Recupero sul 1 compitino di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w %> C a> b$c a> b%c a> b œ /.. Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del problema: Giustificare il procedimento seguito. w C œ $ ā C ˆ " œ ac " b

2 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema. Si consideri la curva piana grafico della funzione C œ + logš per + a+ß+ b dove + ā è un parametro che ha le dimensioni di una lunghezza. Calcolare il suo momento d'inerzia rispetto all'asse C, supponendo sia una linea materiale omogenea di massa 7 ed indicando con P la sua lunghezza (che non si chiede di calcolare).

3 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aßCb œ ÉÈ$È C ". acb a " b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Sia Ú loga" C bc Š / C " 0aßCb œ Û C per aßcb Á aß b Ü per aßcb œ aß b a. Stabilire se 0 è continua nell'origine. b. Stabilire se 0 è derivabile nell'origine, calcolando in caso affermativo le derivate parziali. c. Calcolare la generica derivata direzionale H@ 0 aß b œ acos* ß sin * b e * qualsiasi, in base alla definizione. d. A posteriori, la formula del gradiente vale? (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate)

4 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). % 0aßCb œ C ˆ C %C$ 4

5 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Sia C 0aßCb œ $ / ac b/ œ a. Si dimostri che l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ a b passante per a"ß" b. w ww b. Calcolare a" b e a" b. Calcolare l'area della regione piana E descritta in coordinate polari da: E œ a ß* b À V* a * bß* cßd dove V ā è un parametro avente la dimensione di una lunghezza.

6 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema. Calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'asse D, del solido G omogeneo di massa 7 descritto in coordinate sferiche dalle condizioni: G œ š a ß: ß* b À cßvdß: ß ß* cß d $ ( G è l'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio V con un opportuno cono di vertice l'origine).

7 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C D JaßCßDb œ Œ ß ß C D C D C D sull'arco di curva Ú Ý œ ˆ > sin cos> À ÛC œ ˆ > sin sin> > cßd Ý ÜD œ cosˆ > 5. Calcolare il flusso del campo vettoriale JaßCßDb œ aßcßdb attraverso la superficie D grafico della funzione C D œ E/ per C * orientata con la normale verso l'alto. ( è un parametro positivi con le dimensioni di una E lunghezza).

8 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0ab œ e riflessa dispari in cß d. a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 4

9 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w %> C a> b$c a> b%c a> b œ /. Integrale generale dell'omogenea: $ % œ à œ "ß œ % > %> D a> b œ -"/ - / Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerco una soluzione particolare della completa del tipo: C a> b œ E>/ %>. w %> ww %> C a> b œ E/ a"%> bàc a> b œ E/ a)"'> b %> E/ a)"'>$">%> b œ / %> Integrale generale: E œ àc a> b œ >/ & & %> %> > %> C a> b œ >/ - "/ - / &. Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del problema: Giustificare il procedimento seguito. w C œ $ ā C ˆ " œ ac " b Equazione a variabili separabili, non ha soluzioni costanti. Integriamo:.C ( œ (. C " $

10 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema Imponiamo la condizione iniziale: arctanc œ - Cab œ tanš - œ tana -bà- œ La soluzione del problema è: Cab œ tanš. Devo ora cercare il più ampio intervallo contenente œ " dove la soluzione è definita. Dev'essere: e poiché per œ " si ha ß 5 Š dev'essere 5 œ. Risolvendo si trova " " & $ e quindi, ricordando ancora che devo avere un'unico intervallo e questo deve contenere œ "Î, " " ß È & È$. Si consideri la curva piana grafico della funzione C œ + logš per + a+ß+ b dove + ā è un parametro che ha le dimensioni di una lunghezza. Calcolare il suo momento d'inerzia rispetto all'asse C, supponendo sia una linea materiale omogenea di massa 7 ed indicando con P la sua lunghezza (che non si chiede di calcolare).. +.= œ É. "0w a b. œ Ê". œ È+

