1 Derivata di una funzione reale di variabile reale (versione

Transcript

1 Derivata di una funzione reale di variabile reale (versione 0.). Definizione di derivata Sia f () una funzione reale di variabile reale definita in X R. Senza perdita di generalità, supponiamo che X sia un intervallo. Assegnato 0 X: f () f ( 0 ) () La () è una funzione di (, 0 ) e si chiama incremento della funzione f () relativo al punto 0. Si consideri ora il rapporto: f () f ( 0 ) () 0 La grandezza () è una funzione di definita in X { 0 } ed è nota come rapporto incrementale di f () relativo al punto 0 e all incremento 0 della variabile indipendente. Il punto 0 è manifestamente punto di accumulazione per l insieme di definizione della funzione () per cui ci proponiamo il calcolo del limite: f () f ( 0 ) lim () 0 0 Se la funzione è continua in 0 il limite () si presenta nella forma indeterminata: f () f ( 0 ) 0 lim =, (4) Possono presentarsi tre casi distinti relativamente al comportamento del rapporto incrementale (). Precisamente, tale rapporto può essere:. convergente;. divergente;. non regolare. Nel primo caso diremo che la funzione f () è derivabile nel punto 0, e il limite () si chiama derivata della funzione f () nel punto 0 e si indica con uno dei seguenti simboli: f ( 0 ), Df (), donde scriviamo: = 0 f () f ( 0 ) lim = f ( 0 ) (5) 0 0 Nel caso diremo che la funzione f () ha derivata infinita in 0. Più precisamente, se il rapporto incrementale diverge positivamente: Se invece diverge negativamente: f ( 0 ) = + (6) f ( 0 ) = (7)

2 Esempio Determinare la derivata di f () = nel punto 0 =. Soluzione Abbiamo: f 4 () = lim = lim ( + ) = 4 (8) *** Sussiste la seguente Proposizione (f () è derivabile in 0 ) = (f () è continua in 0 ) f() f( 0 ) Dimostrazione. lim [f () f ( 0 )] = lim ( 0 ) = f 0 = 0 0 ( 0 ) 0 0 f ( 0 ) <+ Si osservi che tale proposizione non è invertibile, cioè: (f () è continua in 0 ) (f () è derivabile in 0 ) (9) In altri termini, la continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. Per contro, la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità. La (9) può essere provata attraverso degli esempi di funzioni continue in un punto ma non ivi derivabili. Esempio 4 La funzione: f () =, è continua in 0 = 0, ma non è ivi derivabile. Determiniamo il rapporto incrementale: f () f ( 0 ) 0 Tale rapporto è non regolare in 0 : = lim = +, lim =, (0) donde la funzione non è derivabile in 0. Osservazione 5 (f () ha derivata infinita in 0 ) (f () è continua in 0 ) () Esempio 6 Si consideri la funzione segno di :, = 0 f () = sign = () 0, = 0 La () non è continua in 0 = 0. Determiniamo in tale punto il rapporto incrementale: f () f ( 0 ) = + = f ( 0 ) = Si conclude che la funzione sign ha derivata infinita in 0 = 0 e non è ivi continua.

3 *** Se eseguiamo il cambio di variabile: ξ = 0, () il rapporto incrementale () si scrive: La derivata: f ( 0 + ξ) f (ξ) ξ (4) f f ( 0 + ξ) f (ξ) ( 0 ) = lim (5) ξ 0 ξ ξ = 0 è l incremento della variabile indipendente che spesso viene indicato con: Δ (6) La notazione simbolica (6) si generalizza a qualsiasi grandezza, poiché Δ denota una differenza. Ad esempio, nel caso della funzione f (), scriviamo: Nella (7) 0 è una variabile muta, per cui: f ( 0 + Δ) f ( 0 ) = Δf (7) Il rapporto incrementale La derivata: f ( + Δ) f () = Δf Δf Δ (8) f Δf () = lim (9) Δ 0Δ Se la funzione f () è derivabile per ogni X X, risulta definita in X una nuova ` funzione f () che chiameremo derivata prima della funzione f (). E spesso utilizzato il simbolo: Scriviamo: Df () (0) Df () = f () () La () definisce l operatore di derivazione D. Si tratta di un operatore lineare che applicato ad una qualunque funzione derivabile ci fa passare alla sua derivata. L operatore Affronteremo in un prossima sezione il significato di tale locuzione.

4 D agisce anche sulla derivata di f (), dando origine alla derivata della derivata, denominata derivata seconda della funzione f () e si indica con uno dei simboli: f (), D f () () Con tale definizione, la derivata f () è nota come derivata prima della funzione f (). Il secondo dei simboli () si giustifica osservando che la derivata seconda è il risultato dell applicazione dell operatore D sulla derivata prima: Df () = D (Df ()) = D (f ()) () Il processo di applicazione dell operatore di derivazione può essere iterato, per cui definiamo la derivata di ordine n della funzione f () il risultato dell applicazione dell operatore D n sulla funzione f (): f (n) () = D (D...D (f ())) (4) n volte = D n f () *** Abbiamo visto che il rapporto incrementale relativo alla funzione f () = nel punto 0 = 0 è non regolare. Più precisamente, è regolare a sinistra e a destra [eq. (0)]. In casi come questi, si dice che la funzione è derivabile a sinistra e a destra: f () f ( 0 ) f () f ( 0 ) lim = f ( 0 ), lim = f + ( 0 ) (5) f ( 0 ), f ( 0 ) si chiamano derivata sinistra e derivata destra della funzione f () + nel punto 0.. Interpretazione geometrica della derivata Sia f () una funzione definita nell intervallo [a, b]. Supponiamo che la funzione sia ivi continua. Assegnato il riferimento monometrico ortogonale R (O), indichiamo con Γ il diagramma cartesiano della funzione. Preso ad arbitrio [a, b] { 0 }, consideriamo i punti P 0 ( 0, f ( 0 )), P (, f ()) Γ (vedere fig. ). Ciò premesso, sia s la retta passante per i punti P 0, P, orientata nel verso delle ascisse crescenti. Chiamiamo s retta secante al diagramma per i punti P 0, P. La sua equazione è: Qui m è il coefficiente angolare di s. Dalla Geometria: = f ( 0 ) + m ( 0 ) (6) Da un punto di vista formale la funzione f () è la derivata di ordine zero. 4

5 f f P,f s t f 0 P 0 0,f 0 0 Q Figura : Diagramma cartesiano della funzione f (). Senza perdita di generalità abbiamo considerato > 0, f () > f ( 0 ). m = tanθ (), (7) essendo θ () al misura in radianti dell angolo che la retta s forma con l asse ; θ () è una funzione definita in [a, b] { 0 }; inoltre: Dalla figura : Cioè: π θ () < (8) QP f () f ( 0 ) tan θ () = = (9) QP 0 0 f () f (0 ) θ () = arctan (0) 0 Per quanto detto, la funzione θ () è definita in [a, b] { 0 }, e supponendo che sia regolare in 0, poniamo: Per la (8): lim θ () = θ 0 () 0 π θ 0 () Dalla definizione di θ () segue che il limite θ 0 individua una particolare retta t (fig. ). Poniamo: Δθ = θ () θ 0 () 5

