Soluzioni delle Esercitazioni VIII 21-25/11/2016. = lnx ln1 = lnx. f(t)dt.

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1 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 Soluzioni delle Esercitazioni VIII -5//6 A. Funzione integrale. La funzione integrale di f nell intervallo [, ] è per definizione F() = dt con [,]. t Questa scrittura non esprime F attraverso una funzione elementare, dato che l integrale non è una scrittura analitica elementare. Occorre calcolare l integrale. Si ha t dt = ln t = ln ln = ln. Si notichepossiamotogliereilvaloreassolutoinquanto [,]equindi èpositivo.. La funzione f è definita a tratti. La funzione integrale di f è per definizione F() = f(t)dt. Qui sotto c è il grafico di f e sono evidenziati i due casi possiili: può appartenere all intervallo [,] oppure all intervallo (, ]. Per scrivere l espressione di F occorre allora distinguere i due casi: (i) se [,], allora F() = t dt = t3 3 = 3 3 ( )3 = ; (ii) se invece (,], allora Quindi in definitiva si ha F() = F() = t dt+ { 3 3 ( t)dt = ( ) 3 + t t = <. Si noti che la funzione F è continua, in particolare è continua in. +. L esercizio chiede anche di discutere l applicailità in questo caso del teorema fondamentale del calcolo. Il teorema afferma che nei punti in cui f è continua la funzione F è derivaile e in tali punti risulta F () = f(). Possiamo quindi dire che il teorema è applicaile per, dato che f è continua in tutti i punti dell intervallo ad eccezione dell origine. La funzione integrale F risulta evidentemente derivaile in tali punti, dato che si tratta di composizione di funzioni elementari. Possiamo anche scrivere che { F < < () = < <. Vediamo ora se F risulta derivaile anche in = oppure no. Faccio notare che in = il teorema fondamentale non dice nulla, dato che non è applicaile. Calcolando i iti della derivata si ottiene F () = = mentre + F () = + ( ) =. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

2 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 La funzione F pertanto non è derivaile in =. In altre parole essa è continua in = ma ha un punto angoloso, come si può trovare cercando di disegnare un grafico della funzione F. Il punto angoloso è caratterizzato da una pendenza sinistra uguale a e una pendenza destra uguale a. 3. La funzione f è definita a tratti. Ricordo ancora una volta che la funzione integrale di f è per definizione F() = f(t)dt. Qui sotto c è il grafico di f e sono evidenziati i tre casi possiili: può appartenere all intervallo [,] oppure all intervallo (, ] o infine all intervallo (, 3] Per scrivere l espressione di F occorre allora distinguere i tre casi: (i) se [,], allora F() = dt = t = ; (ii) se invece (,], allora F() = (iii) se infine (,3], allora F() = Quindi in definitiva si ha dt+ dt+ (t )dt+ ( t (t )dt = + t (3 t)dt = + + ( 3t t F() = < 3 5 < 3. Si noti che la funzione F è continua, in particolare è continua in e. =... = + 3 ; =... = 3 5. L esercizio chiede anche qui di discutere l applicailità del teorema fondamentale del calcolo. Il teorema è applicaile dove la f è continua e cioè per. La funzione integrale F è quindi derivaile in tali punti e possiamo scrivere < < F () = < 3 < < 3. Si noti che possiamo mettere il segno di = relativamente ad = in quanto la funzione F è derivaile in, essendo f continua in. Vediamo ora se F risulta derivaile anche in = oppure no. Calcolando i iti della derivata si ottiene () = F = mentre () = +F +( ) =. La funzione F pertanto non è derivaile in =. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