11 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema 7 7 M œ (.= œ ( È+. P P + + È + œ >à+ œ > à. œ >.>à + È& $ + & $ 7 7 > 7+ & È& È œ ( >.> œ œ P È P $ P $ + È + È 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aßCb œ ÉÈ$È C ". acb a " b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ aßc b À " Ÿ C Ÿ %ßaßCb Á a"ß" bßaßcb Á a"ß" b I è aperto SI' ú NO úx I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' úx NO ú 5. Sia Ú C loga" C bc Š / " 0aßCb œ Û C per aßcb Á aß b Ü per aßcb œ aß b a. Stabilire se 0 è continua nell'origine. b. Stabilire se 0 è derivabile nell'origine, calcolando in caso affermativo le derivate parziali. c. Calcolare la generica derivata direzionale H@ 0 aß b œ acos* ß sin * b e * qualsiasi, in base alla definizione. d. A posteriori, la formula del gradiente vale? (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate) a. * a b * ˆ ˆ cos log " sin / " loga" b / " k0a ß* bk œ Ÿ ab con ab µ œ Ä ß

12 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema quindi avendo una maggiorante radiale infinitesima, 0aß Cb Ä per aßcb Ä aß b, perciò è continua. b. loga" C bc ˆ C / " C 0aß b œ loga" b µ, quindi 0 aß b œ " 0 aßcb œ ˆ C / " µ C, quindi 0 C aß b œ " C 0 è derivabile nell'origine, con f0 aß b œ a"ß" b c. Sia: a> b œ 0 a> cos* ß> sin* b œ cos* loga > b sin* ˆ > " / " œ > loga" > b / " œ cos* Œ sin* > > > Ora, w > w log a" > b / " H@ 0 aß b œ a b œ cos* Œ a b sin* a b œ cos* sin* > > w d. Perciò H@ 0 aß b œ f0 aß ossia la formula del gradiente vale, anche se non sappiamo se nell'origine. 0 sia differenziabile 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). % 0aßCb œ C ˆ C %C$ 0 œ ac b œ ac %C$ b œ œ $ $ 0 œ %C ac b œ cc ac bd œ C 0 œ Ê œ ßC œ "ßC œ $ œ Ê C œ C œ " Ê œ Ê œ È 4

13 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema I punti stazionari sono: Matrice hessiana: C œ $ Ê &% œ aß bà Š È ß" mai. L0 a ßC b C %C$ % C œ Œ a b a b %ac b a'c b L0 aß b œ Œ ' semidefinita positiva: caso dubbio. L0Š È 0 % È ß" œ indef. Š È ß" punti di sella % È 6 Studiamo il caso dubbio. Notiamo che 0 aß b œ e vicino all'origine C %C$ ā, perciò quindi l'origine è punto di minimo relativo. % 0aßCb œ C ˆ C %C$ ß 5

14 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Sia C 0aßCb œ $ / ac b/ œ a. Si dimostri che l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ a b passante per a"ß" b. w ww b. Calcolare a" b e a" b a. 0 a"ß" b œ $/a" b/ œ C 0CaßCb œ $ / / à0 Ca"ß" b œ / Á perciò per il teorema di Dini l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ ab in un intorno di œ ", con a" b œ ". b. 0aßCb œ '/ ac b/ à0 a"ß" b œ $/ Ora derivando due volte l'equazione C w 0 a"ß" b $/ $ a" b œ œ œ 0 a"ß" b / C a b $ / aab b/ œ abbiamo: / a bˆ ' $ w ab a w abab b/ œ / a b Š w ww w ww w ' " ab$ ab$ ab a ab abab b/ œ e sostituendo œ "ß a" b œ "ß a" b œ si ha: w $ / Œ' " $ ww $ a" b$ * ww Œ a" b $ " / œ % ww a" b œ " ( à ww " a" b œ % )