6 La () è l incremento della funzione θ () relativo all incremento 0 della variabile indipendente. Da un punto di vista geometrico Δθ è la misura in radianti dell angolo tra le rette t, s. Se il punto P tende a P 0, segue che tende a 0, la retta s ruota attorno a P 0 per sovrapporsi alla retta t. Pertanto: Definizione 7 La retta t è la posizione limite della retta secante s alla curva Γ al tendere di P e P 0. Quindi t è la retta tangente a Γ nel punto P 0. Dalle equazioni (0)-(): f () f ( 0 ) θ 0 = arctan lim (4) 0 0 Consideriamo il caso particolare in cui la retta t non è parallela all asse ( θ 0 < π/). Abbiamo: π f () f ( 0 ) θ 0 < lim < +, 0 0 In altri termini, la retta tangente a Γ nel punto P 0 ( 0, f ( 0 )) esiste e non si dispone parallelamente all asse, se e solo se la funzione è derivabile in 0. In simboli: Inoltre: π θ 0 < f ( 0 ) < + (5) θ 0 = arctan f ( 0 ) f ( 0 ) = tanθ 0 (6) Conclusione 8 La derivata della funzione f () nel punto 0 è il coefficiente angolare m 0 della retta tangente alla curva Γ) = f (). L equazione della suddetta retta tangente è: = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) (7) *** Nel caso speciale in cui f ( 0 ) = 0, la retta tangente è parallela all asse (figura 7). A titolo di esempio consideriamo la funzione f () =. Poniamo 0 =, = 4, per cui: Troviamo per tale coppia di punti: P 0 ( 0 =, f ( 0 ) = 8) P ( = 4, f () = 64) La retta secante ha equazione: Δf = 56; Δ = s ) =

7 P 40 0 P 0 f Figura : Figura : 7

8 Figura 4: Figura 5: 8

9 Se immaginiamo di diminuire l incremento Δ della variabile indipendente, la retta secante s ruota intorno al punto P 0 come risulta dalle figure,, 4, 5. Nella tabella seguente sono riportati i valori numerici del rapporto incrementale Δf al diminuire dell incremento Δ della variabile indipendente. Δ Δf Osservazione 9 La definizione di retta tangente conseguente dalla definizione di derivata è più rigorosa di quella offerta dal senso comune, secondo cui una retta tangente interseca una curva in un sol punto. Come controesempio per quest ultima definizione, si consideri la funzione f () = sin. La retta di equazione = è tangente alla curva = sin. Orbene, tale retta interseca in infiniti punti il grafico di sin (fig. 6) Figura 6: Grafico di f () = sin e della retta =, quale retta tangente a = f () nei π punti P k k = + kπ, con k Z. *** Se invece la funzione ha in 0 derivata infinita, la retta tangente è verticale, orientata verso l alto [f ( 0 ) = + ] o verso il basso [f ( 0 ) = ] (figg. 8-9). La sua equazione è = 0. 9

10 f 0 f P 0 0,f 0 t P,f s 0 Figura 7: Diagramma cartesiano di una funzione con derivata nulla nel punto 0. f 0 0 Figura 8: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = + f 0 0 Figura 9: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = 0

11 appunti gratis ingegneria: Infatti: f f π ( 0 ) = + = θ 0 = + π ( 0 ) = = θ 0 = In entrambi i casi, la retta tangente attraversa il diagramma della funzione. P 0 ( 0, f ( 0 )) è un punto di flesso a tangente verticale. Il punto *** In entrambi i casi: f ( 0 ) < +, f ( 0 ) = +, il diagramma cartesiano della funzione f () è comunque dotato di retta tangente nel punto P 0 ( 0, f ( 0 )). Esaminiamo ora i casi in cui esso ne è privo. Ad esempio, supponiamo che: f ( 0 ) = f + ( 0 ) con f ± ( 0 ) < + In altri termini, la funzione non è derivabile in 0, ma è derivabile a sinistra e a destra. Preso ad arbitrio P (, f ()), è facile rendersi conto che se P tende a P 0, la corrispondente + retta secante s tende a due rette distinte: t se 0, t + se 0. Da ciò segue che il diagramma cartesiano è: essendo: Γ = Γ Γ, (8) Γ ) = f (), < 0 Γ ) = f (), > 0 Gli archi di curva Γ e Γ si raccordano nel punto P 0 in forza della continuità della funzione f () (fig: 0) Per quanto visto, non esiste la retta tangente a Γ nel punto P 0. Peraltro, è possibile definire la semiretta tangente sinistra t e la semiretta tangente destra t +. Inoltre, t e t + si intersecano sotto un angolo la cui tangente trigonometrica è in valore assoluto f ( 0 ) f ( 0 ) + > 0. Tale circostanza suggerisce di denominare P 0, punto angoloso del luogo geometrico Γ. Esempio 0 Provare che il grafico della funzione ha un punto angoloso in P 0 (, 0) f () = ln (9) Soluzione Esplicitiamo il valore assoluto: ln, (, + ) f () = ln, (0, ] (40)

12 f 0 P 0 0,f 0 0 Figura 0: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = f ± ( 0 ) < +, 0 < f ( 0 ) < f + ( 0 ) f + ( 0 ). Precisamente: Le derivate: f f + ln 0 H () = lim = = lim = ln 0 H () = lim = = lim = 0 Abbiamo una semiretta tangente a destra di equazione: = e a sinistra: Il grafico è riportato in figura = + Esempio Si consideri la funzione f () = +, = 0 (4) + ep (/) f () =, = 0 Provare che P 0 (0, ) è un punto angoloso della curva Γ) = f (). Soluzione Iniziamo col verificare la continutà della funzione (4) nel punto 0 = 0. Abbiamo: 0 + lim f () = + = = (+ ) 0 lim f () = + = + 0 =, 0 + ( )

13 Figura : Diagramma cartesiano di f () = ln donde: La derivata sinistra in 0 : lim f () = f (0) = ( f () è continua in 0 = 0) 0 f () f (0) f (0) = lim = lim = = ep (/) + ( ) f () f (0) f + (0) = lim = lim = = = 0 +, ep (/) + (+ ) + donde l asserto. Scriviamo le equazioni delle due rette tangenti. Il grafico è in figura = = + semiretta tangente a destra semiretta tangente a sinistra Esercizio 4 Studiare la derivabilità della funzione: f () = [] + [], [0, + ) (4)

14 Figura : Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (4) Esempio 5 Esercizio 6 Per la proprietà di [], abbiamo: (0, ) = f () = (, ) = f () = + + (, ) = f () = (n, n + ) = f () = n + + n... da cui il grafico Γ della funzione: n Γ = lim Γ k, n + k= essendo Γ k la curva di equazione = k + k e di estremi P k (k, k), Q k (k +, k + ) (vedere figura ). La funzione è manifestamente continua, ci aspettiamo una discontinuità della derivata nei 4

15 Figura : Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (4) punti di ascissa intera. Infatti, iniziamo col determinare la derivata sinistra: f f () f (n) (n) = lim (4) n n n + (n ) n = lim n n ( n) + 0 = lim = n n 0 ( n) + ( n) + + = lim n n ( n) + + = lim = n ( n) + + La derivata destra: f () f (n) f + (n) = lim (44) n + n n + n n = lim n + n = lim = + n + n Quindi la semitangente a sinistra nei punti P n (n, n), è: = n + ( n), mentre la semitangente a destra nei medesimi punti ha equazione: = n Per i particolari grafici vedere le figure (4)-(5) 5

16 Figura 4: Diagramma cartesiano della funzione f () = [] + [] nell intervallo [5, 7] Figura 5: Diagramma cartesiano della funzione f () = [] + []. La funzione è ovunque continua, mentre la derivata prima è discontinua nei punti di ascissa intera. 6

