Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione

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1 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ab$ ab%ab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione %B ab$ ab%ab œ &/ Þ

2 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema. Si consideri l'equazione differenziale: œ Þ B" a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di auchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale a! œ "Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di auchy è definita. urve e integrali di linea. alcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una circonferenza di raggio V e massa Q, rispetto a un asse passante per un punto della circonferenza e perpendicolare al piano che la contiene. (Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).

3 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. alcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. B $B lim Œ abßä a!ß! % % B & 5. Sia 0 À 8 Ä definita da `0 0aB œ log kbkß per B 8 Ï a!ß! Þ a. alcolare `B ab per œ "ßßÞÞÞß8Þ. Detta < a> À M Ä 8 un arco di curva regolare, calcolare..> c0 a< a> d, dove 0 è la funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta. c. Applicare la formula trovata al punto alla curva < À a!ß" Ä $ data da e semplificare l'espressione trovata. <a> œ a> cos>ß> sin>ß>

4 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B 0aBß œ / ˆ B 4

5 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: ab$ ab œ BÞ Ú ab$ ab œ B Û a! œ! Ü " a! œ Þ $

6 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: B " œ Þ "B B B "B œ a " œ œ " B precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del prolema. urve e integrali di linea. alcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è: * œ Œsin ß * c!ß dþ

7 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBß œ loga"b %. sinb Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Data la funzione $ $ B B B Bß 0aBß œ B B per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) Stailire se 0 è continua o meno nell'origine. ) Stailire se 0 è derivaile o meno nell'origine. ) Stailire se 0 è differenziaile o meno nell'origine. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose).

8 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBß œ B ab" 4

9 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione abab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione B abab œ $/ sinbþ

10 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema. Risolvere il prolema di auchy: sinb ' œ cos ā ˆ œ e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di auchy è definita. urve e integrali di linea. alcolare l'integrale di linea ( È D.= ÚB œ > cos> dove è l'arco di curva: Û œ > sin> > c!ß d. Ü D œ >

11 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. alcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. B loga"b lim abßä a!ß! B sin B Þ 5. Data la funzione B Bß 0aBß œ B % per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) alcolare la derivata direzionale di 0 nell'origine rispetto al generico versore acos* ß sin* Þ ) Stailire se nell'origine vale la formula del gradiente. ) Stailire se 0 è differenziaile o meno nell'origine. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose).

12 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBß œ / ˆ B %B 4

13 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n 4 ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/00 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: ab' ab*ab œ!þ Ú ab' ab*ab œ! Û a! œ Ü a! œ "Þ

14 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 4. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: "B œ "B Þ "B œ "B œ a! œ " precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del prolema. urve e integrali di linea. alcolare l'integrale di linea (.= dove è l'arco di sinusoide œ sinb per B c!ßdþ

15 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 4 alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBß œ " loga" log ab. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Data la funzione ' B ' Bß 0aBß œ B % per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) Stailire in quali punti del piano è derivaile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso (semplificare le espressioni trovate!); ) Stailire in quali punti del piano è differenziaile; (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose).

16 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 4 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBß œ B ab" 4

17 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ab$ ab%ab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione a) Integrale generale dell'omogenea: %B ab$ ab%ab œ &/ Þ! $! % œ! a! " a! % œ!à! œ "ß! œ % Þ B %B DaB œ -"/ - / Þ ) Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione nella forma %B ab œ EB/ œ E/ %B a%b" œ E/ %B a"' B) %B %B E/ ca"' B) $ a%b" %Bd œ &/. Si consideri l'equazione differenziale: & E œ &àe œ " ab œ B/ %B œ Þ B" a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di auchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale a! œ "Þ

18 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di auchy è definita. a. Soluzioni costanti: œ!þ Per Á!ß..B " " œ à œ logkb" k- B" " œ " logk B" k - ". " œ a! œ à- œ "Þ - " ab œ " " logkb" k " " / poiché dev'essere B Á e logkb" k Á ß cioè B Á, la soluzione è definita nell'intervallo: " / " Œ ß Þ urve e integrali di linea. alcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una circonferenza di raggio V e massa Q, rispetto a un asse passante per un punto della circonferenza e perpendicolare al piano che la contiene. (Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento). irconferenza passante per l'origine: <a* œ av Vcos* ßVsin* ß* c!ß d Asse di rotazione: l'asse dall'origine nel piano abß: D, quindi la distanza del punto dall'asse è la sua distanza Q Q M œ ( ˆ B.= œ ( V a" cos* sin * V. * œ P V! QV QV QV œ ( a" cos *. * œ (.* œ % œ QV Þ!! alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. alcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. B $B lim Œ abßä a!ß! % % B &