15 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema. Calcolare l'area della regione piana E descritta in coordinate polari da: E œ a ß* b À V* a * bß* cßd dove V ā è un parametro avente la dimensione di una lunghezza V * a * b % k E k œ ( (..C œ ( (. V * a * b. * œ (. * œ E V V œ ( ˆ % & ' * * * * & * ' * (.* œ œ & ' ( œ V V Œ " " " œ & $ ( " ( (. Calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'asse D, del solido G omogeneo di massa 7 descritto in coordinate sferiche dalle condizioni: G œ š a ß: ß* b À cßvdß: ß ß* cß d $ ( G è l'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio V con un opportuno cono di vertice l'origine). Coordinate sferiche: Ú œ sin: cos* ÛC œ sin: sin* ÜD œ cos:

16 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema Calcoliamo il volume Momento d'inerzia: V k G k œ ( ( (..C.D œ ( ( (. sin:.:. * œ $ G $ V Î$ $ " " $ œ ccos: d œ V Œ œ V $ $ $ V 7 7 $ M œ ( ( ( ˆ C $..C.D œ ( ( (. kgk kgk %. sin :.: * œ G & 7 V œ ( $ sin : " :.: œ : œ >ß :.: œ.> kgk & ˆ cos c cos sin d œ 7 & 7 & $ " 7 & V V > V "" ( "ˆ ">.> œ > œ Œ œ kgk & " kgk & $ " kgk & $ % & 7 V & " œ œ 7V " V$ & % % $ 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C D JaßCßDb œ Œ ß ß C D C D C D sull'arco di curva Ú Ý œ ˆ > sin cos> À ÛC œ ˆ > sin sin> > cßd Ý ÜD œ cosˆ > J a< a> bb œ ŒsinŒ > sin>ß sinœ > cos>ß cosœ > < w a> b œ Œ " Œ > > " > > " > cos cos> sinœ sin>ß cosœ sin> sinœ cos>ß sinœ J a< a> bb > œ " > Œ > > > > < w a b Œ cos cos sinœ sin sinœ sin >

17 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema " > > > " > > Œ cosœ sin> sinœ cos> Œ sinœ cos> sinœ cosœ œ ( œ > " > > sin Œ sinœ cosœ œ sin Œ > " sin> % w w > " J. < œ ( J a< a> bb < a> b.> œ ( Œ sin Œ sin> œ % Î " " " œ ( sin?.? ( sin>.> œ c cos> d œ % % % 5. Calcolare il flusso del campo vettoriale JaßCßDb œ aßcßdb attraverso la superficie D grafico della funzione C D œ E/ per C * orientata con la normale verso l'alto. ( E è un parametro positivi con le dimensioni di una lunghezza). 8.W œ a0 ß 0 ß" b..c œ Š E/ ßCE/ ß"..C C C C F œ ( ( J 8.W œ D œ ( ( Š ßCß E/ ŠE/ ßCE/ ß"..C C * C C C C œ ( ( E/ ˆ C "..C œ E ( / ˆ ". œ C * $ " > œ >à. œ.> œ E ( / a"> b.> œ œ Eā > / "> > * a b ( /.> Ÿ œ E š ""*/ > / œ * * * * œ E * * ""*/ / œ $ E * "(/ 4

18 Recupero compitino di Analisi. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0ab œ e riflessa dispari in cß d. a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La periodizzata di 0 è discontinua, ed è regolare a tratti; perciò i coefficienti saranno solo 9 a" b; per lo stesso motivo la serie di Fourier convergerà a 0ab per ogni aßbß mentre per œ convergerà a. b) La funzione è dispari, perciò + 5 œ a5ß e XÎ, 5 œ ( 0absin a5= b. con = œ àx œ ß X X XÎ perciò: ", 5 œ ( 0absina5 b. œ ( sina5 b. œ 5 5 œ. œ œ cosa b 5 cosa b ( 5 cosa5 b sina5b sina5b œ œ Œ (. œ cosa5 b cosa5b œ œ œ perciò % œ a" b 5 Š "a" b 5" 5 5$ _ 5" % 5" 0ab œ " a" b Š "a" b sina5b 5 5$ 5œ" 5