17 Figura 6: Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (45) Esercizio 7 Studiare la derivabilità della funzione: f () = [] [], [0, + ) (45) Soluzione 8 Grafichiamo la funzione. A tale scopo si osservi che (0, ) = f () = (, ) = f () = (, ) = f () =... (n, n + ) = f () = n n..., donde il grafico di f () è: n Γ = lim Γ k, n + k= essendo Γ k la curva di equazione = k k di estremi P k (k, k), Q k (k +, k ) (vedere figura 6). Da ciò vediamo che la funzione ha una discontinuità di prima specie in n = n. Per dimostrare scriviamo l espressione analitica della f () a destra e a sinistra per ogni n: f () = n (n ), (n, n) f () = n n, (n, n + ) Quindi: f n = lim f () = lim n (n ) = n n + n f n = lim f () = lim n n = n, n + n 7

18 Figura 7: Diagramma cartesiano di f () = [] [] nell intervallo [5, 7]. perciò n = n è un punto di discontinuità di prima specie; il salto di discontinuità è s (n) = +. La funzione non è derivabile in n = n, in quanto non è possibile determinare il valore assunto in tali punti, possiamo però determinare la derivata a destra e a sinistra rispettivamente. n (n ) (n ) f (n) = lim (46) n n (n ) + (n ) = lim n n + (n ) = lim = ; n + (n ) n n n f + (n) = lim = lim = n + n n + n Dalle (46) vediamo che in ogni punto n la derivata sinistra è /, la derivata destra è. Per l interpretazione geometrica vedere la figura 7. I due casi precedenti si specializzano quando entrambe le derivate sono infinite e di segno opposto. Il grafico della funzione si decompone ancora attraverso la (8) e l angolo tra le due semirette tangenti è in valore assoluto pari a π. Il punto P 0 è chiamato cuspide della curva Γ. *** Se il rapporto incrementale non è regolare a sinistra o a destra (o entrambi), significa che intorno a 0 compie infinite oscillazioni che non si smorzano. Esempio 9 Sia: sin, = 0 f () = (47) 0, = 0 8

19 f 0 0 Figura 8: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = +. f + ( 0 ) =. f 0 0 Figura 9: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) =. f + ( 0 ) = +. 9

20 Il rapporto incrementale della (47) relativo al punto 0 = 0, è: f () f ( 0 ) = sin 0 Come è noto, la funzione sin ( ) non è regolare in 0 = 0. Quindi il grafico della funzione (47) è privo di retta tangente nell origine. Esercizio 0 Provare che il grafico della funzione: f () = arctan, = 0 (48) f () = 0, = 0 ha un punto angolo nell origine. Scrivere quindi le equazioni delle due semirette tangenti. Soluzione Iniziamo col verificare la continuità di f () in 0 = 0. Risulta: π lim f () = lim 0 = π lim f () = lim 0 = 0, 0 0 donde la continuità in 0. Possiamo quindi determinare le derivate: f () f (0) π f + (0) = lim = lim arctan = f () f (0) π f (0) = lim = lim arctan =, donde l asserto. Le equazioni richieste sono: π =, semiretta tangente a destra π =, semiretta tangente a sinistra Il grafico è in figura 0. Differenziale Sia f () una funzione definita nell intervallo (a, b). Se la funzione è derivabile in 0 (a, b): Nella (49) è: f Δf ( 0 ) = lim (49) Δ 0Δ Δf = f ( 0 + Δ) f ( 0 ), (50) che per un assegnato 0 è una funzione di Δ. In tal modo Δf (Δ) è un infinitesimo nel limite Δ 0. Precisamente: un infinitesimo di ordine superiore a Δ, se f ( 0 ) = 0, dello 0

21 Figura 0: Diagramma cartesiano della funzione data dall equazione (48) stesso ordine, se f ( 0 ) = 0. Inoltre, dalla teoria degli infinitesimi sappiamo che la funzione lineare di Δ: è la parte principale dell infinitesimo Δf. La differenza: p (Δ) = f ( 0 )Δ, (5) f (Δ) = Δf f ( 0 ) Δ, (5) è un infinitesimo di ordine superiore a Δ. Quindi l incremento della funzione f () si decompone: Δf = f ( 0 ) Δ + f (Δ) (5) p.p infinit. sup. Definizione La parte principale p (Δ) dell infinitesimo Δf, è il differenziale della funzione f () nel punto 0 e si indica con df: L arbitrarietà del punto 0 implica: def df = f ( 0 ) Δ Δf = f ( + Δ) f () (54) df = f () Δ

22 Osservazione Se f () =, la seconda delle (54) si scrive: d = Δ In altri termini, il differenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento. Quindi la seconda delle (54) diventa per qualunque funzione f () derivabile: Utilizzando la notazione di Landau, la (5) si scrive: df = f () d (55) Per quanto detto: Applicando la definizione di limite: Δf = df + o (d) (56) o (Δ) lim = 0 Δ 0 Δ ε > 0, δ ε > 0 : 0 < Δ < δ ε = o (Δ) < ε Δ In altri termini, intorno al punto Δ = 0 è definitivamente o (Δ) < ε Δ, per ogni ε > 0. Tale circostanza ci permette di trascurare nella (56) il termine di ordine superiore o (Δ) in un intorno sufficientemente piccolo di Δ = 0. Abbiamo perciò l uguaglianza approssimata: Δf = df, (57) valida per Δ < δ ε. Nel limite di validità della (57), l incremento Δf della funzione f () risulta essere una funzione lineare dell incremento Δ della variabile indipendente. Tale approssimazione è perciò nota come linearizzazione della funzione f () ed ha un interpretazione geometrica immediata. Indichiamo (figura.) con M un generico punto della retta tangente nelle immediate vicinanze del punto P (, f ()). Il differenziale df si indentifica con M f () quando l ascissa di M assume il valore + Δ..4 Regole di derivazione Sia f () una funzione derivabile in X R. Dalla (55): df f () = (58) d Tale equazione esprime la derivata prima utilizzando la cosiddetta notazione differenziale. Tenendo poi conto che = f (), si scrive: Alternativamente: f d () = (59) d Se g () è un infinitesimo di ordine superiore a h (), si scrive: g = o(h). Se invece è dello stesso ordine: g = O (h).

23 f M t P f d f () = f () (60) d La (60) definisce l operatore di derivazione, già introdotto in una sezione precedente: Abbiamo: d D = (6) d Df () = f () (6) D è un operatore, quindi il significato della (6) è: il risultato dell applicazione dell operatore D è la funzione f (). Nell ipotesi in cui la derivata f () sia a sua volta una funzione derivabile in X (senza perdita di generalità), è possibile definire la derivata di f () ovvero la derivata seconda di f (): D (f ()) = f () (6) Tenendo conto delle equazioni ()-(4), è possibile definire l operazione di derivazione n- esima: D n f () = f (n) () (64) Evidentemente: d n D n = (65) d n Definizione 4 La funzione f () è indefinitamente derivabile in X se n N, f (n) (). ***

24 L operatore (6) è lineare: Se f () e g () sono due funzioni derivabili in X: D (f () + g ()) = Df () + Dg () (66) Per ogni λ R: D (λf ()) = λd (f ()) (67) Applicando la definizione di derivata, si dimostrano le seguenti regole di derivazione: Derivata del prodotto 4. Derivata del rapporto. Derivata della reciproca. Ponendo f () = nella (69): *** D (f () g ()) = f () g () + f () g () (68) f () f () g () f () g () D = (69) g () [g ()] g () D = g () [g ()], o ciò che è lo stesso: f () D = (70) f () [f ()] Derivata della funzione composta. Se = (t), allora f ( (t)). Applicando la definizione di derivata, è facile convincersi che: d df () d f ( (t)) = (7) dt d dt *** Applicando la definizione di derivata è possibile determinare le derivate delle principali funzioni lineari. Riportiamo di seguito tali derivate: 4 In tal senso la (66) esprime la regola di derivazione della somma due funzioni, immediatamente generalizzabile a n funzioni. 4

