), α t), α 3 t)) = t cos t, t sin t, t) t [, π] da cui e α t) = α t) = cos t t sin t, sin t + t cos t, 1) cos t + t sin t t sin t cos t + sin t + t cos t + t sin t cos t + 1 = t +. Allora, per definizione di integrale curvilineo di prima specie, posto fx, y, z) = 3/) 3/ z si ha π π Q = 3/) 3/ z ds = fα 1 t), α t), α 3 t)) α t) 3/) 3/ dt = 3/) 3/ t t + dt α = 1 3/)3/ t + ) 3/ 3/ π = 3 [4π + ) 3/ 3/ ]. L equazione cartesiana del piano normale alla curva α : R R 3 nel punto αt ) = x, y, z ) è data da x x ) α 1t ) + y y ) α t ) + z z ) α 3t ) = e quindi inserendo i nostri parametri si ottiene: x =, y =, z = π, t = π da cui α π) = 1,, 1) e dunque L equazione cercata perciò risulta x + π) α 1π) + y ) α π) + z π) α 3π) =. z x y π = π. 5 Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti Esercizio 5.1. tema d esame del 1 settembre Calcolare l integrale curvilineo y cos x ds sulla curva γt) = t, sin t) per t [, π] γ Per la soluzione vedi la pagina 9

10 Esercizio 5.. tema d esame del 13 gennaio 3 Calcolare l integrale curvilineo sulla curva γt) = 1 + x per x [, 1] γ 3 xy 1) ds Per la soluzione vedi la pagina 1