Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti.

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1 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) Equazioni differenziali 1. Scrivere l integrale generale dell equazione y 4y = 5e x sin x). [Per la determinazione della soluzione particolare dell equazione completa si raccomanda di usare la tecnica degli esponenziali complessi]. 1

2 . Si consideri l equazione differenziale: y = e x y 1). a. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. b. Risolvere il problema di Cauchy per l equazione precedente con condizione iniziale y 0) =, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea. Si consideri l arco di curva nello spazio di equazioni parametriche r t) = Rt cos t, Rt sin t, R ) t, per t [0, π], con R > 0 fissati. Si calcoli la sua lunghezza.

3 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y) = log 1 x y ) log x) x y 4 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: { x y cosx +y 4 ) f x, y) = per x, y) 0, 0) x +y ) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta.

4 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x y x + y ). 4

5 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = 0. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = e x x ). 5

6 . Si consideri l equazione differenziale: y + y sin x = 4 sin x. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. Curve e integrali di linea. Si consideri una linea piana materiale, non omogenea, rappresentata dalla curva di equazione in forma polare: ρ = Aθ, per θ [π, π], e avente densità lineare δ θ) = µ A θ con A, µ costanti positive aventi le dimensioni rispettivamente di una lunghezza e una massa). Calcolare il momento d inerzia della linea rispetto a un asse passante per l origine e perpendicolare al piano xy. 6

7 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia u : R R una funzione C R ), u x, y) > 0 per ogni x, y). Calcolare log u x, y))) dove = x + y ) riscrivendo il risultato ottenuto in modo semplice e compatto mediante gli operatori e. 5. Si consideri la funzione: { x y) 1/ x+y) 5 f x, y) = x +y per x, y) 0, 0) 4 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta. 7

8 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x4 y xy. 8

9 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) Equazioni differenziali 1. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 4y + 6y = e x. 9

10 . Si consideri l equazione differenziale: y = x 1) e y. a. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. b. Risolvere il problema di Cauchy per l equazione precedente con condizione iniziale y 0) = log, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: r t) = R cos t, R sin t ), t [0, π] con R > 0 fissato. Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del suo centroide. 10

11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia f : R R una funzione C R), e sia Calcolare e semplificare l espressione ottenuta. u x, y) = f x y) + f x + y). u x 4 u 9 y 5. Si consideri la funzione: { e x y 1)x y ) f x, y) = x +y per x, y) 0, 0) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta. 11

12 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x y x + y ). 1

13 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 4y = 0. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 4y = 5 cos x). 1

14 . Si consideri l equazione differenziale: y + x y = x 5. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: ) )) t t r t) = cos t cos, sin t + sin, per t [0, 6π]. a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari della curva non i valori singolari del parametro). b. Calcolarne quindi la lunghezza. 14

15 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione 1 xy f x, y) = log x + y 1) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: { x y ) sinx +y ) f x, y) = per x, y) 0, 0) x +y ) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). b. Calcolare in base alla definizione la derivata direzionale Df v 0, 0) con v= 5, 5) 4. c. In questo caso vale la formula del gradiente nell origine? Cosa si può dedurre? 15

16 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x y 4 xy. 16

17 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Equazioni differenziali 1. Scrivere l integrale generale dell equazione y 4y = 5e x sin x). Es Tot. Punti [Per la determinazione della soluzione particolare dell equazione completa si raccomanda di usare la tecnica degli esponenziali complessi]. Integrale generale dell omogenea: α 4 = 0 α = ± z x) = c 1 e x + c e x. 5e x sin x) = Im 5e x 1+i)). Soluzione particolare dell equazione completa Metodo di somiglianza, cerco y 4y = 5e x 1+i). w x) = Ae x 1+i) w x) = Ae x 1+i) 1 + i) w x) = Ae x 1+i) 1 + i) [ ] Ae x 1+i) 1 + i) 4 = 5e x 1+i) A [ 7 4i] = i) 7 + 4i A = = = 7 4i ) 7 + 4i w x) = e x 1+i) = e x 7 + 4i) cos x) + i sin x))