19 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del problema: Giustificare il procedimento seguito. w C œ $ ā C ˆ " œ ac " b. Si consideri la curva piana grafico della funzione C œ + logš per + a+ß+ b dove + ā è un parametro che ha le dimensioni di una lunghezza. Calcolare il suo momento d'inerzia rispetto all'asse C, supponendo sia una linea materiale omogenea di massa 7 ed indicando con P la sua lunghezza (che non si chiede di calcolare).. Sia Ú C loga" C bc Š / " 0aßCb œ Û C per aßcb Á aß b Ü per aßcb œ aß b a. Stabilire se 0 è continua nell'origine. b. Stabilire se 0 è derivabile nell'origine, calcolando in caso affermativo le derivate parziali. (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate)

20 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 4. Sia C 0aßCb œ $ / ac b/ œ a. Si dimostri che l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ a b passante per a"ß" b. w ww b. Calcolare a" b e a" b 5. Calcolare l'area della regione piana E descritta in coordinate polari da: E œ a ß* b À V* a * bß* cßd dove V ā è un parametro avente la dimensione di una lunghezza. 6. Calcolare la coordinata - del centroide del solido: D+ T œ š aßcßdb À ßC ßC Ÿ ß Ÿ D Ÿ dove +ß ā sono parametri aventi le dimensioni di una lunghezza. (Suggerimento: si riconosca l'insieme T, che è un poliedro noto, e si utilizzi questo fatto per calcolarne il volume senza fare uso di integrali. Calcolare quindi il - con un opportuno integrale triplo). 7. Sia D la superficie generata dalla rotazione attorno all'asse D della curva che, nel piano D, è grafico D œ V ß cvßvd dove Vß ā sono parametri aventi le dimensioni di una lunghezza. Dopo aver scritto le equazioni parametriche di D, controllato che sia una superficie regolare e calcolato l'elemento d'area, si calcoli l'integrale di superficie: ( ( D.W D% 8. Si consideri la funzione %-periodica definita in c ß d da 0ab œ kk a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo c ß d: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

21 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w %> C a> b$c a> b%c a> b œ /.. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C D JaßCßDb œ Œ ß ß C D C D C D sull'arco di curva Ú Ý œ ˆ > sin cos> À ÛC œ ˆ > sin sin> > cßd Ý ÜD œ cosˆ >. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aßCb œ ÉÈ$È C ". acb a " b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú

22 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 5. Calcolare l'integrale doppio % 0aßCb œ C ˆ C %C$ ( ( $ac b..c X dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß$ bß a$ß" b. (Si raccomanda di fare una figura e prestare molta attenzione alla rappresentazione analitica dell'insieme X ). 6. Calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'asse D, del solido G omogeneo di massa 7 descritto in coordinate sferiche dalle condizioni: G œ š a ß: ß* b À cßvdß: ß ß* cß d $ ( G è l'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio V con un opportuno cono di vertice l'origine). 7. Calcolare il flusso del campo vettoriale JaßCßDb œ aßcßdb attraverso la superficie D grafico della funzione C D œ E/ per C * orientata con la normale verso l'alto. ( E è un parametro positivi con le dimensioni di una lunghezza). 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0ab œ e riflessa dispari in cß d. a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

23 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Risolvere il seguente problema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del problema: Giustificare il procedimento seguito. w C œ $ ā C ˆ " œ ac " b Equazione a variabili separabili, non ha soluzioni costanti. Integriamo: Imponiamo la condizione iniziale:.c ( œ (. C " $ arctanc œ - Cab œ tanš - œ tana -bà- œ La soluzione del problema è: Cab œ tanš. Devo ora cercare il più ampio intervallo contenente œ " dove la soluzione è definita. Dev'essere: ß 5 Š 5 e poiché per œ " si ha 5 5 dev'essere 5 œ. Risolvendo