25 d n n d = n e = e d d d d =, ( > 0) ln =, ( > 0) d d d d log a e d d lna d d cos = sin sinh = cosh d d d d tan = cosh = sinh d cos d d d cot = tanh = d sin d cosh d d arcsin =, ( < ) coth = d d sinh d d arccos =, ( < ) Arcsinh = d d + d d d + d d d d + d sin = cos log a = =, ( > 0, a > 0) arctan = Arccosh =, ( > ) arccot = Arctanh =, ( < ) d a = a d ln Arccoth =, ( > ) d d.5 Esercizi proposti.5. Introduzione. Determinare la velocità media di variazione della funzione f () = 4 nell intervallo [a, b]. Si consideri a =, b = 4.. L equazione oraria del moto di una particella è s (t) = t + t + 5, essendo t il tempo espresso in secondi, e s l ascissa curvilinea espressa in centimetri. Determinare la velocità media nell intervallo di tempo [t, t ] con t = s, t = 5 s.. Determinare in = il rapporto incrementale della funzione f () =. Graficare il rapporto così ottenuto su carta millimetrata. 4. Sia T (t) la temperatura istantanea di un corpo in un ambiente a temperatura più in bassa. Dare la definizione di: ) velocità media di raffredamento; ) velocità istantanea di raffredamento. 5. Si modellizzi una barra non omogenea attraverso un segmento di lunghezza L. Introducendo un riferimento cartesiano della retta contenente tale segmento, risulta che la massa della barra è una funzione m () con [0, L]. Determinare: ) l espressione della densità lineare media nell intervallo [, + Δ]; ) l espressione della densità lineare in [0, L]. 6. Assegnata la funzione f () = ( ) ( ) e i punti = 0, =, =, determinare (applicando le regole di derivazione) f ( ),f ( ), f ( ). 7. Sia f () =. Come è noto, tale funzione è definita in R. Determinare in punti R : f () = f (). 8. Una particella si muove con equazione oraria s (t) = e t, essendo t il tempo espresso in s, e s l ascissa curvilinea espressa in cm. Determinare: a) la velocità della particella a t = s; b) l ascissa s (t) dopo un tempo infinitamente lungo. 9. Scrivere l equazione della retta tangente alla curva = sin nel punto (π, 0). 5

26 0. Assegnate le due funzioni: f () =, f () = scrivere le equazioni delle rette tangenti alle curve Γ ) = f (), Γ ) = f () nel punto P 0 = Γ Γ. Determinare poi la misura in gradi dell angolo tra le suddette tangenti..5. Differenziale. Assegnata la funzione: f () = Determinare il differenziale di f nonché l incremento Δf per =, Δ = 0.. Indicando con la misura del lato di un quadrato, la sua superficie sarà data da: S () = Determinare il differenziale e l incremento della funzione S () dandone un interpretazione geometrica, determinando poi gli eventuali valori di per i quali nel limite per Δ 0, l incremento ΔS non è equivalente al differenziale ds.. Si dimostri che nel limite per Δ 0: Δ + Δ + (7) Δ + Δ + 4. Un resistore R è attraversato da una corrente di intensità I. Determinare approssimativamente la variazione dell intensità di corrente causata da fluttuazioni di R..5. Derivazione di funzioni algebriche. f () = a + b + c. f () = f () = 5 a 4. f (t) = at m + bt m+n 5. s (t) = (t ) 4 6. f () = f () = f () =

27 9. f () = ( 5) 6 0. f () = ( + ) 4. f () = ( + 4 ) /. f (). f () appunti gratis ingegneria: 4. f () = / + 6 / / 5. f () 6. f () / / 7. f () = / + 8. f () = 9. f () 0. f (). f (). f () = b a. f () 4. f () = 5. f () = + 8. f () = ( + 4)( ) 9. f () 0. f (). f (). f () =. f () 4. f () = + + = π + ln 6 4 = + / / / /4 5/ = / + = p n m = = n m 5 = p n m f () = + 7. f () = = + = a+b a +b = a +b = a +b 5 = + 7

28 f 0 P 0 n T S S S N 5. f () = 6. f () = 7. f () = ( ) + 8. f () = + 9. f () = f () = + 4. f () = ( + ) 4 ( 5) + 4. f () = 4 4. f () = + Figura : Diagramma cartesiano della funzione f ()..5.. Applicazioni geometriche.5... Definizioni Sia f () una funzione definita nell intervallo [a, b]. Supponiamo che la funzione sia ivi derivabile. Assegnato il riferimento monometrico ortogonale R (0), indichiamo con Γ il diagramma cartesiano della funzione. Preso ad arbitrio 0 [a, b], consideriamo il punto P 0 ( 0, f ( 0 )) Γ. Quindi tracciamo la retta tangente e la retta normale a Γ in P 0 (vedere fig. ). Le equazioni delle suddette rette sono: Ciò premesso, abbiamo la seguente = f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) (7) = f ( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) 8

29 Definizione 5 S t = TS = lunghezza della sottotangente S n = SN = lunghezza della sottonormale n = P 0 N = lunghezza della normale. Risulta: P 0 S = f ( 0 ) P 0 S TS = f ( 0 ), donde le lunghezze sopra definite si esprimono in funzione di f ( 0 ) e di f ( 0 ): f ( 0 ) S t = f ( 0 ) S n = f ( 0 ) f ( 0 ) n = f ( 0 ) + f ( 0 ) (74) ***. Assegnata l equazione: + = 7, (75) esplicitare la variabile, ottenendo l espressione analitica di due funzioni f (), f (). Determinare le coordinate dei punti in cui la retta tangente è: a) parallela all asse ; b) parallella all asse.. Assegnata la curva Γ di equazione = f () con: f () = + 4, scrivere le equazioni della retta tangente e della retta normale a Γ in P 0 ( 0 =, 0 = 4). Assegnata la curva di equazione: + + = 5, (76) a) determinare i punti P nei quali la retta tangente è parallela all asse ; b) scrivere le equazioni della retta tangente e della retta normale in P 0 ( 0 =, 0 = ). 4. Si consideri l ellisse Γ di equazione: = 40 (77) Scrivere le equazioni delle tangenti a Γ con coefficiente angolare m 0 = /9. 9

30 5. Scrivere l equazione della retta tangente tracciata dal punto P ( =, = ) all iperbole Γ di equazione: = 6 (78) 6. Assegnate le curve Γ ) = f () e Γ ) = f () con: f () = f () = (79) +, scrivere le equazioni delle rette parallele all asse passanti per i punti di Γ k tali che le rispettive tangenti sono parallele. 7. Assegnata la parabola: = p, (80) dimostrare che l equazione della generica retta tangente è p = m +, per m = 0 m 8. Assegnata la curva = f () con: 5 f () =, (8) determinara la lunghezza della sottotangente, della sottonormale e della normale in P 0 ( 0, f ( 0 )) essendo 0 =. 9. Determinare l angolo acuto sotto cui si intersecano le due curve: Γ ) = 4 Γ ) = 5 0. Assegnate le curve Γ k ) = f k () con k =, e: f () = + (8) f () = +, provare che esse hanno una tangente orizzantale in comune nel punto P ( = 0, = ) e che nel punto P ( =, = 0) Γ Γ le tangenti formano un angolo β = 4 arctan. 97. Si consideri la curva di equazione = Si determinino le coordinate cartesiane dei punti di tale curva in cui la retta tangente passa per l origine del riferimento cartesiano.. Assegnate le circonferenze: γ ) + determinare l angolo acuto di interesezione. 4 = 0, γ ) + = 8, (8) 0

31 f Soluzioni.5.4. Introduzione. La velocità media di variazione è il rapporto incrementale: f (b) f (a) b 4 a 4 = = b + a (b + a) b a b a Per a =, b = 4: f (b) f (a) b a (a,b)=(,4) = 85. La velocità media della particella è il rapporto incrementale della funzione s (t). Abbiamo: Δs = s (t ) s (t ) = 70 0 = 60 L incremento della variabile indipendente è Δt = t t = 4 s, donde la velocità media: Δs Δt = 5 cm s. L incremento della funzione è: Δf = +Δ = Δ Il rapporto incrementale: Δf Δ = Δ Δ Nel punto = : Δf Δ =, Δ Δ = il cui grafico è in figura.