18 Una soluzione particolare dell equazione completa è allora y 4y = 5e x sin x) [ ] e x y x) = Im 7 + 4i) cos x) + i sin x)) 1 = e x 4 cos x) 7 sin x)) 1 e l integrale generale della completa è: y x) = c 1 e x + c e x + e x 1. Si consideri l equazione differenziale: y = e x y 1). 4 cos x) 7 sin x)). a. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. b. Risolvere il problema di Cauchy per l equazione precedente con condizione iniziale y 0) =, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. a. Equazione a variabili separabili. Soluzione costante: y = 1. Altre soluzioni integrale generale): dy y 1) = e x dx 1 1 y 1 = e x + c 1 4y = e x + c 1 y x) = 4e x + c + 1, per c R. b. Imponendo la condizione y 0) = abbiamo = c = c c + 4 = 5 c = 5 4 =

19 e la soluzione è: y x) = 1 4e x 18 5 = e x 9 0e x = 5 0e x = 5e x 10e x 9 = 5 ex 10 9e x. La soluzione è definita nel più ampio intervallo contenente 0 in cui è 10 9e x 0, x log 10 9, quindi, log 10 ). 9 Curve e integrali di linea. Si consideri l arco di curva nello spazio di equazioni parametriche r t) = Rt cos t, Rt sin t, R ) t, per t [0, π], con R > 0 fissati. Si calcoli la sua lunghezza. r t) = R cos t t sin t, sin t + t cos t, ) r t) = R 4 + t ) L = π 0 t = Sh x = R = 4R = R r t) dt = R SettSh π 0 SettSh π 0 π t dt Sh x) Ch xdx [ Ch x) x + Sh x Ch x dx = 4R SettSh π + π 1 + π ). ] SettSh π 0 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y) = log 1 x y ) log x) x y 4 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 19

20 Dev essere: x + y < 1; x < 0; x y 4 cioè x ±y. Quindi: E = { x, y) R : x + y < 1, x < 0, x y } E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: { x y cosx +y 4 ) f x, y) = per x, y) 0, 0) x +y ) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta. a. x y cos x + y 4) x + y ) x y x + y ) g x, y). La funzione g è positivamente omogenea di grado 1 e continua fuori dall origine, perciò g x, y) 0, 0) per x, y) 0, 0). Di conseguenza lo stesso fa f, perciò f è continua in 0, 0). 0

21 b. f x, 0) = 0 = f 0, y), quindi f è derivabile nell origine con f 0, 0) = 0, 0). c. La funzione è differenziabile nell origine se f x, y) 0 per x, y) 0, 0). x + y f x, y) x + y = x y cos x + y 4) = ρ5 cos θ sin θ cos ρ cos θ + ρ 4 sin 4 θ ) x + y ) + 1 ρ 5 = cos θ sin θ cos ρ cos θ + ρ 4 sin 4 θ ) cos θ sin θ per ρ 0. Il limite dipende da θ, quindi non è zero, e la funzione non è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x y x + y ). { f x = e x y x y + x ) = 0 f y = e x y y x + y ) + y ) = e x y y 1 x + y )) = 0 { y 1 x + y )) = 0 x x y = 0 y = 0 = x x = 0 = { x = 0 x = ; x + y = 1 = x 1 = 0, x = 1 = y = 4, y = ±. e i punti stazionari sono: ) 1 0, 0),, 0),, ±. Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = e x y x + y x x + ) = e x y x + y 4x + ) f xy = e x y y x y + x ) y ) = e x y y x + y x 1 ) f yy = e x y [ y 1 x + y )) + 1 x y ] = e x y [ y x + y ) + 1 x 5y ] [ e Hf x, y) = x y x + y 4x + ) e x y y x + y x 1 ) ] e x y y x + y x 1 ) [ e x y y x + y ) + 1 x 5y ] [ x = e + y 4x + y x + y x 1 ) ] x y y x + y x 1 ) [ y x + y ) + 1 x 5y ]. 1

22 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 Hf 0, 0) = definita positiva, 0 0, 0) è punto di minimo relativo. [ ] Hf, 0) = e definita negativa,, 0) punto di massimo relativo. ) [ ] 1 Hf, ± = e indefinita, ) 1, ± punti di sella.

