Esercizi svolti sugli integrali indefiniti

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1 SCIENTIA International Review of Scientific Synthesis ISSN 8-9 Quaderni di Matematica 05 Matematica Open Source Esercizi svolti sugli integrali indefiniti Parte 0. Formule fondamentali di integrazione Marcello Colozzo

2 Principali regole di integrazione PRINCIPALI REGOLE DI INTEGRAZIONE cf () = c f (), c R () n c k f k () = k= n c k k= f k (), c k R, (k =,,...,n) () Siano ϕ e f due funzioni reali, definite rispettivamente negli intervalli (limitati o non) A e X: ϕ : t A ϕ(t), f : X f () Supponiamo he ϕ(t) X, per cui a ϕ(t) corrisponde tramite f, il numero reale f [ϕ(t)]. In parole povere, abbiamo la funzione composta f [ϕ(t)]. Formuliamo le seguenti ipotesi: f C 0 (X) ϕ C (A), per cui hanno senso gli integrali: F () = f (), Φ(t) = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt Sussiste la seguente proposizione: Proposizione (Regola di integrazione per sostituzione) F [ϕ(t)] = Φ(t), t A Dimostrazione. Applicando la nota regola di derivazione delle funzioni composte: d df F [ϕ(t)] = dt dt = f ()ϕ (t), cioè d dt F [ϕ(t)] = f [ϕ(t)]ϕ (t) Derivando la funzione Φ(t): d dt Φ(t) = f [ϕ(t)]ϕ (t), onde l asserto. Nello svolgimento pratico degli esercizi si scrive: [ ] f () = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt, () =ϕ(t) per poi ripristinare la variabile nell espressione finale dell integrale. Osserviamo che la () è intuitivamente ovvia, poich+ se si esegue la sostituzione = ϕ(t) nell argomento della funzione integranda f, occorre poi sostituire il differenziale con ϕ (t)dt, conformemente all espressione del differenziale primo della funzione ϕ(t): = ϕ (t)dt Di seguito la tavola degli integrali fondamentali.

3 ESERCIZI λ = λ+ λ+, (λ ) = ln a = a, (a > 0) lna e = e sin = cos cos = sin = tan cos = cot sin = arcsin = arccos + = arctan = arccot sinh = cosh cosh = sinh = tanh cosh = coth sinh = ln( + + ) =arcsinh + { arccosh, (,+ ) = ln +, / (,) = { arctanh, (,), / (,) ln + Esercizi Esercizio Calcolare: 5a 6, (a R) (4). Il termine 5a è un fattore costante, per cui: 5a 6 = 5a 7 7 : Esercizio Calcolare: 5 7 a 7 (6 +8+ ), (5) 6 s+8 + = +4 + Esercizio 4 Calcolare: (+a)(+b), (a,b R) (6) Sviluppiamo la funzione integranda: (+a)(+b) = +(a+b) +ab,

4 ESERCIZI per cui [ +(a+b) +ab ] = +(a+b) +ab = (a+b) + ab Esercizio 5 Calcolare: (a+b ), (a,b R) (7) Sviluppando la funzione integranda: (a +ab +b 6) = a +ab +b 6 = a + ab4 + 7 b 7 Esercizio 6 Calcolare: p, (p > 0) (8) p = p / / = p + + : Esercizio 7 Calcolare: p n (9) da cui n n = n n /n = n + + n = n n n, n n n n n = n n n

5 ESERCIZI Esercizio 8 Calcolare: (n) n n (0) n n n = n n n n n n = n n n n + n n + n /n = n + n n /n = n /n /n, cioè Esercizio 9 Calcolare: (n) /n = n n (a / /), (a R) () Sviluppando l integrando (a a 4/ / +a / 4/ ) = a a 4/ / +a / 4/ = a a 4/ 5 5/ +a / 7/ 7/ = a 9 5 a4/ 5/ a/ 7/ Esercizio 0 Calcolare: ( + )( ) + () Svilppando l integrando ( / + ) = = 5 5/ + / Esercizio Calcolare: ( +)( ), (a,b R) () 4

6 ESERCIZI Sviluppando l integrando ( 0/ 4/ /) 0/ 4/ / Si ottiene Esercizio Calcolare: = ( 4 ) 7 6 ( m n ) (4) Sviluppando l integrando m m+n + n / ( m m+n + n = = m m+n + ) n Ne concludiamo = m+ m+ ( m = m+n+ m+ m+n+ m+n m+n+ + n+ n+ + n n+ ) ( ) m 4m+ 4 m+n m+n+ + n, 4n+ formula valida per m 4, n 4, m+n. Esercizio Calcolare: ( a ) 4 a, (a > 0) (5) 5