3 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 B. Integrali generalizzati. La funzione integranda è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione e l integrale è generalizzato perché l intervallo non è itato. L integrale, usando la definizione, è dato da (+) d = d = (+) 3 + (+) 3 + ( = + (+) + ) = 8 8. ( ) = + (+). La funzione integranda è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione e l integrale è generalizzato perché l intervallo non è itato. L integrale, usando la definizione, è dato da e ln d = + e ln ( d = ) ( = ) + ln e + ln + =. 3. La funzione integranda è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione e l integrale è generalizzato perché l intervallo non è itato. L integrale, usando la definizione, è dato da e d = + e d. Qui la primitiva non è immediata e doiamo calcolarla per parti. e d = ( e ) ( e )d = e e +c. Quindi + e d = ( e e ) ( ) = e e + = L integrale è generalizzato in quanto l intervallo non è itato. Usando la definizione l integrale è dato da d = d = + ( + ) = = L integrale è generalizzato in quanto l intervallo non è itato. Usando la definizione l integrale è dato da e d = d = ln + e ln lnln = ( ) lnln = +. + e + 6. L integrale è generalizzato in quanto l intervallo non è itato. Usando la definizione l integrale è dato da e 3 d = a a e 3 d. Per trovare la primitiva possiamo osservare che l integrale è quasi immediato: e 3 d = (3 )e 3 d = 3 3 e3 +c. Quindi si ha a a ( e 3 d = a 3 e3 a = 3 ( e a 3) = a 3. Negli esercizi che seguono si deve studiare la convergenza dell integrale, quindi non è richiesto il calcolo con la definizione, come invece era negli esercizi precedenti. Doiamo quindi utilizzare i criteri di convergenza, che non comportano il calcolo di una primitiva della funzione integranda. Indicherò i casi in cui si può anche effettuare il calcolo con la definizione. A. Peretti Corso di Matematica 3 UNIVR Sede di Vicenza

4 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 7. La funzione integranda è (+) e l intervallo di integrazione è [,+ ). La funzione è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione. Si tratta di un integrale generalizzato perché l intervallo non è itato. L integrale si può calcolare con la definizione. Per rispondere alla domanda sulla sola convergenza si può osservare che la funzione integranda è equivalente alla funzione e che questa è integraile in [,+ ). Quindi l integrale dato converge. 8. La funzione integranda è 3 + e l intervallo di integrazione è [,+ ). La funzione è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione. L integrale si può calcolare anche con la definizione. 3 Si può concludere facilmente che l integrale non è finito (diverge) osservando che la funzione integranda è equivalente a = 3, e questa non è integraile in [,+ ). 9. La funzione integranda + è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione. Anche qui l integrale si può calcolare anche con la definizione. 4 Osservando che, per +, è trascuraile rispetto a, si ha che + è equivalente a. L integrale di converge dato che α =. Allora anche il nostro integrale converge.. La funzione integranda è +ln. Per +, ln è trascuraile rispetto a (confronto standard). Quindi +ln è equivalente a. Pertanto, per i criteri di convergenza dell integrale generalizzato, il nostro integrale converge, dato che l integrale di converge.. La funzione integranda è 3 +. Per + si ha che è trascuraile rispetto a 3 e quindi 3 + è equivalente a, cioè. Dato che l integrale di converge (α = 3/ > ), allora anche l integrale dato 3 3/ 3/ converge.. La funzione integranda è Per +, è trascuraile rispetto a 3 e è trascuraile rispetto a 5. Quindi è equivalente a = 5 5. Pertanto il nostro integrale diverge, dato che l integrale di diverge. 3. La funzione integranda è e ln ed è definita e continua in tutto l intervallo di integrazione [,+ ). A differenza degli esercizi precedenti in questo caso la funzione non può essere semplificata trascurando qualche termine (si ricordi che in un prodotto non possiamo trascurare uno dei fattori). Possiamo operare un confronto con funzioni di cui conosciamo il carattere dell integrale. Una possiilità è osservare che Infatti, se calcoliamo il ite del quoziente, aiamo Si ha e ln è trascuraile rispetto a, per +. e + e ln e = + e e ln = + ln =. ( d = d = ) ( = (+) + (+) ) =. Ricordo che la funzione potenza α è integraile a + se (e solo se) α >. 3 Si ha 3 3 d = d = d = 3 + ln(3 +) = +. 4 Suggerimento: si scomponga il denominatore e si aggiunga e tolga a numeratore. A. Peretti Corso di Matematica 4 UNIVR Sede di Vicenza