24 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema si trova " " & $ e quindi, ricordando ancora che devo avere un'unico intervallo e questo deve contenere œ "Î, " " ß È & È$. Si consideri la curva piana grafico della funzione C œ + logš per + a+ß+ b dove + ā è un parametro che ha le dimensioni di una lunghezza. Calcolare il suo momento d'inerzia rispetto all'asse C, supponendo sia una linea materiale omogenea di massa 7 ed indicando con P la sua lunghezza (che non si chiede di calcolare).. +..= œ É"0w a b. œ Ê". œ È+ 7 7 M œ (.= œ ( È+. P P + + È + œ >à+ œ > à. œ >.>à + È& $ + & $ 7 7 > 7+ & È& È œ ( >.> œ œ P È P $ P $ + È + È. Sia Ú C loga" C bc Š / " 0aßCb œ Û C per aßcb Á aß b Ü per aßcb œ aß b a. Stabilire se 0 è continua nell'origine. b. Stabilire se 0 è derivabile nell'origine, calcolando in caso affermativo le derivate parziali. (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate) a. * a b * ˆ ˆ cos log " sin / " loga" b / " k0a ß* bk œ Ÿ ab con ab µ œ Ä ß

25 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema quindi avendo una maggiorante radiale infinitesima, 0aß Cb Ä per aßcb Ä aß b, perciò è continua. b. loga" C bc ˆ C / " C 0aß b œ loga" b µ, quindi 0 aß b œ " 0 aßcb œ ˆ C / " µ C, quindi 0 C aß b œ " C 0 è derivabile nell'origine, con f0 aß b œ a"ß" b 4. Sia C 0aßCb œ $ / ac b/ œ a. Si dimostri che l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ a b passante per a"ß" b. w ww b. Calcolare a" b e a" b a. 0 a"ß" b œ $/a" b/ œ C 0CaßCb œ $ / / à0 Ca"ß" b œ / Á perciò per il teorema di Dini l'equazione 0aßCb œ definisce implicitamente un'unica funzione C œ ab in un intorno di œ ", con a" b œ ". b. 0aßCb œ '/ ac b/ à0 a"ß" b œ $/ Ora derivando due volte l'equazione C w 0 a"ß" b $/ $ a" b œ œ œ 0 a"ß" b / C a b $ / aab b/ œ abbiamo: / a bˆ ' $ w ab a w abab b/ œ / a b Š w ww w ww w ' " ab$ ab$ ab a ab abab b/ œ w $ e sostituendo œ "ß a" b œ "ß a" b œ si ha:

26 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema / Œ' " $ ww $ a" b$ * ww Œ a" b $ " / œ % ww a" b œ " ( à ww " a" b œ % ) 5. Calcolare l'area della regione piana E descritta in coordinate polari da: E œ a ß* b À V* a * bß* cßd dove V ā è un parametro avente la dimensione di una lunghezza V * a * b % k E k œ ( (..C œ ( (. V * a * b. * œ (. * œ E V V œ ( ˆ % & ' * * * * & * ' * (.* œ œ & ' ( œ V V Œ " " " œ & $ ( " ( ( 6. Calcolare la coordinata - del centroide del solido: D+ T œ š aßcßdb À ßC ßC Ÿ ß Ÿ D Ÿ dove +ß ā sono parametri aventi le dimensioni di una lunghezza. (Suggerimento: si riconosca l'insieme T, che è un poliedro noto, e si utilizzi questo fatto per calcolarne il volume senza fare uso di integrali. Calcolare quindi il - con un opportuno integrale triplo). 4

27 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema T è una piramide avente altezza e base un triangolo rettangolo isoscele di cateto +, quindi ktk œ " $ + œ + ' D+ D+ C " ' - œ..c.d œ..c.d œ kt k ( ( ( + ( ( ( T D+ ' " D+ $ " D+ $ œ C.C.D œ C.D œ + ( ( Š + ( Š $ $ $ " D+ " + $ + " % " œ.d œ D.D œ + ( Š + $ ( œ + % % % D+ 7. Sia D la superficie generata dalla rotazione attorno all'asse D della curva che, nel piano D, è grafico D œ V ß cvßvd dove Vß ā sono parametri aventi le dimensioni di una lunghezza. Dopo aver scritto le equazioni parametriche di D, controllato che sia una superficie regolare e calcolato l'elemento d'area, si calcoli l'integrale di superficie: ( ( D.W D% La superficie si ottiene dalla rotazione della curva quindi ha equazioni: e elemento d'area œ œ > D œ V > > cvßvd Ú œ > cos* ÛC œ > sin* > cvßvdß* cß d ÜD œ V > da cui si vede che è regolare, essendo V.W œ > Ê".>.* > % > V. Calcoliamo: %.W > V & > ( ( œ ( ( > Ê".>. * œ ( " È> % V.> œ D% V% % > % V% % > D V V V V 5