32 4. La velocità media di raffredamento è il rapporto incrementale della funzione T (t): ΔT Δt T (t + Δt) T (t) =, Δt mentre la velocità istantanea di raffredamento è la derivata di T (t) che viene indicata con il simbolo T (t) 5. Quindi: ΔT T (t) = lim Δt 0 Δt 5. La densità lineare media è il rapporto incrementale di m () relativo all incremento Δ. Quindi, la sua espressione è: Δm Δ La densità lineare è la derivata di m (): Δm ρ () = lim (84) Δ 0 Δ Esprimendo m in g, e la lunghezza in cm, la densità (84) risulta essere espressa in g cm. Utilizzando la notazione differenziale: dm ρ () = d Quindi: dm = ρ () d (85) La (85) ha una semplice interpretazione fisica: ρ () d è la massa elementare contenuta nel segmento infinitesimo di estremi e + d. 6. Risulta: Quindi: 7. La derivata prima è: La richiesta è: f () = ( ) f (0) = 8, f () = f () = 0 f () = f () = f () =, le cui soluzioni sono: = 0 (molteplicità ) = 5 Si legge T punto. E ` utilizzato il punto al posto dell apice ogni volta che la variabile indipendente è il tempo t.

33 - Π Π Π Π - - Figura : Grafico di Γ) = sin e della retta tangente a Γ in (π, 0). 8. La velocità è: t ṡ(t) = e A t = t : La posizione della particella a t = + : ṡ = ṡ (t ) = e t s = lim s (t) = lim e t + t + Da ciò segue che la particella si muove nel verso delle ascisse decrescenti impiegando un tempo infinito a raggiungere l origine delle coordinate. 9. La derivata è f () = cos, da cui m 0 =. Quindi l equazione della tangente: Il grafico è in figura 9. + π = 0 = 0 0. Determiniamo le coordinate del punto P 0 ( 0, 0 ) = Γ Γ. Quindi è P 0 (, ).Le derivate sono: f = = () =, f () = Da cui i coefficienti angolari delle rette tangenti: m =, m =

34 Le misure in radianti degli angoli tra l asse e le singole tangenti (t, t ): π θ =, θ = arctan 4 La misura in radianti dell angolo tra t e t : π Δθ = θ θ = arctan + 4 In gradi: Δθ = Il grafico è in figura Differenziale. Risulta: Δf = f ( + Δ) f () = ( + Δ) ( + Δ) Quindi lo sviluppo di Δf nelle potenze di Δ è Δf = (6 )Δ + (Δ) donde: df = (6 )Δ Per =, Δ = 0 : df = 5 0, Δf = Il grafico è in figura. 4

35 .5 P t Figura : Grafico di f () =, con retta tangente nel punto P ( =, = f ()).. L incremento di S () è: ΔS = S ( + Δ) S () = ( + Δ), Quindi lo sviluppo di ΔS nelle potenze di Δ è ΔS = () Δ + (Δ) (86) Il differenziale: ds = Δ L interpretazione geometrica è in 4. Dalla (86) segue che per = 0, è: ΔS = (Δ) Quindi per = 0 la funzione S () non è linearizzabile.. Iniziamo con la prima delle (7), ponendo: f () =, il cui differenziale è: donde: Δ df =, Δ Δf per Δ 0 5

36 Figura 4: Il rettangolo azzurro ha lato di misura, quindi superficie S () =. Se la variabile indipendente varia da a + Δ, la superficie varia di ΔS = Δ + (Δ). La grandezza Δ è la somma delle superfici in grigio, mentre l infinitesimo di ordine superiore (Δ) è la misura della superficie del rettangolino verde. 6

37 cioè la prima delle (7). Per la seconda, poniamo: g () =, il cui differenziale è: donde: Δ dg =, Δ Δg cioè la seconda delle (7). 4. Per la legge di Ohm: essendo V la differenza di potenziale ai capi di R. Abbiamo: V I =, (87) R V dr di = dr = I, R R donde nel limite per ΔR 0: I ΔI ΔR R.5.4. Derivazione di funzioni algebriche. f () = a + b. f () = = 5 ( + 4 4). f () = 5 a 4. f () = amt m + (m + n) bt (m+n) = t m [am + b (m + n) t n ] 5. ṡ(t) = 4 (t ) t = 8t (t ) 6. f () = f () = f () = + 9. f () = 6 ( 5) 4 ( 5) = 0 ( 5) 4 0. f () = 4 ( + ) ( ) = ( )( + ). f () = ( + 4 ) / (4 ) = +4 7

38 . f () = π. f () = appunti gratis ingegneria: / 4. f () = / + / 5. f () = / + 6 / / 4 /4 ; / 4/ 7/4 f () = + 5/ + / 4/ 5/ 7/4 = f () = / 5 / 4 / / 7. f () = / / / / 8. f () = 5 / / f () = = m m p+ m p+ m p m/n np+m p n 9. f () = n ; f () = p + n = p + = n n n m 8 0. (p =, n =, m = ) = f () =. f () = = f () = m n = m n =. f () = m/n m m+n m n n n n m a + 4b m m (p+ ) np+m n = n n n p+ m. f () = p + / 4. f () = = / / 4/ / /6 5. f () = = + = f () = + = + 7. f () = f () = ( ) ( + 8 ) (+) ( ) 9. f () = (+) = (+) b(a +b ) b (a+b) 0. f () = (a +b ) = a b ab (a +b ) ( 5+5) ( 5)(+). f () = ( 5+5 ) +6 5 = ( 5+5 ) 8 / /6

39 . f () = 4 + ( ) 6a5 a +b. f () = appunti gratis ingegneria: f () = 5 = + (+) (+) 6 5. f () = 4 + = ( ) (8 5) 6. f () = + = ( 4) 4 7. f () = + + ( ) ( ) + 4+ = + 8. f () = = + 4 (+ ) ( 8) 4 4 = 4 ( 4 ) / 9. f () = 40. f () = + 4. f () = ( + ) ( 5) ( ) ( )+( +) 0 ( ) ( ) ( +) 6 ( ) 6 + ( +) ( +) + 4. f () = = 4. f () = 4 = Applicazioni geometriche. Scriviamo la (75) nella forma: che risolta rispetto a : Abbiamo perciò le due funzioni: + 7 = 0, = ± 08 f () = + 08 (88) f () = 08 9

40 Figura 5: Grafico di Γ k ) = f k (). entrambe definite in X = [ 6, 6]. Indichiamo con Γ k ) = f k () i grafici di singola funzione. Le dervate sono: f () = (89) 08 f () = + 08 La derivata f () si annulla in = +, pertanto la retta tangente a Γ è ivi parallela all asse. La derivata f () si annulla in =, pertanto la retta tangente a Γ è ivi parallela all asse Dalle (89) vediamo che per 6, f k () + ; quindi nei punti = +6, = 6 la retta tangente è parallela all asse. Il grafico è in figura.. La derivata della funzione f () è: f () = 4, che in 0 = assume il valore f ( 0 ) = 4, per cui il coefficiente angolare della retta tangente t a Γ nel punto P 0 è m 0 = 4. Il coefficiente angolare della retta normale nel medesimo punto è: m 0 = =, m 0 4 da cui le equazioni delle rette t e n: Il grafico è in figura 6. t) 4 4 = 0 n) = 0 40