19 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema perciò 0aBß Ä!Þ B $B B $B B & œ B & B & 0 a Bß % % % % % % a Bß Þ B kbk k0abß k œ º º Ÿ œ kbk Ä!, B% &% abßb œ $B B 'B $ % µ $B Ä!à $B $ ˆ BßB % œ Ä Þ B% &B ) Perciò non esiste il limite di, e pertanto neanche il limite di partenza. 5. Sia 0 À 8 Ä definita da 0aB œ log kbkß per B 8 Ï a!ß! Þ `0 a. alcolare ab per œ "ßßÞÞÞß8Þ `B. Detta <a> À M Ä 8 un arco di curva regolare, calcolare..> 0 a<a> dove 0 è la funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta. c. Applicare la formula trovata al punto alla curva < À a!ß" Ä $ data da <a> œ a> cos>ß> sin>ß> e semplificare l'espressione trovata. Attenzione: i primi due punti di questo esercizio sono amientati in 8 con 8 qualsiasi. Vanno quindi svolti per 8 qualsiasi (e non per 8 œ o $ ), usando le opportune notazioni. a.. ` logkbk B BlogkBk ˆ log kbk œ œ Þ `B kbk kbk kbk 8 8. < > > >.> 0 > œ f0 > > œ a logk< a k a a a a a " > < a > œ logk< a k " > < a > < < < < a > k< a k k< a k Þ œ" œ" c.. >.> 0 > œ logk< a k a a " > < a > < < a > k< a k $ œ" <a> œ a> cos>ß> sin>ß> à

20 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema k< a> k œ È> œ > Èà < a> œ acos>> sin>ß sin>> cos>ß" $ " < a> < a> œ > cos> acos>> sin> > sin> asin>> cos> > œ >Þ œ". logš > È logš > È log> log 0 a< a> œ > œ œ Þ.> > > > 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B 0aBß œ / ˆ B B B 0B œ / abab œ / ab B" œ! ā B B 0 œ / ab œ / ab œ!þ I punti stazionari sono: a!ß! à a"ß" àa"ß" Þ Matrice hessiana: L0 a Bß $ B 'B%B B %B %B œ / Œ a a Þ a%b %B! L0 a!ß! œ Œ indef.; a!ß! punto di sella L0 a"ß" œ / ' Œ def. neg. a"ß" punto di max. rel. " " ' L0 a"ß " œ / Œ def. neg. a"ß " punto di max. rel 4

21 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: a) Soluzione omogenea: Integrale generale dell'omogenea: ab$ ab œ BÞ Ú ab$ ab œ B Û a! œ! Ü " a! œ Þ $! $! œ!! œ!à! œ $ DaB œ -" - / $B Þ Soluzione particolare della non omogenea: cerco ab œ EB FBà ab œ EBFà ab œ EÞ E$ aebf œ BÞ E$F œ! ā'e œ E œ āf œ " $ * Integrale generale: a B " œ - " - / $B B B $ * Þ ) Soluzione del prolema di auchy: $B ab œ - / B $ *

22 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema œ a! œ -" - œ! a! œ $ - * œ " $ & & - œ à-" œ Þ ( ( & B " ab œ a"/ B BÞ ( $ *. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: B " œ Þ "B B B "B œ a " œ œ " B precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del prolema. B + ab œ "B à EaB œ ' + ab.b œ log a"b " " " B œ - "B.B œ - B Þ "B œ ( ˆ B "B œ logk k ) " " ( œ a" œ œ- à- œ à " ( B œ B B "B œ log per a!ß_ Þ urve e integrali di linea. alcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è: * œ Œsin ß * c!ß dþ œ * * sin cos à % * * * *.= œ É.* œ ËŒsin Œsin cos.* œ º sin º.* * P œ ( º sin º. * œ ( sin>.> œ c cos> d! œ %Þ!!

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBß œ loga"b %. sinb Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ abß À B % "àb Á!ß Á! Þ I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' ú NO úx 5. Data la funzione $ $ B B B Bß 0aBß œ B B per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) Stailire se 0 è continua o meno nell'origine. ) Stailire se 0 è derivaile o meno nell'origine. ) Stailire se 0 è differenziaile o meno nell'origine. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). ) Proviamo che lim abßä a!ß! 0 a Bß œ!þ $ $ $ $ kb k kbk kbk kb k kbk kbk k0abßk Ÿ Ÿ œ B B B $ $ kb k kb k kbk œ Þ B B B " $ Ora: 0 " è positivamente omogenea di grado, 0 è positivamente omogenea di grado ", 0$ è positivamente omogenea di grado ", sono tutte continue fuori dall'origine, quindi ciascuna delle tre tende a! per abß Ä a!ß!. Per il teorema del confronto anche 0aBß Ä!, quindi è continua. ) $ B `0 0aBß! œ œ Bà a!ß! œ Þ B `B

