I Esame di maturità 2012

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1 I. ESAME DI MATURITÀ I Esame di maturità Quesito Cosa rappresenta? Portando fuori il 5 abbiamo 5( lim + h)4 5 4 h h ( 5 lim + h)4 4 h h che assomiglia ad un rapporto incrementale del tipo: f(x + h) f(x) lim f (x) h h e in eetti ponendo f(x) x 4 abbiamo che il limite cercato coincide con 5f ( ). Poichè, se f(x) x 4 f (x) 4x f ( ) ( ) abbiamo che il limite cercato è 5 volte il rapporto incrementale della funzione f(x) x 4 calcolato in x e vale 5f ( ) 8 5 Quesito L'asintoto è in generale rappresentato da una retta alla quale la nostra funzione si avvicina sempre di piè senza mai toccarlo. Ci sono tre tipi di asintoti ) Asintoto orizzontale è dato da lim f(x) l x Allora la retta y l è asintoto orizzontale (e la funzione, a più innito, ci tende senza mai toccarla). ) Asintoto verticale se lim x c f(x) Allora la retta x c è asintoto verticale e la funzione tende ad innito in prossimità di questa retta ) Asintoto obliquo f(x) y mx + qcon m lim x x ; q lim f(x) mx x Dunque la funzione va a innito, ma come la retta y mx + q. L'esercizio chiede di determinare una funzione che abbia un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. L'asintoto orizzontale lo abbiamo per esempio nelle funzioni razionali, se il grado del numeratore coincide con il grado del denominatore; l'asintoto verticale lo abbiamo per esempio se si annulla in denominatore e dunque abbiamo una forma del tipo a. Un esempio della funzione cercata è: x f(x) (x )(x 5) oppuref(x) x + (x )(x )

2 Quesito S(t) (e t + t ) Trovare l'accelerazione in t 4. Bisogna solo ricordarsi che l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio (mentre la velocità coincide con la derivata prima). Dunque V (t) S (t) ((e t )( ) + ) ( e t + ) A(t) V (t) ( e t )( ) e t Calcolata in t 4 abbiamo A(4) e 4 e Quesito 4 Capacità massima, in litri, di un cono di apotema metro. Devo calcolare il volume del cono e massimizzare questa funzione. V cono πr h So che il legame tra apotema, raggio e altezza è dato da h a r dunque, poichè l'apotema vale abbiamo che: h r h r Sostituendo nella formula del volume abbiamo V cono πr r Questa è una funzione in r da massimizzare. Deniamo dunque la funzione f(r) πr r Calcoliamo la derivata e ne studiamo il segno f (r) π (r r + r r ( r)) Facendo denominatore comune abbiamo f (r) π 4r( r ) r r Dobbiamo studiare il segno. π r( r + ) r N r r > N r + < r <

3 I. ESAME DI MATURITÀ D > r (, ) Studiando il segno di questa cosa, abbiamo che f (r) > r < e < r < In questi intervalli laderivata è positiva e dunque la funzione è crescente. In particolare per r abbiamo un punto di massimo. Ora per capire la capacità massima, dobbiamo sostituire questo valore al volume V max V ol cono ( ) π V max π 9 Quesito 5 Da come lo interpreto io, è un esercizio di calcolo combinatorio. Dati n punti, quante solo le possibili coppie? Sono ) ( n n! n(n ) (n )!! Quante solo le possibili terne? Sono ( ) n n(n )(n ) Quanti sono le possibili quaterne? Sono ( ) n n(n )(n )(n ) 4 4 Quesito f(x) 5 sin(x) cos(x) + cos (x) sin (x) 5 sin(x) cos(x) 7 Per fare la derivata ci sono due metodi ) Metodo dell'ingegnere: Fare brutalemente i conti f (x) 5 cos(x) cos(x) 5 sin(x) sin(x) cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) 5 cos(x)()+ sin(x) Semplicando fa 5(cos (x) sin (x)) 4 sin(x) cos(x) cos(x) + sin(x) ) Metodo Matematico Notiamo che cos (x) sin (x) cos(x)

4 4 e che 5 sin(x) 5 sin(x) cos(x) 5 sin(x) cos(x) Sostituendo alla funzione abbiamo f(x) 5 sin(x) cos(x) + cos(x) 5 sin(x) cos(x) cos(x) 7 7 Dunque la funzione è identicamente 7 ovvero f(x) 7 da cui f (x) Quesito 8 Esercizio del valor medio. f(x) x [, e] Vale dunque che il valor medio è dato da: e x dx Abbiamo che: Dunque e f(c) e dx (ln(x))xe x ln(e) ln() x f(c) e Quesito 9 Prendiamo nel piano cartesiano due punti A e B ssati, dunque per esempio A (x a, y a ), B (x b, y b ) Prendiamo una retta y mx + q generica. Tutti i punti di questa retta hanno coordinate P (x, mx + q). Dobbiamo minimizzare la somma delle distanze tra AP e P B. Abbiamo dunque AP (x a x) + (y a mx q) P B (x b x) + (y b mx q) e dunque la funzione da minimizzare diventa AP + P B (x a x) + (y a mx q) + (x b x) + (y b mx q) Bisogna fare la derivata rispetto a x di questa funzione e porla. I conti sono lunghissimi e parametrici (perchè dipendono da A,B,m,q), ma questo era il procedimento (e secondo me la soluzione) da scrivere. Quesito Partiamo dalla prima funzione cos(sin(x + )) pi < sin(x + ) < π per le proprietà del coseno (il coseno è positivo se l'argomento sta tra π e π ). ora, pi.55 >. Dunque la funzione è positiva quando.55 < sin(x + ) <.55