41 5 4.5 f 0 P Figura 6: Grafico di Γ) = + 4 e delle rette t, n.. Esplicitando la variabile nella (76): Γ k ) = f k (), k =, essendo le derivate: Risulta: per cui: f () = + 5 ( + 4) f () = 5 ( + 4) f k 5 () = ± 5 ( + 4) R : f k () = 0, P Γ k : la tangente a Γ k in P è parallela all asse 4

42 Le equazioni richieste: t ) = n ) = t ) = ( ) 5 ( ) n ) = La (77) è equivalente a: + =, (90) a b essendo a = 0, b = 0, il semiasse maggiore e il semiasse minore, rispettivamente. Per scrivere le equazioni richieste, differenziamo rispetto a, primo e secondo membro della (90): d + d = 0, a b da cui: d 4 = d 9 Indichiamo con ( 0, 0 ) il punto di Γ in cui la retta tangente ha coefficiente angolare m 0 = /9. Deve essere: d 4 = 0 = d = Otteniamo quindi: 0 0 = 0 (9) Inoltre: 0 0 ( 0, 0 ) Γ = + = 0 = 0 (9) a b Le (9)-(9) compongono il sistema: 0 0 = 0 (9) = Le soluzioni di (9) sono: ( 0, 0 ) = (, ) (94) ( 0, 0 ) = (, ) Le equazioni delle tangenti a Γ per i punti (9) sono: 0 t ± ) = (95) 9 9 Il grafico è in figura 7. 4

43 Figura 7: Grafico di Γ) = 40 e delle rette t ±. 5. Differenziamo rispetto a primo e secondo membro della (78): d d = 0, donde: d d = Se m 0 è il coefficiente angolare della tangente t: 0 m 0 = (96) 0 essendo ( 0, 0 ) le coordinate di P 0 = t Γ. L appartenenza di tale punto a Γ implica: 0 0 = 6, (97) che a sua volta implica: = 0 (98) Osserviamo che P ( =, = ) t, donde: + = m 0 ( ) (99) D altro canto P 0 t, donde: 0 + = m 0 ( 0 ) (00) Sostituendo nella (00) il valore di m 0 dato dalla (96): ( ) = 0 (0) 4

44 0 P P -4 Figura 8: Grafico di Γ) = 6 e della retta t. Tenendo conto della (98), l ultima equazione equivale a: Le equazioni (97)-(97) compongono il sistema: che ammette l unica soluzione: 0 0 = (0) 0 0 = 6 (0) 0 0 =, ( 0, 0 ) = (5, ), da cui l equazione di t: Il grafico è in figura 8. 5 = + ( 5) (04) 6. Derivando le (79): f () = (05) f () =

45 5 f Figura 9: Grafico di Γ e Γ nell intervallo [, ] Figura 0: Grafico di Γ e Γ nell intervallo [, 4] Le ascisse dei punti P Γ k tali che le rette tangenti rispettivamente a Γ eγ risultano parallele, sono le soluzioni dell equazione: f () = f (), (06) le cui soluzioni sono: 0 =, 0 = Quindi le equazioni richieste sono: = 0, = 0 Il grafico è in Differenziamo rispetto a primo e secondo membro della (80): d = pd, 45

46 Figura : Grafico di Γ) = p. quindi: L equazione della retta tangente è: d d p = = m (07) p = + n (08) Risolvendo la (08) rispetto a n: p n = p = 4p = p =, m donde: Il grafico è in figura. p = m + m 46

47 8. La derivata di f () è: In 0 = : Sostituendo nelle (74): f () = ( ) f ( 0 ) =, f ( 0 ) = S t = = S n = ( ) = n = 0 9. Determiniamo innanzitutto le coordinate dei punti di interesezione di Γ, Γ ; occorre risolvere il sistema: = 4 = 5, le cui soluzioni sono: (, ),(4, 4) Quindi i punti di intersezione sono: P ( =, = ), P ( = 4, = 4) L angolo α sotto cui si interesecano le curve altro non è che l angolo tra le rispettive rette tangenti, donde: m m tan α =, (09) + m m essendo m k i coefficienti angolari delle tangenti. Per il calcolo di m k, poniamo: f () =, f () =, g () = 5 5 (0) Da ciò segue: f ( ) = = m 4 g ( ) = = m, 5 che sostituiti nella (09): tanα = 9 = α

48 P Figura : Intersezione in P ( =, = ). Nel punto P : f ( ) = = m 6 g ( ) = = m 5 L angolo di intersezione è: 7 tan β = = β Il grafico è in figura - 0. Deriviamo le (8): f f () = () = 4 m In = 0 si annullano entrambe: f ( ) = f ( ) = 0: α = arctan m = +m m arctan0 = 0. Nel punto = : f ( ) = = m f ( ) = 8 = m, donde: β = arctan = arctan m m + m m

49 5 - P Figura : Intersezione in P ( = 4, = 4).. Poniamo: la cui derivata è: f () def = , () f () = Nel punto (ξ, η) Γ) = f (), il coefficiente angolare della retta tangente è: m = 6ξ + 6ξ + 5 () L appartenenza di (ξ, η) a Γ implica: η = ξ + ξ + 5ξ + 9 () L equazione della retta tangente per l origine è: t) = m D altro canto (ξ, η) t, donde: η = mξ (4) Le ()-()-(4) compongono il sistema: ξ + ξ + 5ξ + 9 = η 6ξ + 6ξ + 5 = m η ξ =, m (5) 49

50 80 P 50 0 P P Figura 4: Grafico di Γ) = f () e delle rette tangenti passanti per l origine. Eliminando le variaibili m, η in (5): 4ξ + ξ 9 = 0 (ξ + ) 4ξ + 9ξ 9 = 0, le cui soluzioni sono: Il grafico è in figura 4. =, =, = (6) 4. Le (8) possono essere rappresentate dalle funzioni: f () = + 4 (7) f () = f () g () = 8 g () = g () L intersezione avviene nei punti P ( =, = ), P ( =, = ). Derivando le 50

51 (7): () = 4 () = f () g () = f f g 8 () = g (), donde i coefficienti angolari delle tangenti in P : m = 0 m = Quindi: In P : α = π 4 m = 0 m = da cui: Il grafico è in figura 5. β = π Derivazione di funzioni trigonometriche. f () = 5 sin + cos. f () = sin k. f () = cos 5 4. f () = sin 5. f () = 4 cos 6. f () = tan 7. f () = 4 tan5 8. f () = 4 cot8 9. f () = sin 5 cos 0. f () = tan cot 5

52 4 P P - -4 Figura 5: Grafico di γ k e delle tangenti nei punti di intersezione.. f () = sin tan. f () = tan. f () = cot( ) 4. f () = sec 5. f () = csc 6. f () = 9 sec 7. f () = csc f () = sin sin 9. f () = sin+cos 0. f () = sin cos. f () = sin ( )cos. Calcolare la derivata terza di f () = sin. Calcolare la derivata seconda di f () = tan ( ) 4. f () = sin cos