24 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 0 a!ß œ!à In particolare, 0 è derivaile nell'origine. ) 0 differenziaile nell'origine se e solo se: `0!ß! œ!þ ` a 0aBßB Ä! per abß Ä a!ß! Þ ÈB B$ B$ B 0aBßB B B» È» È» È» B œ B $ $ B B â B œ â ab B B œ $ $ $ $ kb k kbk kb k kbk Ÿ Ÿ œ ab B ÈB ab $Î $ kb k kbk œ Þ ab $Î ab $Î " Ora: " è positivamente omogenea di grado ", è positivamente omogenea di grado, quindi entrame tendono a zero. Per il teorema del confronto, il limite desiderato è zero, e 0 è differenziaile nell'origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBß œ B ab" 0B œ $B B B œ B a$b œ! œ $ 0 œ B B B œ B ab" œ!þ $ I punti stazionari sono: " " a" ß! à Œ ß à e la retta a!ß! Þ % Matrice hessiana: L0 a Bß "$B B $B% œ Œ a a Þ B a$b% B! " L0 a" ß! œ Œ indef.; a" ß! punto di sella " $ " " " ) % " " L0Œ ß œ " " def. neg. Œ ß punto di max. rel. % % % 4

25 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema! a"!! L0 a!ß! œ Œ semidef. a!ß! casi dui.!! Studiamo i punti della retta B œ! mediante il segno, poiché 0 a!ß! œ!. Lo studio del segno ci dice che: i punti a!ß! per! ā " e per!! sono punti di massimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un intorno è negativa); per!! " sono punti di minimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un intorno è positiva); i punti a!ß! e a!ß" sono di sella (perché in quei punti 0 è nulla e in ogni intorno camia di segno). 5

26 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione abab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione a) Integrale generale dell'omogenea: ) B abab œ $/ sinbþ! œ!! œ È DaB œ - cosš ÈB - sinš ÈB Þ " B Ba" $/ sinb œ Imˆ $/ erchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa della forma A A œ $/ AaB œ E/ Ba" Ba" A œ Ea" / Ba" Ba" Ba" E/ a" œ $/ $ a"% $ E œ œ $ œ a"% "% ""' "(

27 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema $ Ba" $ B AaB œ a"%/ œ / a"%acosb sinb "( "(. Risolvere il prolema di auchy: $ ab œ ImAaB œ / B asinb% cosb "( sinb ' œ cos ā ˆ œ e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di auchy è definita. Risolviamo l'equazione a variaili separaili: ( cos. œ ( sinb.b sin œ cosb- Imponiamo la condizione iniziale: sin œ cos - ' " œ - " sin œ cosbþ Devo risolvere l'equazione in, quando B varia in un intorno di B œ. La condizione " " $ " Ÿ Ÿ B Ÿ Ÿ B Ÿ cos B Ÿ " dà cos, quindi $. $ In questo intervallo risulta ab œ arcsin Œ " B cos B per $ $ (negli estremi dell'intervallo la funzione arcsin non è derivaile). urve e integrali di linea. alcolare l'integrale di linea ( È D.=

28 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema dove è l'arco di curva: ÚB œ > cos> Û œ > sin> Ü D œ > > c!ß d. < a> œ acos>> sin>ß sin>> cos>ß> k< a> k œ Éacos>> sin> asin>> cos> a>.> œ œ È "&>.>Þ ( È ( È " D.= œ > "&>.> œ ˆ "&> œ "&! $Î! " œ "! " Þ "& ˆ $Î alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. alcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. B loga"b lim abßä a!ß! B sin B Þ alcoliamo il limite di qualche restrizione. 0 BßB œ B "B $ loga a B sin BB µ B B µ B œ B B% B B Ä!Þ $ $ B "B B B " 0ˆ loga BßB œ µ œ Þ B sin BB% B% B % $ Poiché restrizioni di 0 lungo curve diverse hanno limiti diversi, il limite di partenza non esiste. 5. Data la funzione B Bß 0aBß œ B % per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) alcolare la derivata direzionale di 0 nell'origine rispetto al generico versore acos* ß sin* Þ ) Stailire se nell'origine vale la formula del gradiente. ) Stailire se 0 è differenziaile o meno nell'origine. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose).