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = 0. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y + y = e x x ). Es Tot. Punti a. Integrale generale dell omogenea: z x) = c 1 e x cos α + α + = 0 b. Metodo di somiglianza, cerco α = 1 ± i ) ) x + c e x sin x. y x) = e x ax + b) y x) = e x ax + b + a) y x) = e x ax + b + a) e x {ax + b + a) + ax + b + a) + ax + b)} = e x x ) { a + a + a = b + a + b + a + b = { { a = 1 a = 1 6b + = b = Soluzione particolare dell equazione completa: y x) = e x 1 x ).

24 Integrale generale dell equazione completa: ) ) 1 y x) = c 1 e x cos x + c e x sin x + e x x ).. Si consideri l equazione differenziale: y + y sin x = 4 sin x. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. Equazione lineare del prim ordine. a x) = sin x A x) = a x) dx = cos x y x) = e {c cos x + 4 e cos x sin xdx = = } e cos x sin xdx. e cos x sin x 1 cos x ) dx = cos x = t) e t t 1 ) dt = 1 e t t 1 ) 1 e t tdt = 1 e t 1 t ) + e t tdt e l integrale generale è: = 1 e t 1 t ) 1 1 e t t + e t dt = 1 e t 1 t t ) 1 4 e t = 1 4 e t 1 t t ) = 1 4 e cos x 1 cos x cos x ) y x) = e cos x { c + e cos x 1 cos x cos x )}. Curve e integrali di linea. Si consideri una linea piana materiale, non omogenea, rappresentata dalla curva di equazione in forma polare: ρ = Aθ, per θ [π, π], e avente densità lineare δ θ) = µ A θ 4

25 con A, µ costanti positive aventi le dimensioni rispettivamente di una lunghezza e una massa). Calcolare il momento d inerzia della linea rispetto a un asse passante per l origine e perpendicolare al piano xy. ρ = A ds = ρ + ρ dθ = A 1 + θ dθ I = x + y ) δds = ρ δds = π γ γ π π = µa θ 1 + θ dθ π A θ µ A θa 1 + θ dθ t = 1 + θ t = 1 + θ tdt = θdθ θ dθ = t 1 ) tdt 1+4π I = t 1 ) [ ] t t 5 dt = 1+π 5 t 1+4π 1+π ) 1 + 4π 5/ ) 1 + 4π / ) 1 + π 5/ ) 1 + π / = { ) 1 + 4π I = µa 5/ ) 1 + 4π / ) 1 + π 5/ ) } 1 + π / Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia u : R R una funzione C R ), u x, y) > 0 per ogni x, y). Calcolare log u x, y))) dove = x + y ) riscrivendo il risultato ottenuto in modo semplice e compatto mediante gli operatori e. x log u x, y))) = 1 u u x. ) 1 u log u x, y))) = x x u x = 1 ) u u + 1 x u u x. 5

26 Analogamente per simmetria), Quindi y log u x, y))) = 1 u ) u + 1 u y u y. log u x, y))) = 1 ) u u + 1 u x u x 1 ) u u + 1 u y u y [ u = 1 ) ) ] u u [ ] u x y u x + u y = 1 u u + 1 u u. 5. Si consideri la funzione: { x y) 1/ x+y) 5 f x, y) = x +y per x, y) 0, 0) 4 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta. a. Per x < 1 è x 4 < x, quindi x y) 1/ x + y) 5 x y) 1/ x + y) 5 x + y 4 x 4 + y 4 g x, y). La funzione g è positivamente omogenea di grado 4/ e continua fuori dall origine, quindi g x, y) 0 per x, y) 0, 0). Di conseguenza lo stesso vale per f, e f è continua. b. f x, 0) = x1/ x 5 x = x +1/, quindi f 0, 0) = 0. x f 0, y) = y)1/ y 5 y 4 = y 1+1/, f 0, 0) = 0. y In particolare, f è derivabile in 0, 0), con gradiente nullo. 6