53 5. f () = sin 6. f () = sin 7. f () = cos ( ) 8. f () = cos ( ) 9. f () = sin ( ) 0. f () = sin ( ). f () = tansin. f () = appunti gratis ingegneria: (sec ) / tan(). f () = cot() 4. f () = sin + cos sin 5. Sia () = A sin k+b cos k, essendo A, B, k costanti. Mostrare che la funzione () è soluzione dell equazione differenziale: d d + k = 0 6. Assegnate le curve Γ ) = f (), Γ ) = f (), essendo: f () = sin (8) f () = cos, si determinino gli angoli acuti di interesezione tra Γ e Γ nell intervallo (0, π) Applicazioni. In una data località ad un certo istante l angolo di elevazione del sole è 45 e diminuisce di /4 rad/ h. Determinare la velocità di crescita dell ombra su terreno orizzontale di un palo alto h = 6 m. 5

54 .5.6 Soluzioni appunti gratis ingegneria: f () = 5 cos sin. Osserviamo che per la regola di derivazione delle funzioni composte: Nel caso in esame: φ () = k:. f () = 5 sin 5 4. f () = 4 cos 5. f () = sin 6. f () = cos 7. f () = 0 cos 5 8. f () = 8 = 4 sin 8 sin 8 9. f () = 5 cos 5 + sin d sin φ () = φ () cos d f () = k cos k 0. f () = + = = = = sin +cos 4 cos sin sin cos sin cos ( sin sin ). f () = cos cos. f () = cos d 4. f () = ( ) = = 4 cot ( ) d sin ( ) sin ( ) 4. f () = (cos ) = f () = (cos ) ( sin ) = / 5. f () = (sin ) = 4 sin cos f () = (sin ) / cos = = cot sin cos (sin) / d cos d sin 6. f () = 9 cos = 9 cos sin = = sin sec cos 4 7. f () ( ) (sin 4) (cos 4) = 4 sin 4 8. f () = sin + cos sin cos sin cos 9. f () = = (cos sin )(sin cos ) (cos +sin)(sin+cos ) 0. f () = (sin cos ) (sin cos ) (sin+cos ) sin cos = = = (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) 54

55 . f () = sin + cos ()cos + ( )sin = sin. f () = sin + cos f () = cos + cos sin = cos sin f () = cos sin = cos f () f () = sin f () = sin sin cos = sin cos. f () = tan( ) = 6tan( ) cos ( ) cos ( ) 8+ cos( )sin( ) 8tan( ) f () = cos ( ) 8+6 sin ( ) = cos ( ) 4. f () = sin cos 5. f () = sin 6. f () = cos = cos 7. f () = sin ( ) ( ) = sin ( ) 8. f () = sin ( ) ( ) ( ) = ( ) sin ( ) 9. f () = sin ( )cos ( ) = 6 sin ( ) cos ( ) = sin (6 4) 0. f () = sin ( )cos ( ) = 6 sin ( ) cos ( ) = sin (4 6)cos ( ). Siamo tentati ad applicare la regola di derivazione di un prodotto. In realtà la funzione si semplifica: donde: f () = tan sin sin = sin cos cos = sin, f () = sin cos = sin / 5/. f () = D (cos ) = (cos ) (cos ) sin sin tan sec = 5/ = cos [(cos ) ] (sec ) 5/ sec(sec csc sec ). f () = (cot ) 4. f () = sin + cos + cos sin cos = cos 55

56 5. La derivata prima è: La derivata seconda: donde l asserto. d d d = k (A cos B sin k) d = k (A sin k + B cos k) = k, 6. Determiniamo innanzitutto le ascisse dei punti P Γ Γ. A tale scopo risolviamo nell intervallo (0, π), l equazione trigonometrica: sin = cos Per le formule di duplicazione l equazione precedente diventa: sin = sin Cioè: sin = ± Osservando che f () e f () sono periodiche di periodo π, è facile rendersi conto che le soluzioni nell intervallo (0, π) sono: π 5 7 =, = π, = + π = π, 4 = + π = π Tali punti sono visibili nel grafico di figura 6, da cui vediamo che la simmetria delle curve conserva l angolo di intersezione nei punti P k ( k, k ) con k =,..., 4. Le derivate di f k () sono: f () = 4 sin cos f () = sin I coefficienti angolari delle rette tangenti in P (, = /) sono: m =, m = Quindi l angolo di intersezione è: m m tan α = = = α = arctan = π + m m L angolo acuto: Il grafico è riportato in figura 7. β = π 56

57 Π Π 4 Π - Figura 6: Grafico di f () e f () nell intervallo (0, π). P -0.5 Figura 7: Grafico di f () e f () nell intervallo (0, ). 57

58 .5.6. Applicazioni appunti gratis ingegneria: Indichiamo con L (t) e α (t) rispettivamente la lunghezza dell ombra e l angolo di elevazione del sole al tempo t. Assumiamo come istante iniziale t = 0, l istante in cui l angolo è π/4: def π α (0) = α 0 = (9) 4 Sia h = 6 m l altezza del palo. La lunghezza iniziale dell ombra è: A tutti i tempi: Quindi la velocità di crescita dell ombra: Dobbiamo determinare α (t) e α (t). Quest ultima è: Siccome α (t) =const, segue che α (t) è lineare: h L 0 = = h (0) tan α 0 h L (t) = () tanα(t) hα (t) L (t) = () sin α (t) α (t) = α 0 = α 0 = rad/ h () 4 α (t) = C + C t C e C sono costanti fissate dalle condizioni iniziali: π C = α (0) = 4 C = α 0, donde: per cui: Mentre L (t): π t α (t) =, L (t) = (4) sin π t L (t) = π t (5) tan 4 4 Si osservi che nelle (4)-(5) il tempo t è espresso in ore e varia in (0, π). Risulta: Il grafico di tali funzioni è in figura 8. lim L (t) = lim L (t) = + t π + t π + 58

59 L,L t Figura 8: Grafico in scala logaritmica di L (t), L (t)..5.7 Derivazione di funzioni trigonometriche inverse. f () = arcsin ( ). f () = arcsin (). f () = arccos 4. f () = arccos ( ) 5. f () = arctan( ) + 6. f () = arccot 7. f () = arccot f () = arctan 9. f () = arctan + 0. f () = arctan. f () = arcsin ( ). f () = arctan + arccot. f () = arcsin 4. f () = arccos 5. f () = + a a arcsin a a 6. f () = ( a) a + a arcsin a a 59

60 Rt B P st Q t L Θt R Θt Figura 9: Esercizio di Applicazioni. Un lampione L illumina un arena circolare (fig. 9). Un ragazzo, partendo da B, corre ad una velocità costante v 0 verso il centro dell arena. Dimostrare che la velocità dell ombra lungo il contorno nell istante in cui il ragazzo si trova a metà tra B e il centro, dipende linearmente da v 0 ed è indipendente dal raggio dell arena.. Le estremità di un segmento AB = L = 5 m scivolano sugli assi coordinati e di un riferimento monometrico ortogonale R (O). La velocità dell estremità A è costante ed è pari a m s. Determinare la velocità di B nell istante in cui l ascissa di A è 0 = m (fig. ).. Il lato di un rettangolo ha una lunghezza costante a 0, mentre l altro lato cresce secondo la legge: b (t) = b 0 + ḃ 0 t, essendo t il tempo, e b 0, b 0 costanti (lunghezza iniziale e velocità di crescita). Si dimostri che nel limite per t +, la diagonale cresce con la medesima velocità con cui cresce il lato b..5.8 Soluzioni. f () = = = ( )

61 B L 0 A d. f () = () = d () 9. f () = = = d d 4 ( ) 4 d 4. f () = ( ) = 4 ( ) d d 6 5. f () = ( ) = +( ) d f () = arccos + = arccos + ++ ( ) ++ +( + ) ( ) ( ) + 6. f () = = = 7. f () = + + d 8. f () = = + +( d + ) 9. f () = + 0. f () = = f () = = +( ) ( ). f () = = f () = arcsin + +arcsin = ( ) a a a a (a ) / 5. f () = = ( a) 6. f () = a a = a a a 6