29 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema. $ > cos* sin * > cos* sin * > sin * a> œ 0 a> cos* ß> sin* œ œ µ per > Ä!ß > cos * > % sin% * cos * > sin% * cos* purché sia cos* Á 0. Per cos* Á 0 si ha H acos* ßsin* sin * 0 a!ß! œ a! œ à cos* per cos* œ! è a>! e Ha0ß 0 a!ß! œ!þ. La formula del gradiente non vale nell'origine perché la generica derivata direzionale non è cominazione lineare di cos* ß sin*.. Pertanto 0 non è differenziaile nell'origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). I punti stazionari sono: Matrice hessiana: 0aBß œ / ˆ B %B 0B œ / ab% œ / ab œ! œ 0 œ / a B %B% œ!þ Š ß" È$ Þ a%b L0aBß œ / Œ Þ a%b %BB a% L0 Š ß" È Š " È$! $ œ / Œ Š ß" È$! % È indef.; punto di sella $ L0 Š ß" È " È$! $ œ / Œ Š ß" È$! % È def. pos.; punto di min. rel. $ 4

30 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: a) ab' ab*ab œ!þ Ú ab' ab*ab œ! Û a! œ Ü a! œ "Þ! '! * œ! Integrale generale:! œ $ $B ab œ / a- B- Þ " ) $B ab œ / a$ - B$- - " " œ a! œ - œ a! œ $- - œ " " - œ à- œ ( " $B ab œ / a(b Þ. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di auchy: "B œ "B Þ "B œ "B œ a! œ " precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del prolema.

31 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 4 a). + ab œ "B à EaB œ ' + ab.b œ log ˆ "B "B "B "B "B œ Œ œ- ( Œ ˆ "B.B œ Œ œ- ( "B.B œ "B "B a "B "B a"b $ œ Œ - Þ "B ā $ Ÿ " ) " œ a! œ œ- à- œ à $ $ "B a"b $ œ Œ B "B ā$ $ Ÿ per a"ß" perché a"ß" è il più ampio intervallo contenente B! œ!, in cui la soluzione e i coefficienti dell'equazione sono definiti. E' accettaile anche la risposta "per B a"ß_ " in quanto la soluzione è definita in questo intervallo; in B œ " la soluzione si annulla, il denominatore del coefficiente + ab si annulla ma, nel senso dei limiti, l'equazione è ancora soddisfatta. urve e integrali di linea. alcolare l'integrale di linea (.= dove è l'arco di sinusoide œ sinb per B c!ßdþ.= œ É"0 ab.b œ È" cos B.B (.= œ (! sinb È " cos B.B œ ccosb œ > d " " " œ ( È">.> œ ( È">.> œ ( È">.> œ c> œ Sh? d " "! SettSh" œ ( h?.? œ csh? h?? d œ È SettSh ".! SettSh"!

32 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 4 alcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBß œ " loga" log ab. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ abß À! B " o " B / Þ I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' ú NO úx I è connesso SI' ú NO úx 5. Data la funzione ' B ' Bß 0aBß œ B % per a Á a!ß! ā! per abß œ a!ß! Þ ) Stailire in quali punti del piano è derivaile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso (semplificare le espressioni trovate!); ) Stailire in quali punti del piano è differenziaile; (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). ) Fuori dall'origine 0 è certamente derivaile. alcoliamo: `0 `B œ `0 ` œ & 'B ˆ % B ' ' BaB B œ %B 'B B % B % a a ( & % ' & ' ˆ % B $ ' ' % ab B œ 'B %B % B % a a & * ' $ Nell'origine: % `0 $ `0 0aBß! œ B à abß! œ %B à a!ß! œ!à `B `B `0 `0 0 a!ß œ à a!ß œ à a!ß! œ!þ ` ` ) Le derivate parziali calcolate al punto precedente sono evidentemente continue fuori " dall'origine, quindi 0 G a Ï a!ß! e pertanto è differenziaile fuori dall'origine. Studiamo la differenziailità nell'origine.

33 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 4 0 differenziaile in a!ß! se e solo se 0aBß B Ä! per abß Ä a!ß! Þ È 0aBß» È» œ B ' ' B ab % ÈB œ ' ' ' ' B B œ Ÿ ab % ÈB ab % ÈB B ÈB % È œ $ B kk Ä! 0aBß B per abß Ä a!ß!. Per il teorema del confronto, anche Ä!, e 0 è differenziaile nell'origine. È 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBß œ B ab" 0B œ a"b œ! œ 0 œ BaB$ œ!þ I punti stazionari sono: " " a!ß" à Œ ß à e la retta ab! ß! Þ % Matrice hessiana: a%b$ L0aBß œ Œ Þ a%b$ Ba"B$ " L0 a!ß" œ Œ "! indef.; a!ß" punto di sella " " L0Œ " " % ß œ Œ " " " $ def. pos. ß punto di min. rel. % % % )!! L0aB! ß! œ Œ ab ß! B a semidef.! "B! casi dui.!! Studiamo i punti della retta œ! mediante il segno, poiché 0aB! ß! œ!. Lo studio del segno ci dice che: i punti ab! ß! per B! ā " e per B!! sono punti di minimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un intorno è positiva); per! B! " sono punti di massimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un intorno è negativa); 4

34 Prima prova in itinere di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 4 i punti a!ß! e a!ß" sono di sella (perché in quei punti 0 è nulla e in ogni intorno camia di segno). 5