28 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema œ > V.> œ > V œ V > % "Î " % % V% % $ % $Î ( $ˆ ˆ % V V % $Î % $Î $Î $Î œ ˆ "'V V ˆ V V œ ˆ "'V ˆ V $V% % $V% V V 8. Si consideri la funzione %-periodica definita in c ß d da 0ab œ kk a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo c ß d: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La periodizzata di 0 è continua (ma non derivabile), ed è regolare a tratti; perciò i coefficienti saranno 9ˆ " 5 ; per lo stesso motivo la serie di Fourier convergerà a 0ab per ogni c ß d. b) La funzione è pari, perciò, 5 œ a5ß e XÎ + 5 œ ( 0abcos a5= b. con = œ àx œ %ß X X XÎ perciò: " œ ( 0a bcosœ. œ ( a bcosœ. œ % œ sinœ Œ. œ 5 ā sinœ ( sin 5 5 Ÿ 5 5 œ ( sinœ. œ Œ cosœ œ Œ a" cosa5bb œ ( a b. œ _ % " 5" 5 Perciò 0ab œ " " Š "a" b cosœ 5 5œ" 6

29 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w %> C a> b$c a> b%c a> b œ /. Integrale generale dell'omogenea: $ % œ à œ "ß œ % > %> D a> b œ -"/ - / Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerco una soluzione particolare della completa del tipo: C a> b œ E>/ %>. w %> ww %> C a> b œ E/ a"%> bàc a> b œ E/ a)"'> b %> E/ a)"'>$">%> b œ / %> Integrale generale: E œ àc a> b œ >/ & & %> %> > %> C a> b œ >/ - "/ - / &. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C D JaßCßDb œ Œ ß ß C D C D C D sull'arco di curva Ú Ý œ ˆ > sin cos> À ÛC œ ˆ > sin sin> > cßd Ý ÜD œ cosˆ >

30 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema J a< a> bb œ ŒsinŒ > sin>ß sinœ > cos>ß cosœ > < w a> b œ Œ " Œ > > " > > " > cos cos> sinœ sin>ß cosœ sin> sinœ cos>ß sinœ J a< a> bb > œ " > Œ > > > > < w a b Œ cos cos sinœ sin sinœ sin > " > > > " > > Œ cosœ sin> sinœ cos> Œ sinœ cos> sinœ cosœ œ œ > " > > sin Œ sinœ cosœ œ sin Œ > " sin> % ( w w > " J. < œ ( J a< a> bb < a> b.> œ ( Œ sin Œ sin> œ % Î " " " œ ( sin?.? ( sin>.> œ c cos> d œ % % %. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aßCb œ ÉÈ$È C ". acb a " b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ aßc b À " Ÿ C Ÿ %ßaßCb Á a"ß" bßaßcb Á a"ß" b I è aperto SI' ú NO úx I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' úx NO ú 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). % 0aßCb œ C ˆ C %C$ 0 œ ac b œ ac %C$ b œ œ $ $ 0 œ %C ac b œ cc ac bd œ C