27 c. La funzione è differenziabile nell origine se f x, y) 0 per x, y) 0, 0). x + y f x, y) x y) 1/ x + y) 5 = x + y x + y 4 ) x + y x y) 1/ x + y) 5 x 4 + y 4 ) x + y g 1 x, y). La funzione g 1 è positivamente omogenea di grado 1/ e continua fuori dall origine, quindi g 1 x, y) 0 per x, y) 0, 0). Di conseguenza f è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x4 y xy. { f x = e x4 y 4x 4 y + y ) = e x4 y y 4x ) = 0 f y = e x4 y xy + x ) = e x4 y x y + 1 ) = 0 { y 4x ) = 0 x y + 1 ) = 0 y = 0 = x = 0; x 4 = 1 4, x = ± 1 = y = 1, y = ± 1 e i punti stazionari sono: 1 0, 0),, ) 1, 1, Calcoliamo la matrice hessiana. ) 1 1,, 1 ), 1, 1 ). f xx = e x4 y y 4x 4x ) 16x ) = 4e x4 y x y 4x 4 5 ) f xy = e x4 y y + 1 ) 4x ) f yy = e x4 y x y y + 1 ) 4y ) = e x4 y xy 4y 6y ) = e x4 y xy y ) [ 4e Hf x, y) = x4 y x y 4x 4 5 ) e x4 y y + 1 ) 4x ) ] e x4 y y + 1 ) 4x ) e x4 y xy y ) [ = e x4 y 4x y 4x 4 5 ) y + 1 ) 4x ) ] y + 1 ) 4x ) xy y ). 7

28 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 1 Hf 0, 0) = indefinita, 1 0 0, 0) è punto di sella. )) [ ] 1 1 Hf ±, = e definita negativa, 0 ) 1 1 ±, punti di massimo relativo. Hf 1 ±, 1 )) = e [ ] ±, 1 ) definita positiva, punti di minimo relativo. 8

29 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali 1. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 4y + 6y = e x. Es Tot. Punti Integrale generale dell omogenea: z x) = c 1 e x cos α + 4α + 6 = 0 α = ± i. ) ) x + c e x sin x. Cerco una soluzione particolare dell equazione completa col metodo di somiglianza: cerco y x) = Ae x y x) = Ae x y x) = Ae x Ae x ) = e x Soluzione particolare della completa: Integrale generale della completa: A = 1 A = 1. y x) = 1 e x. ) ) y x) = c 1 e x cos x + c e x sin x + 1 e x. 9

30 . Si consideri l equazione differenziale: y = x 1) e y. a. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. b. Risolvere il problema di Cauchy per l equazione precedente con condizione iniziale y 0) = log, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. a. Equazione a variabili separabili. Non ha soluzioni costanti. Integrale generale: e y dy = x 1) dx e y = x x + c e y = x + x + c y x) = log ) x + x + c, per c R. b. Imponendo la condizione y 0) = log abbiamo log = log c c = 1 e la soluzione è: y x) = log x + x + 1 ) x ) + x + 1 = log = log 1 x + x + 1 ) + log. La soluzione è definita nel più ampio intervallo contenente 0 in cui è x + x + 1 > 0 x x 1 < 0 x 1) x + 1 ) < 0 1 < x < 1. 0

31 Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: con R > 0 fissato. r t) = R cos t, R sin t ), t [0, π] Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del suo centroide. r t) = R cos t sin t, R sin t cos t ) = R sin t cos t cos t, sin t) r t) = R sin t cos t. L = π 0 y c = 1 L r t) dt = γ yds = 1 R π 0 π 0 π [ sin ] π t R sin t cos t dt = 6R sin t cos tdt = 6R = R. 0 0 π/ [ sin R sin t R sin t cos t dt = R sin 4 5 t t cos tdt = R 5 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia f : R R una funzione C R), e sia u x, y) = f x y) + f x + y). Calcolare u x 4 u 9 y e semplificare l espressione ottenuta. 0 ] π/ 0 = 5 R. u x = f x y) + f x + y)) x = f x y) + f x + y) u x = x f x y) + f x + y) ) = 4f x y) + 4f x + y). 1

