Integrale indefinito

Transcript

1 Integrale indefinito 1 Primitive di funzioni Definizione 1.1 Se f: [a, b] R è una funzione, una sua primitiva è una funzione derivabile g: [a, b] R tale che g () = f(). Ovviamente la primitiva di una funzione, quando esiste, non è unica: ad esempio se g è una primitiva di f e c R è una qualsiasi costante reale allora anche la funzione c + g() è una primitiva di f, dato che (c + g()) = g () = f() Non è sempre detto che una funzione ammetta primitive, comunque nel caso di funzioni continue questo è vero, come garantito dal teorema fondamentale del calcolo: Teorema 1.1 Se f: [a, b] R è una funzione continua allora per ogni [a, b] la funzione g: [a, b] R definita come g() = a f(t)dt è derivabile in [a, b] ed è una primitiva della f. Notiamo che e che g(a) = a a g(b) g(a) = f(t)dt = 0 b a f(t)dt Questo teorema consente quindi di calcolare gli integrali delle funzioni continue. In generale determinare la primitiva usando il teorema precedente non è facile (esattamente come non è facile calcolare la derivata usando la definizione di limite del rapporto incrementale). 1

2 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI Comunque per applicare il teorema basta conoscere una qualsiasi funzione primitiva h della f, dato che h() = g() + h(a) Infatti h() g() deve essere una costante (perché è la differenza di due primitive) ed inoltre g(a) = 0. Morale: per calcolare un integrale basta determinare una qualsiasi primitiva ed usare il teorema precedente nella forma g(b) g(a) = b a f(t)dt Dato il legame che c è fra primitive e derivate, usiamo la notazione f() per denotare una qualsiasi primitiva di una data funzione; chiamiamo questa espressione simbolica l integrale indefinito di f(); si noti che l integrale indefinito è quindi una funzione, mentre l integrale definito è un numero. Risoluzione di integrali indefiniti Per determinare una primitiva possiamo usare dei procedimenti simbolici; tanto per cominciare, dato che g = f, se riusciamo a vista a trovare una funzione la cui derivata è f possiamo dire che ne è una primitiva. In altri termini, se consideriamo una tabella di funzioni e di loro derivate, leggendola in senso inverso diviene una tabella di funzioni e loro primitive. Ecco ad esempio una tabella di integrali immediati. n = 1 n + 1 n+1 (n 1) = log + a = 1 a arctan a a = arcsin a (a 0)

3 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI 3 a = 1 log a a (a > 0) e + e sen = cos cos = sen cos = log tan + 1 cos cos = tan Possiamo poi utilizzare alcune regole generali di derivazione per dedurre delle regole generali di integrazione. Dal fatto che la derivata è lineare segue che anche l integrale lo è: (af() + bg() = a f() + b g() La regola di derivazione delle funzioni composte consente di dedurre la regola di cambiamento di variabile in un integrale indefinito f() = f(g(t))g (t)dt dove t e sono variabili distinte. La regola di derivazione del prodotto di funzioni fornisce la regola di integrazione per parti f()g () = f()g() f ()g() In particolare, se f() = 1 troviamo che l integrale di una derivata di una funzione è proprio quella funzione: g () = g()

4 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI In generale non esiste nessuna regola per integrare il prodotto di due funzioni qualsiasi. Risolvere un integrale indefinito vuol dire applicare queste regole e combinarle fino a trasformare una espressione in cui compaiono integrali, in una in cui non compaiano. Particolare attenzione si deve rivolgere all uso della regola di cambiamento di variabile. Spesso è comodo usare la notazione del differenziale per capire questi cambiamenti di variabile. Precisamente, il termine nell espressione simbolica per l integrale indefinito ha l unico scopo di dirci qual è la variabile rispetto alla quale si integra; è una notazione del tutto analoga alla seguente, spesso usata per indicare la derivata: f () = df Si noti che, con questa notazione, l integrale di una derivata si scrive df = df = f() Il significato del simbolo df è che l integrale si fa rispetto alla variabile f, e dato che la funzione da integrare è 1, il risultato è proprio la variabile di integrazione, cioè f: questo nel caso della solita variabile è = 1 = (perché = 1). In generale, se f() è una funzione della variabile, definiamo il suo differenziale come l espressione simbolica df = df = f () Cioè il differenziale di una funzione è la derivata della funzione per il differenziale della variabile rispetto a cui si integra. Ora possiamo usare questa regola per esprimere il cambiamento di variabile in un integrale come segue: supponiamo che = g(t), dove g è derivabile; allora f() = f(g(t))dg(t) = f(g(t))g (t)dt Ad esempio se consideriamo l integrale 1

5 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI 5 Possiamo così manipolarlo simbolicamente: = 1 = ( ) = d ( ) 1 ( ) = 1 arcsin d ( ) Questo equivale ad usare la sostituzione di variabile t =, col che dt = e quindi dt/ = : = dt 1 1 t = 1 dt = 1 1 t arcsin t = 1 arcsin Anche la regola di integrazione per parti si formula in podo differenziale, come segue fdg = fg gdf Ad esempio consideriamo l integrale sen = sen sen = sen d cos ( = sen cos = sen cos + ) cos dsen = sen cos + cos cos cos Ma cos = 1 sen così che la catena di uguaglianze precedenti diviene sen = sen cos + sen Portando l ultimo termine del secondo membro al primo membro troviamo che sen = sen cos + = sen cos + cioè sen = 1 ( sen cos ) = sen

6 3 ESERCIZI 6 NOTA: la notazione del differenziale può sembrare un puro artificio simbolico, ma può essere resa perfettamente rigorosa. Possiamo ad esempio, data una funzione f() derivabile in un punto 0, definire il suo differenziale in 0 come la funzione df() = f ( 0 )( 0 ) Questa è ancora una funzione; se scriviamo = 0 allora df = f ( 0 ) Ora tutte le regole di calcolo delle derivate in un punto implicano regole analoghe per i differenziali. Queste definizioni giustificano frasi del tipo: il differenziale df si ottiene dividendo la derivata di f per il differenziale, che spesso si usano nelle applicazioni, ad esempio in fisica e in meccanica. 3 Esercizi Risolvere i seguenti integrali indefiniti. 1) ) ( ) e sen cos 3) ) 1 5) e 6) sen 7) log

7 3 ESERCIZI 7 8) 1 sen + cos 9) log 10) cos tan 11) 1) tan 13) 3 e 1) cos 15) ) e 3 17) ) e 19) e

8 3 ESERCIZI 8 0) 1) log arctan ) 3) ( + 5)e tan 1 1 ) sen 5) e arctan + log(1 + ) ) sen cos sen + cos 7) 8) 1 + cos 3 9) 30) 3 e 3 arcsin 31) 16

9 3 ESERCIZI 9 3) (arcsin ) 1 33) 3) e e + 1 sen 3 cos 35) sen cos 36) ) 38) sen 1 39) 1 0) log Nota: per verificare se un esercizio è stato risolto correttamente, derivare la funzione ottenuta come risultato: deve essere, a meno di una costante, uguale alla funzione integranda.