31 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema I punti stazionari sono: Matrice hessiana: 0 œ Ê œ ßC œ "ßC œ $ œ Ê C œ C œ " Ê œ Ê œ C œ $ Ê &% œ aß bà Š È ß" mai. È L0 a ßC b C %C$ % C œ Œ a b a b %ac b a'c b L0 aß b œ Œ ' semidefinita positiva: caso dubbio. L0Š È 0 % È ß" œ indef. Š È ß" punti di sella % È 6 Studiamo il caso dubbio. Notiamo che 0 aß b œ e vicino all'origine C %C$ ā, perciò quindi l'origine è punto di minimo relativo. 5. Calcolare l'integrale doppio % 0aßCb œ C ˆ C %C$ ß ( ( $ac b..c X dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß$ bß a$ß" b. (Si raccomanda di fare una figura e prestare molta attenzione alla rappresentazione analitica dell'insieme X ). X œ š aßcb À Ÿ C Ÿ $ß Ÿ Ÿ " š aßcb À Ÿ C Ÿ %ß" Ÿ Ÿ $. $ $ " $ $ % M œ ( $( ac b.c. ( $( ac b.c. œ $ $ "

32 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema " $ $ % C C œ ( $ C.( $ C. œ " $ $ ˆ * Î " " $ " " Š a%b Ñ * * œ ( $ Œ$.( $Ð % Ó. œ $ Š a b " $ Ï Ò " $ % $ % $ œ ( Œ "'.( Œ %. œ $ $ " " $ " % "' $ " % % $ " "' " % œ œ Œ Œ($' œ " $ $ $ $ $ $ $ $ " 6. Calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'asse D, del solido G omogeneo di massa 7 descritto in coordinate sferiche dalle condizioni: G œ š a ß: ß* b À cßvdß: ß ß* cß d $ ( G è l'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio V con un opportuno cono di vertice l'origine). Coordinate sferiche: Calcoliamo il volume Momento d'inerzia: Ú œ sin: cos* ÛC œ sin: sin* ÜD œ cos: V k G k œ ( ( (..C.D œ ( ( (. sin:.:. * œ $ G $ V Î$ $ " " $ œ ccos: d œ V Œ œ V $ $ $ V 7 7 $ M œ ( ( ( ˆ C $..C.D œ ( ( (. kgk kgk %. sin :.: * œ G & 7 V œ ( $ sin : " :.: œ : œ >ß :.: œ.> kgk & ˆ cos c cos sin d 4

33 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema œ 7 & 7 & $ " 7 & V V > V "" ( "ˆ ">.> œ > œ Œ œ kgk & " kgk & $ " kgk & $ % & 7 V & " œ " œ 7V V$ & % % $ 7. Calcolare il flusso del campo vettoriale JaßCßDb œ aßcßdb attraverso la superficie D grafico della funzione C D œ E/ per C * orientata con la normale verso l'alto. ( E è un parametro positivi con le dimensioni di una lunghezza). 8.W œ a0 ß 0 ß" b..c œ Š E/ ßCE/ ß"..C C C C F œ ( ( J 8.W œ D œ ( ( Š ßCß E/ ŠE/ ßCE/ ß"..C C * C C C C œ ( ( E/ ˆ C "..C œ E ( / ˆ ". œ C * $ " > œ >à. œ.> œ E ( / a"> b.> œ œ Eā > / "> > * a b ( /.> Ÿ œ E š ""*/ > / œ * * * * œ E * * ""*/ / œ $ E * "(/ 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0ab œ e riflessa dispari in cß d. a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. 5

34 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La periodizzata di 0 è discontinua, ed è regolare a tratti; perciò i coefficienti saranno solo 9 a" b; per lo stesso motivo la serie di Fourier convergerà a 0ab per ogni aßbß mentre per œ convergerà a. b) La funzione è dispari, perciò + 5 œ a5ß e XÎ, 5 œ ( 0absin a5= b. con = œ àx œ ß X X XÎ perciò: ", 5 œ ( 0absina5 b. œ ( sina5 b. œ 5 5 œ. œ œ cosa b 5 cosa b ( 5 cosa5 b sina5b sina5b œ œ Œ (. œ cosa5 b cosa5b œ œ œ perciò % œ a" b 5 Š "a" b 5" 5 5$ _ 5" % 5" 0ab œ " a" b Š "a" b sina5b 5 5$ 5œ" 6