62 .5.8. Applicazioni appunti gratis ingegneria: Fissiamo un riferimento cartesiano monometrico ortogonale R (O) come in fig. 9. La posizione iniziale del ragazzo è B (0, R), e la sua equazione oraria è: (t) = R + ẏ 0 t, (6) essendo ẏ 0 = v 0. La velocità dell ombra è la velocità del punto Q che compie un moto circolare. Dalla figura 9 vediamo che l ascissa curvilinea di Q contata a partire da B, è: π s (t) = R θ (t) (7) Dalla medesima figura vediamo che l angolo θ (t) è: (t) θ (t) = arctan (8) R Sostituendo nella (7): π R v 0 t s (t) = R arctan (9) R La variabile t varia nell intervallo [0, t ], essendo t l istante di tempo in cui il ragazzo arriva nel centro dell arena. Evidentemente: R πr t =, s (t ) = v 0 La (9) può essere riscritta come: π (t) s (t) = R arctan, R la cui derivata è: R v 0 ṡ (t) =, (0) R + (t) che è la velocità di Q. Il problema richiede il valore di tale velocità quando l ordinata del ragazzo è R/. Sia τ (0, t ) l istante tale che (τ) = R/, donde: R v 0 R ṡ(τ) = R = v 0 5 che è la velocità richiesta. Da ciò vediamo che ṡ(τ) è indipendente dal raggio R ed è una funzione lineare di v 0. 6

63 Sostituendo l espressione analitica di (t) nella (0): Si osservi che l accelerazione di Q è: Nella () la variabile adimensionale R v 0 ṡ(t) = () v 0 t + Rv 0 t + R 4v 0 η (t) s (t) = () R ( + η (t)) R v 0 t η (t) =, R che misura l ordinata del ragazzo in unità R =. Dalla () vediamo che s(t) = 0 per η (t) = 0 t = R/v 0 = t ; a ciò corrisponde un punto di massimo per la velocità di Q.. Assumiamo t = 0 quando l ascissa di A è pari a 0, per cui l equazione del moto di A è: A (t) = v A t + 0 Se B (t) è l ordinata di B, deve essere: A (t) + B (t) =, t [0, + ) donde (tenendo conto che B (t) 0): B (t) = L 0 va t v A 0 t () La velocità di B è la derivata prima rispetto a t della funzione (): L v A (v A t + 0 ) v B (t) = ẏ (t) = L 0 v t v A 0 t A La funzione B (t) è definita in (0, t ) essendo t tale che: Si osservi che t si ricava dalla condizione: Quindi: L 0 v A t v A 0 t = 0 t = A (t ) = L L 0 v A = s La richiesta del problema è: deteminare v B (t) quando A (t) = 0, donde è t = 0: v A 0 v B (0) = = m s L 0 6

64 t Figura 40: t Figura 4: Osservazione 6 Come c era da aspettarsi è ẏ (t) < 0, t [0, + ). Fisicamente significa che l estremità B si muove nel verso delle ordinate decrescenti. Inoltre: Il grafico è riportato in figura 40. mentre il grafico di B (t) è in figura 4. lim ẏ (t) = t t. La lunghezza della diagonale al generico istante t è: d (t) = a 0 + b (t) = d 0 + ḃ 0 t + b 0 ḃ 0 t, (4) essendo d 0 = a0 + b 0. Derivando la (4): ḃ 0 b 0 + ḃ 0 t d (t) =, d 0 + ḃ 0t + b 0 ḃ 0 t 64

65 per cui: b 0 + ḃ 0 lim d (t) = ḃ t 0 lim = ḃ 0 0 b t b b 0 t + t + d t t.5.9 Derivazione di funzioni logaritmiche ed esponenziali Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni. f () = lg a ( + 4). f () = ln ( + 5). f () = ln ( + 5) 4. f () = ln [( + 4)( + )] 5. f () = ln (4 ) 6. f () = ln 5 7. f () = ln (4 ) 8. f () = ln ( + ) 9. f () = ln 4 0. f () = ln ( 5). f () = ln (sin a). f () = ln + +. f () = e b 4. f () = e n 5. f () = 6. f () = e a e a e a +e a 7. f () = ln + tan cos 8. f () = e sin4 9. f () = 0. f () = e e. f () = 7 e. f () = ( )e 65

66 e. f () = 4. f () = e cos 5. f () = ( + )e 6. f () = arcsin 7. f () = ln 8. f () = n n ln n ln 9. f () = + ln Calcolare con il metodo della derivata logaritmica la derivata prima delle seguenti funzioni. f () =. f () =. f () = 4. f () = 5. f () = 6. f () = ln 7. f () = e 8. f () = sin, tracciando poi il grafico. sin 9. f () = (cos) 0. f () = (arctan) Calcolo di derivate seconde. f () = e ln. f () = f () = e 4. f () = ln ( + ) 66

67 .5.0 Soluzioni appunti gratis ingegneria: d 6 6. f () = lg e ( + 4) = lg e = +4 a d +4 a ( +4)ln a d. f () = [ ln( + )] = d + ln(+5). f () = ln( + 5) = f () = [ln ( + 4) + ln ( + )] = d +5 d +4 + ( +4)( +) 4 5. f () = 4 6. f () = 5 7. f () = = 4 d (+) 8. f () = [ ln( + )] = ( + ) = d f () = [ln + 4 ln ln( 5)] = d 4( 5) d ( 5) 0. f () = ln + = ln. f () = (cosa) a = a cot a sina. f () = + =. f () = be b d n 4. f () = e n ( n ) = n e n d 5. f () = + ln = ( + ln ) + = d e a ae a a a (+e )+ae ( e a ) 4ae a 4a d +e a (+e a ) (+e a ) e a (+e a ) 4a 4a = e a +e a + (e a +e a ) 6. f () = = = = = def +sin cos + sin(+sin ) 7. f () = ln g (); g () = + tan = = g () = = cos cos cos +sin g () = f () = = cos g() cos sin 4 d sin4 8. f () = e (sin 4) = 4e cos 4 d 9. f () = ln def g() g() +g() 0. f () = e g() ; g () = e = g () = e ; f () = g () e = e e = e = e +e. f () = 6 e (7 + ). f () = ( )e. f () = e 67

68 4. f () = e cos e sin = e (cos sin ) 5. f () = ( )e + ( + ) e = e e 6. f () = e arcsin + = e arcsin + 7. f () = = ln (ln ) ln ln n n n 8. f () = n n ln + = n ln ln = + 9. f () = + Derivata logaritmica. La funzione è: f () = Prendiamo il logarimo di primo e secondo membro: ln f () = ln Quindi deriviamo: donde: f () = ln +, f () f () = (ln + ) f (). ln f () = ln = f() = ( ln + ) = f () = + ( ln + ) ln f () ln. ln f () = = = = f () = ( ln ) f() f () ln ln + f() 4. ln f () = ln = = + = = ( ln + ) f () d d 5. ln f () = ln = ln = = ( ln) = (ln ) ( )+ = (ln + )ln + f() d d + = f () = ln + ln + ln f () ln ln ln ln 6. ln f () = ln = (ln) = = = f () = f () = = f() ln ln f () e f() 7. ln f () = e ln = = e ln+ e = f () = e ( ln ) f () sin 8. ln f () = sin ln = = cosln + = (sin + cos ln ) = f () = f() sin (sin + cos ln). La funzione f () è definita in (0, + ) con lim f () = 0 (figura 4 ) Essendo sin, la funzione compie oscillazione con ampiezza linearmente crescente (grafico inviluppato da =, figg. 4-44) 68