7 ESERCIZI Svilppando l integrando (a) /( a 4a a+6a 4 a+ ) [ = a (a) / 4a+6(a) / 4+ (a) /] (a = / / 4a+6a / / 4+a / /) = a / / 4a +6a / / 4 +a / / = a // 4a+6a // +a /5/ 5 = a / / 4a+4a / / + 5 a / 5/ a a 4a+4 a + 5 a Esercizio 4 Calcolare: Scriviamo: 7 7+ (6) ( + 7 ) Ponendo t = 7 si ha = 7dt, per cui: 7 I(t) = 7 dt +t = arctant 7 Ripristinando la variabile : 7 arctan 7 Osserviamo che per procedere più spediti, non è necessario eseguire materialmente il cambio di variabile t. Infatti, scriviamo: ( ) 7 d 7 7 ( ) 7 = 7 arctan Esercizio 5 Calcolare: (7) = + + = 6

8 ESERCIZI Esercizio 6 Calcolare: (8) / = + + = 4 4/ 4 Esercizio 7 Calcolare: (9) Esercizio 8 Calcolare: / = + + = / (a +b+c ) (0) a +b +c = a + b +c Esercizio 9 Calcolare: ( ) () }{{} = / = 5 / = ( 5 ) = ( ) 5 7

9 ESERCIZI Esercizio 0 Calcolare: (+4) () ( ) = = ++6 Esercizio Calcolare: da cui Esercizio Calcolare: a +b+c () (a+ b + c ) = a +b +c a+bln c, (+5 4 ) (4) = Esercizio Calcolare: (+) (5) ++ ( ) = + + = = = ( ) + 8

10 ESERCIZI Esercizio 4 Calcolare: + (6) ( ) d + + = ln + Esercizio 5 Calcolare:, a,b R {0} (7) a+b Esercizio 6 Calcolare: a d(a+b) a+b = ln a+b e (8) e d( ) = e Esercizio 7 Calcolare: I λ () = e λ,, λ R {0} (9) I λ () = λ e λ d(λ) = e λ Esercizio 8 Calcolare: I λ () = a λ (0) I λ () = λ a λ d(λ) = aλ λlna Esercizio 9 Calcolare: sin () sin ( ) d = cos Esercizio 0 Calcolare: cos 4 () 9

11 ESERCIZI SUPPLEMENTARI 4 cos4d(4) = 4 sin4 Esercizio Calcolare: 4 () = 4 ( ) = 4 ( d ( ) ( ) = arcsin ) Esercizio Calcolare: 9+ (4) 9 ( ) = ( ) = d ( ) + ( ) = arctan Esercizio Calcolare: 4 +9 (5) = 9 6 = 6 arctan ( ) d ( ) + ( ) Esercizi supplementari Esercizio 4 Calcolare: ( ) (6) =

12 ESERCIZI SUPPLEMENTARI Esercizio 5 Calcolare: ( 5 4 ) (7) 5 4 = 5 Esercizio 6 Calcolare: ( + ) (8) / + / = = Esercizio 7 Calcolare: I λ () = (λ+) 5, (λ R) (9) Esercizio 8 Calcolare: I λ () = (λ+) 5 d(λ+) = 6 (λ+)6 ( ) (40) ( 4 + ) = 4 + = Esercizio 9 Calcolare: ( ) / (4) ( ) / d( ) = 5 ( )5/

13 ESERCIZI SUPPLEMENTARI Esercizio 40 Calcolare: Esercizio 4 Calcolare: Esercizio 4 Calcolare: ( ) + (4) + = = ln + = + + = (4) ( ) n, n N {0} (44) I n () = ( ) n d( ) Per n = Conclusione: = ( ) n+ n+ = n ( ) (n ) I n () = n, n (n )( ) d( ) I () = = = ln I n () = { (n )( ) n, n ln, n = Esercizio 4 Calcolare: + (45) (+) / d(+) = +

14 ESERCIZI SUPPLEMENTARI Esercizio 44 Calcolare: (46) ( ) / d( ) = ( ) / = ( ) 9 o, ciò che è lo stesso Esercizio 45 Calcolare: 9 ( ) (47) ( ) / d( ) = ( ) / = ( ) 9 Esercizio 46 Calcolare: 5 4 (48) 5 /4 = Esercizio 47 Calcolare: = 5 / (49) Dalla tavola degli integrali fondamentali { arccosh, (,+ ) ln +, / (,)

15 ESERCIZI SUPPLEMENTARI Esercizio 48 Calcolare: (a+b) /n, a,b R {0}, n N {0} (50) d(a+b) b = b (a+b) /n (a+b) /n d(a+b) = (a+b) n + b + n = b (a+b) n n n n n (n )b(a+b) n Tale formula è valida per n. Nel caso n = d(a+b) b a+b = b ln a+b Esercizio 49 Calcolare: Anzichè sviluppare il quadrato, osserviamo che (+ ) (5) = d ( + ), per cui: (+ ) d ( ) + = ( + ) Esercizio 50 Calcolare: ( 5) (5) ( ) 5 = 5 / = / 5 5/ 5 = ( ) ( ) 4

16 ESERCIZI SUPPLEMENTARI Esercizio 5 Calcolare: (+)( ) (5) ( = / / /) = / / / = 5 5/ / 4 / = 5 4 5