5 I. ESAME DI MATURITÀ 5 Ma questo è sempre vero, perchè il seno di un qualunque angolo è sempre compreso tra [, ]. Dunque la funzione giusta è la prima. Problema f(x) 7x g(x) sin( πx) Il periodo di una funzione del tipo sin(kx) è π k Dunque il periodo di g(x) è. Il punto A è un classico studio di funzione. Partiamo fa f(x). ) π π 4 Dominio: R ) Segno f(x) xinr. ) Intersezione con gli assi, solo l'origine (, ) 4) Limiti lim x ± f(x) + 5) Derivata f (x) 8x sex >, 8x sex < In particolar modo x è punto angoloso della funzione. Questo il suo graco. 5 5 Passiamo a g(x) sin( π x) Abbiamo detto che è periodica di periodo 4. )Dominio: R )Segno: sin( π x) > < π x < π Moltiplicando per π i tre membri si ha ) Intersezione con gli assi sin( π x) > < x < x sin( π ) sin() sin( π x) π x oppure π x π che da come soluzione x e x. I punti di passaggio sono dunque. A (, ), O (, )

6 4) Derivata g (x) π cos(π x) dunque g (x) cos( π x) che da come soluzione e dunque esplicitando la x pi < π x) < π g (x) < x < Dunque abbiamo un minimo in x e un massimo in x. Questo è il graco della funzione punto Bisogna calcolare le equazioni delle rette tangenti in x. La formula, per f(x) è y f( ) f ( )(x ) Abbiamo che: Dunque f( ) 7 7 f ( ) r : y 9(x ) y 9x Analogamente per g(x) y g( ) g ( )(x ) Abbiamo che g( ) sin(π ) sin(π ) g ( ) π cos π Dunque s : y y

7 I. ESAME DI MATURITÀ 7 La formula per trovare l'angolo tra due rette è la seguente tan(θ) m m m m Nel nostro caso m dunque tan(θ) 9 e l'angolo è θ arctan 9 Per calcolare l'area R, basta vedere che la funzione f(x) sta sempre sotto la g(x) nell'intervallo [, ]. Dunque R + + π g(x) f(x)dx sin( π x)dx π sin(pi Ora l'integrale è facile da calcolare e vale 7x dx x 7x4 x)dx 4 x π cos(π x)x x π (cos(π ) cos()) + π Questo è il graco delle due gure (la viola è la f(x) Ci chiedono ora i volumi di solidi di rotazione. Per quanto riguarda l'asse x basta solo applicare la formula S π (g(x) f(x)) dx

8 8 Invece per l'asse y, dobbiamo trovare le funzioni inverse (per y >, dunque il modulo lo possiamo togliere) Si ha che f(x) 7x f (x) g(x) sin( π x) g (x) π arcsin x Per capire gli estremi di integrazione, bisogna capire l'altezza delle funzioni dei punto x e x. In x le funzioni valgono, in x, per esempio f( ) g( ). Dunque l'integrale cercato è x. T ( x π arcsin x) dx Problema La parabola si può riscrivere come x 9 y y x + 9 La retta r è la retta tangente alla parabola nel punto A (, ). equazione sarà dunque y m(x ) La sua con mderivata della funzione calcolata nel punto. Denita f(x) x +9 si ha f (x) x e dunque f () La retta r è dunque r : y x + Per trovare l'area tra la retta e la circonferenza si procede così. semicerchio di raggio è data da A circ π 4 9π 4 L'area del

9 I. ESAME DI MATURITÀ 9 L'area del triangolo OAB è data da A trian 9 Dunque l'area racciusa tra la retta e la circonferenza è data da: A A circ A trian 9π 4 9 Per trovare l'area tra la retta e la parabola, dobbiamo prima calcolare l'area della parabola tra e. Per far questo basta calcolare l'integrale A parab L'area cercata vale dunque x x + 9 dx ( + 9x ) x x A trian A parab 9 Per il punto due, se le sezioni hanno Area S(x) e 5 x, per trovare il volume bisogna integrale le sezioni lungo tutta la lunghezza dove sono denite. Ne segue che V S(x)dx e 5 x dx ( )e 5 x dx ( e5 x ) x x (e 4 e 5 ) e5 e 4 Per il punto ), si tratta del volume di solido di rotazione. circonferenza ha equazione y 9 x L'arco di dunque V π ( 9 x 9 x )dx