32 u y = f x y) + f x + y)) y = f x y) ) + f x + y) u y = y f x y) ) + f x + y) ) = 9f x y) + 9f x + y). u x 4 u 9 y = 4f x y) + 4f x + y) 4 9 [9f x y) + 9f x + y)] = 4f x y) 4f x y) + 4f x + y) 4f x + y) = Si consideri la funzione: { e x y 1)x y ) f x, y) = x +y per x, y) 0, 0) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è continua in 0, 0). b. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). c. Stabilire se f è differenziabile in 0, 0), giustificando la risposta. a. Si ha e x y 1) x y ) x + y ex y 1 x + y ) x + y e x y 1 x + y x + y = e x+y 1. Poiché e x y 1 è una funzione continua, per x, y) 0, 0) è e x y 1 e 0 1 = 0, quindi f x, y) 0 per x, y) 0, 0), e f è continua. b. Si ha f x, 0) = ex 1) x x = e x 1), f x 0, 0) = ex 1) /x=0 =. f 0, y) = y e y 1) y = 1 e y, f y 0, 0) = 1 e y) = 1. /y=0 Perciò f è derivabile nell origine, con f 0, 0) =, 1).

33 c. La funzione è differenziabile nell origine se g x, y) g x, y) = f x, y) x + y) x + y 0 per x, y) 0, 0). { 1 e x y 1) x y ) } x + y x + y x + y) = ex y 1) x y ) x + y) x + y ) x + y ) /. g x, x) = 6x 6 = x / ) / x 6 per x 0± / In particolare, g x, y) non tende a zero, e f non è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). x f x, y) = e x y x + y ). { f x = e x y x x + y ) + x ) = e x y x 1 x + y )) = 0 f y = e x y x y + y ) = 0 { x 1 x + y )) = 0 y x y = 0 x = 0 = y y = 0 = { y = 0 y = ; x + y = 1 = y 1 = 0, y = 1 = x = 4, x = ±. e i punti stazionari sono: 0, 0), 0, ), Calcoliamo la matrice hessiana. ± ), 1. f xx = e x y [ x 1 x + y )) + 1 y x ] = e x y [ x x + y ) + 1 y 5x ] f xy = e x y x x y + y ) x ) = e x y x x + y y 1 ) f yy = e x y x + y y y + ) = e x y x + y 4y + ) [e [ Hf x, y) = x y x x + y ) + 1 y 5x ] e x y x x + y y 1 ) ] e x y x x + y y 1 ) e x y x + y 4y + ) [ [ = e x y x x + y ) + 1 y 5x ] x x + y y 1 ) ] x x + y y 1 ) x + y 4y + ).

34 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 Hf 0, 0) = definita positiva, 0 Hf 0, 0) è punto di minimo relativo. [ ] Hf 0, ) = e ± definita negativa, 0, ) punto di massimo relativo. ), 1 [ ] = e 5 4 indefinita, 1 ) ±, 1 punti di sella. 4

35 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 4y = 0. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y 4y = 5 cos x). Es Tot. Punti a. α + α 4 = 0 α 1) α + 4) = 0 α = 1, α = 4 Integrale generale dell omogenea: z x) = c 1 e x + c e 4x. b. Metodo di somiglianza, cerco y x) = a cos x) + b sin x) y x) = a sin x) + b cos x) y x) = 4a cos x) 4b sin x) [ 4a cos x) 4b sin x)]+ [ a sin x) + b cos x)] 4 [a cos x) + b sin x)] = 5 cos x) { { 4a + 6b 4a = 5 8a + 6b = 5 4b 6a 4b = 0 6a + 8b = 0 { a = 4 b { +18 ) b = 10 b = 5 a = 4 10 = 5 Soluzione particolare dell equazione completa: y x) = 5 cos x) + sin x) { a = 4 b 8 4 b) + 6b = 5

