Integrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c.

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1 Integrali indefiniti fondamentali Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati d f ( c d f ( c a d a c n n d c con n - n a a d log k e d e k k e c a c e d e c d log c send cos c cos d sen c senhd cosh c cosh d senh c tg d d tg c cos ctg d d ctg c d sen arcsen c d ln f ( c f ( n n f ( f ( d c n sen f ( d cos f ( c cos f ( d senf ( c d tgf ( c cos f ( d ctgf ( c sen f ( d arcsenf ( ) c f ( d arctgf ( c f ( ) f f ( '( e arcsen f ( c d arccos f ( c d e f ( f ( ln a c f ( f ( a d a c d arctg c

2 Integrali notevoli

3 L Integrale indefinito e METODI Il concetto di integrale Il problema che conduce all introduzione del concetto di integrale nasce dal seguente quesito: se conosciamo la derivata di una certa funzione f, come possiamo trovare l espressione analitica di f? Consideriamo, a tal fine, una funzione f ( che in ogni punto di un intervallo [a, b] sia la derivata di una certa funzione F (. Si dice che F ( è una funzione primitiva di f (. Per esempio: La funzione F( sen è una primitiva di f ( cos, poiché è: Dsen cos ; La funzione F( è una primitiva di La funzione F( ln è una primitiva di f (, poiché è: D ; f (, poiché è: D ln. Si dimostra che: Tutte le funzioni che hanno per derivata f ( si ottengono dalla formula: F( c, attribuendo alla costante c un qualunque valore reale. L insieme di tutte le primitive di una data funzione f ( (che, come è facile intuire, sono infinite) si chiama integrale indefinito e si indica con il simbolo: f ( d, che si legge integrale indefinito di f ( in d. Il simbolo indica l operazione di integrazione, cioè l operazione che data una funzione f ( consente di determinare la sua primitiva; la funzione f ( si dice funzione integranda ed il simbolo d indica la variabile rispetto alla quale si esegue l operazione di integrazione. Da quanto detto sopra segue che l integrazione indefinita è l operazione inversa della derivazione. Pertanto, le regole di derivazione, lette da sinistra vero destra, forniscono le regole di integrazione indefinita immediate.

4 Per esempio: n n d c, se n ; n d d ln c send cos c ; cos d sen c ; tg c ; cos ctg c ; sen d arcsen c ; d arctg c ; a d a c in particolare ln a e d e c ; e così via Le proprietà degli integrali indefiniti Per l operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà: L integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l integrale della funzione: k f ( d k f ( d con k. L integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni: f( f (... f ( d f( d f ( d... f ( d. n n ) Come conseguenza delle prime due proprietà si ha che: L integrale della combinazione lineare di funzioni è uguale alla stessa combinazione lineare degli integrali delle funzioni date: k f( k f (... k f n ( d k f( d k f ( d... k n f ( d. n n )

5 Esempi: c ; d d c d d c c c ; d d arctg 6 d 6 d 6 d c c sen sen sen cos sen 6 d d cos d sen 7 d d 7 d d c ; c ; 7 c ; c 7 c. Il metodo di scomposizione Come abbiamo visto nell ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma algebrica di altre funzioni elementari, l integrale si calcola scomponendo la funzione di partenza. Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione. Osserva gli esempi seguenti: d d d d d d d cos sen d d d cos d sen sen cos tg cos cos cos d d d d d tg c c ln c ; [formula bisezione]; [relaz. fondamentale]. Altre regole di integrazione Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale: 5 d. Le possibilità che abbiamo davanti sono due: ) sviluppare la potenza del binomio e poi applicare il metodo di scomposizione; ) applicare la regola seguente: n n ( d con n. n f d f (

6 Ciò significa che per integrare una funzione che è la potenza di una funzione f ( [quindi una funzione composta] si può procedere in modo del tutto simile a quello per integrare la funzione potenza derivata di f (. n, a patto però di avere come fattore moltiplicativo la Nel nostro caso il fattore moltiplicativo cioè non c è; tuttavia, dato che tale derivata è una costante, possiamo moltiplicare e dividere la funzione integranda per tale valore, in modo da ottenere: d d d c c Le altre regole di derivazione sono le seguenti: d ln f ( c ; f ( 8. senf ( d cos f ( c ; cos f ( d senf ( c ; d tgf ( c cos f ( ; d ctgf ( c sen f ( ; f ( f ( f ( f ( a d a c in particolare ln a e d e c ; d arcsenf ( ) c ; f ( d arctgf ( c f ( ). Esempio: 6 6 d d d d 6 d Il secondo integrale è immediato, ma il primo non lo è. Si osserva, tuttavia, che il numeratore della frazione è uguale alla derivata del denominatore, per cui rientriamo in una delle regole di integrazione enunciate nel paragrafo precedente. Per cui si ha: arctg c ln 6.

7 Integrazione per sostituzione Molto spesso, durante gli studi di matematica, ci si accorge di come un cambiamento di variabile porta spesso a semplificazioni di calcolo; si pensi ad esempio al metodo usato per la risoluzione delle equazioni biquadratiche o ad altri casi analoghi. Anche nel calcolo di un integrale, assai spesso, un analoga sostituzione della variabile di integrazione porta a facilitare l individuazione dell insieme delle primitive. Vediamo il tutto con un esempio: Supponiamo di voler calcolare l integrale del paragrafo precedente: ma senza applicare le regole enunciate. 5 d Per far ciò operiamo la seguente sostituzione di variabile: L integrale diventerà: t t 5 d ma questa scrittura non è corretta, perché adesso la funzione integranda è espressa nella variabile t ma l integrale è in d. Pertanto, bisogna in qualche modo convertire il d in dt. Per far ciò, dalla: t si ha t e quindi: Quindi, l integrale scritto in forma corretta diventa: t 5 dt d dt. facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ha perciò: Ma t, per cui risostituendo: Vediamo ora un altro esempio: Si calcoli: Effettuando la sostituzione si ha: 5 t dt t 6 6 c 8 t 6 c d c 5 7 d.

8 t 5 da cui t 5 e quindi d dt. L integrale, pertanto, diventa: d 7 5 facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ottiene: da cui risostituendo: t 7 dt t 7 7 t 7 dt, c d t 6 c. c,

9 Integrazione per parti L integrazione per parti è un metodo di integrazione utilizzabile quando è possibile vedere la funzione integranda come prodotto di due funzioni tali che una di esse si possa interpretare come la derivata di una funzione nota. La formula di integrazione è la seguente: g( d f ( g( f ( g' ( d e il metodo prende il nome di integrazione per parti proprio perché la funzione integranda appare composta da due parti distinte: g (, che non essendo vista come la derivata di una funzione nota, prende il nome di fattore finito ed che è detto, invece, fattore differenziale. porre Analizziamo il tutto con un esempio: Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale: cos d. La funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni. Possiamo g( come fattore finito e cos come fattore differenziale. Sia avrà: g '( e f ( sen [primitiva di cos ] Applicando la formula di integrazione per parti si ha: che è l integrale cercato. cos cos d sen sen d sen c,

10 INTEGRALI PARTICOLARI Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo sin

11 Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cos

12 Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo tan Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cot Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo sec Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo csc

13 Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e cos anche:

14 anche: anche: anche: anche:

15 Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e tan Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e tan Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e cot Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e cot Integrali di funzioni trigonometriche contenenti tan e cot