5 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 Ora si trova facilmente che e è integraile in [,+ ). 5 Pertanto l integrale dato converge. Un modo alternativo poteva essere quello di osservare che ln, definitivamente. 6 Pertanto si ha che e ln e, definitivamente. Pertanto la conclusione precedente segue ancora dal confronto con la funzione e. Si poteva anche operare un confronto con. Calcolando il ite + e ln = + ( e ln = + e ) = =, ln si trova che la funzione e ln ètrascurailerispettoa, equindilaconclusioneseguedall integrailitàdiquest ultima. 4. La funzione integranda è ln. Per questo integrale siamo anche in grado di trovare una primitiva e quindi possiamo arrivare al risultato anche attraverso la definizione. 7 Possiamo anzitutto osservare che un confronto con non porta da nessuna parte, dato che + ln = + ln = + e quindi la funzione ln non è trascuraile rispetto a. Ora asta osservare, come già fatto in un esercizio precedente, che ln definitivamente e quindi ln, definitivamente. Pertanto ln, definitivamente. Quindi l integrale dato diverge perché diverge quello di. 5. La funzione integranda è e ed è definita e continua in tutto R. Possiamo dividere l integrale in due integrali, entrami generalizzati, scrivendo e d = e d+ e d. Si osservi che la funzione è dispari e quindi l eventuale convergenza dell uno implica la convergenza anche dell altro e l annullarsi dell integrale. L integrale può essere calcolato anche con la definizione. 8 Operando con i criteri di convergenza si può fare un confronto con la funzione 3. e + 3 = + 4 e = t + t = (confronto standard). et Quindi la funzione e è trascuraile rispetto a 3, per +. Allora, dato che l integrale di 3 converge, converge anche l integrale e d. 9 5 È un integrale che aiamo già incontrato. Si calcola con la definizione: + e d = e ( d = e ) + = ( e +e ) = e. + Si può anche ricavare la sua sola convergenza dal confronto di e con 6 Ricordo che definitivamente significa da un certo punto in poi. si ha 7 Si ha ln 8 Dato che e d = +. ln d = d = + + ln 3 3 = 3 e d = ( )e d = e +c + ln3 = +. e d = ( + e = + (e ) =. 9 Alla naturale domanda del perché ho fatto il confronto con 3 anziché con rispondo semplicemente che, a conti fatti, un confronto con avree portato ad un camio di variaile nel ite leggermente più complicato. A. Peretti Corso di Matematica 5 UNIVR Sede di Vicenza

6 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 A questo punto la conclusione è che l integrale su tutto R è zero. Faccio notare che, senza la convergenza dell integrale sui reali positivi non possiamo dire che l integrale è zero per la simmetria della funzione. Nel caso l integrale su [, + ) diverga isogna concludere che l integrale su tutto R diverge. 6. La funzione integranda è e +e ed è definita e continua in tutto R, dato che il denominatore è sempre positivo perché somma di due quantità positive. La funzione è pari e quindi l integrale su tutto R è il doppio dell integrale su [, + ) (ammesso che sia finito). Consideriamo allora l integrale e d. +e Dato che, per +, e tende a zero e quindi è trascuraile rispetto ad e, allora e +e è equivalente a e = e. L integrale quindi converge. C. Vettori. Il vettore v, cominazione lineare dei tre vettori v, v, v 3, è v = 3v v +v 3 = 3(,,3) (,, )+(,3,) = (3,6,9)+(, 4,4)+(,3,) = (3,5,4).. Intanto possiamo calcolare algericamente v = 3v +v = 3(,)+(,) = ( 3,)+(,) = (,). Ora facciamolo geometricamente: 3 v v v 3v v 3. I due vettori sono ortogonali se il loro prodotto interno è zero. Si ha v,v = (k +,,k),(,k,k) = k ++k +k = k +k = k(k +). Pertanto i vettori sono ortogonali se k(k +) =, cio è se (e solo se) k = oppure k =. Questo ad esempio capita con 3 d. La funzione è dispari (simmetrica rispetto all origine) ma l integrale 3 d diverge e quindi anche l integrale 3 d diverge. Basta considerare che con f() = e +e si ha f( ) = e +e = f(). Possiamo calcolare esplicitamente e d (come già fatto in precedenza) oppure possiamo dire che l integrale converge in quanto e = + + e =, e quindi e è trascuraile rispetto a, per +. Allora, dato che è integraile, anche e lo è. 3 Il vettore v si può ottenere, dalla regola del parallelogramma, come somma di 3v e di v. Il primo è un vettore di lunghezza tripla di v, orientato con verso opposto a v stesso, il secondo è un vettore di lunghezza doppia di v, orientato come v. A. Peretti Corso di Matematica 6 UNIVR Sede di Vicenza