36 Integrale generale dell equazione completa: y x) = c 1 e x + c e 4x 5 cos x) + sin x). 10. Si consideri l equazione differenziale: y + x y = x 5. Determinare tutte le soluzioni dell equazione. Equazione lineare del prim ordine. a x) = x A x) = x } y x) = e {c x + e x x 5 dx. e x x 5 dx = e x x ) x dx = e x) x dx = e x x = 1 e x x 4 e x. { y x) = e x c + e 1 x x )} = ce x x 4. e x x dx Curve e integrali di linea. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: ) )) t t r t) = cos t cos, sin t + sin, per t [0, 6π]. a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando gli eventuali punti singolari della curva non i valori singolari del parametro). b. Calcolarne quindi la lunghezza. a. ) )) t t r t) = sin t + sin, cos t + cos ) ) r t) t t = sin t sin + cos t cos )) 4 = 1 + cos t = 0 per ) 4 cos t = 1 4 t = π + kπ, t = 4 π + kπ = π 1 + k), k = 0, 1,,. 4 6

37 Ci sono quindi 4 punti singolari, corrispondenti a: ) r π 1 + k), k = 0, 1,,, cioè: 4, ),, ),, ),, ). b. L = 6π 0 ) 4 t = x = 4 = 6 8π r t) dt = 0 π 0 = 1 = 4. 6π 0 )) 4 1 cos t dt π 1 cos x)dx = 6 1 cos xdx sin x 1 + cos x dx = 6 [ 1 + cos x ] π 0 0 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione 1 xy f x, y) = log x + y 1) Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 7

38 Dev essere: xy 0, cioè primo e terzo quadrante semiassi compresi) x + y > 1; x + y 1 1, quindi x + y. Quindi E = { x, y) R : xy 0 e 1 < x + y < o < x + y )}. E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: { x y ) sinx +y ) f x, y) = per x, y) 0, 0) x +y ) 0 per x, y) = 0, 0). a. Stabilire se f è derivabile in 0, 0), calcolando in caso affermativo f 0, 0). b. Calcolare in base alla definizione la derivata direzionale Df v 0, 0) con v= 5, 5) 4. c. In questo caso vale la formula del gradiente nell origine? Cosa si può dedurre? a. f x, 0) = x sin x ) x 4 = sin ) x x per x 0, x 8

39 quindi quindi f 0, y) = y sin y ) y 4 f 0, 0) = 1. x = sin ) y y per y 0, y f 0, 0) = 1. y Quindi f è derivabile in 0, 0), con f 0, 0) = 1, 1). b. Sia ) g t) = f 5 t, 4 ) t 4 5 t 5 sin t ) = t 4 = 7 15 sin t ) 7 t per t 0, t 15 g 0) = 0. Allora c. D v f 0, 0) = g 0) = 4 5 = f 0, 0) v = 1, 1) 5, 4 ) = = , perciò in questo caso non vale la formula del gradiente. Se ne deduce che la funzione non è differenziabile nell origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = e x y 4 xy. { f x = e x y 4 x y + y ) = e x y 4 y x + 1 ) = 0 f y = e x y 4 4xy 4 + x ) = e x y 4 x 4y ) = 0 { y x + 1 ) = 0 x 4y ) = 0 y = 0 = x = 0; x = 1, x = ± 1 = y 4 = 1 4, y = ± 1 e i punti stazionari sono: 1 0, 0),, ) 1, 1, ) 1 1,, 1 ), 1, 1 ). 9

40 Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = e x y 4 y x x + 1 ) 4x ) = e x y 4 xy 4x 6x ) = e x y 4 xy x ) f xy = e x y 4 x + 1 ) 4y ) f yy = e x y 4 x 4y 4y ) 16y ) = 4e x y 4 xy 4y 4 5 ) [ e Hf x, y) = x y 4 xy x ) e x y 4 x + 1 ) 4y ) ] e x y 4 x + 1 ) 4y ) 4e x y 4 xy 4y 4 5 ) [ = e x4 y xy x ) x + 1 ) 4y ) ] x + 1 ) 4y ) 4xy 4y 4 5 ). Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 0 1 Hf 0, 0) = indefinita, 1 0 0, 0) è punto di sella. )) [ ] 1 1 Hf ±, = e definita negativa, 0 4 ) 1 1 ±, punti di massimo relativo. Hf 1 ±, 1 )) = e [ ] ±, 1 ) definita positiva, punti di minimo relativo. 40