7 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 4. La norma euclidea (o norma ) di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti. 4 Quindi nel nostro caso v = ( 3,,,) = = 6 = Cerchiamo i punti di norma euclidea uguale a. Siamo in R e indichiamo con (,) il punto generico. La norma euclidea (o norma ) di (,) è radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti e quindi deve essere + = e cioè + =. Si tratta dei punti che stanno sulla circonferenza di centro l origine e raggio unitario. 6. La distanza dei due punti si ottiene come norma (euclidea) della differenza. Quindi d(p,p ) = P P = (,,3) ( 3,, ) = (,,5) = 4++5 = La definizione dice che i vettori sono linearmente dipendenti se è possiile trovare una loro c.l. non anale uguale al vettore nullo e invece che sono linearmente indipendenti se l unica loro c.l. uguale al vettore nullo è quella anale. Costruiamo allora una generica c.l. dei vettori dati (ad esempio con coefficienti a, ) e poniamola uguale al vettore nullo; poi troviamo le condizioni sui coefficienti e vediamo in quali modi questo è possiile. Nel nostro caso aiamo a(,)+(, ) = (,). Questa equivale alla (a,a)+(, ) = (,) cioè (a+,a ) = (,). Questo si può avere solo se sono verificate le condizioni { a+ = a =. Ricavando dalla seconda e sostituendo nella prima si ha { = a a+4a = cioè { = a 5a = cioè { a = =. Quindi l unica possiilità di avere il vettore nullo come c.l. dei vettori dati è evidentemente quella di scegliere tutti e due i coefficienti uguali a zero. I vettori sono pertanto linearmente indipendenti. 8. La definizione dice che i vettori sono linearmente dipendenti se è possiile trovare una loro c.l. non anale uguale al vettore nullo e invece che sono linearmente indipendenti se l unica loro c.l. uguale al vettore nullo è quella anale. Costruiamo allora una generica c.l. dei vettori dati (ad esempio con coefficienti a,, c) e poniamola uguale al vettore nullo; poi troviamo le condizioni sui coefficienti e vediamo in quali modi questo è possiile. Nel nostro caso aiamo Questa equivale alla a(,,)+(,,)+c(,,) = (,,). (a, a,)+(,,)+(c,,) = (,,) cioè (a +c, a+,) = (,,). Questo si può avere solo se = (terza componente), da cui però segue che a = (seconda componente) e infine c = (prima componente, tenendo conto delle altre due condizioni trovate). Quindi l unica possiilità di avere il vettore 4 Si può anche dire, è lo stesso, che è la radice quadrata del prodotto interno del vettore per se stesso. A. Peretti Corso di Matematica 7 UNIVR Sede di Vicenza

8 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 nullo come c.l. dei vettori dati è evidentemente quella di scegliere tutti e tre i coefficienti uguali a zero. I vettori sono pertanto linearmente indipendenti. 9. Esercizio analogo al precedente. Possiamo procedere cercando se il vettore nullo si può ottenere come c.l. dei vettori dati solo in modo anale (cioè con coefficienti nulli) oppure in modo non anale. Scriviamo allora una generica c.l. dei vettori dati e poniamola uguale al vettore nullo: Questa equivale alla a(,,)+(,,)+c(,,) = (,,). (,a,)+(,,)+(c,,c) = (,,) cioè (+c,a,+c) = (,,). Ora questo si può avere ovviamente se e solo se { +c = a = (due equazioni sono uguali). È evidente che questo sistema non ha come unica soluzione a = = c =, dato che ad esempio anche a =, =, c = è una soluzione. I vettori sono quindi linearmente dipendenti.. Si potree osservare suito che si tratta di 3 vettori in R, quindi 3 vettori in uno spazio di dimensione, e quindi che i 3 vettori sono certamente dipendenti. Però vediamolo, come richiesto, con la definizione. Costruiamo come sempre una generica c.l. dei vettori dati (con coefficienti α,α,α 3 ) e poniamola uguale al vettore nullo. Aiamo α v +α v +α 3 v 3 =, α (, )+α (,)+α 3 (,) = (,). Questa significa (α +α, α +α +α 3 ) = (,) cioè { α +α = α +α +α 3 =. Ad esempio scegliendo α =, si vede suito che con α = e α 3 = il sistema è verificato e quindi che la c.l. v v + v 3 è il vettore nullo. Pertanto, dato che il vettore nullo si può scrivere come c.l. non anale dei vettori v,v,v 3, questi ultimi sono linearmente dipendenti. A. Peretti Corso di Matematica 8 UNIVR Sede di Vicenza