PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE."

Transcript

1 PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

2 DEF. Una funzione F() si die primitiva di una funzione y f() definita nell intervallo [a;b] se ) F() è derivabile in [a;b] ) F () f() (la sua derivata è f()) Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unia!!! y Operatore derivata y y y y...

3 Osservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive del tipo F(), on numero reale, (differisono tutte per una ostante). Infatti (F() ) F () f(), in quanto la derivata di una ostante è nulla. Inoltre: se F() e G() sono primitive di f(), allora [F()-G()] F ()-G () f() f() 0, ossia F() G() ostante Le funzioni y F() sono tutte e sole le primitive della funzione y f() e rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y F() mediante traslazioni vertiali. y Primitive di 5 y y y y y

4 La primitiva he si ottiene on 0 è detta primitiva fondamentale. DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO Si hiama integrale indefinito della funzione y f() e si india on il simbolo f () l insieme di tutte le infinite primitive F() della funzione f(), dove è d un numero reale qualunque. f () d F() tale he ( F() )' f () f () è detta FUNZIONE INTEGRANDA derivazione è detta VARIABILE d INTEGRAZIONE y F() F () f() integrazione Teorema. Se una funzione y f() è ontinua in [a;b] allora è integrabile. 4

5 Riordiamo le derivate 5

6 6

7 INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI α α ) d, α R { } α In partiolare: d d ) d ln ) a d a lna d In partiolare: e d e 4) sen d os 5) os d sen 6) d tg 7) d otg os sen 7

8 8) d arsin aros 9) d artg PROPRIETA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI ) k f ()d k f () d ) [ f () g()]d f ()d g() d ) [ k f () h g()]d kf ()d h g() d NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali asi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi. 8

9 Esempi: ( os )d d os d sen sen d d d () d d d d ln d d d 9

10 5 d d 5 d 5 artg 5arsin 4sen d 4os 5tg os 6e d 6e ln 0

11 INTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E UNA FUNZIONE COMPOSTA

12 Esempi. ( 5) d ( 5) d ( 5) ( 9 5) sen sen os os tgd d d ln os d d d artg() 4 () () d d ln

13 Eserizi ln d d d 4 d ( ) ( ) d d ( ) d ( ) sen(ln ) d os(ln )

14 4 ( 4) os ( 4) d d tg( 4) os e e d d artg(e ) e e (e d d arsen(e ) e e ) (e ) 6 6 d d d d artg artg

15 INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL DENOMINATORE d d 4 a meno della ostante il numeratore è la derivata del denominatore f '() RICORDO: d ln f () f () ln 4 5

16 CASO: IL DENOMINATORE E DI PRIMO GRADO (Esame 9/06/) 5 d Effettuo la divisione tra polinomi: Riordo: A() B() Q() R() B() // // - d d d d d d d ln 6

17 CASO: IL DENOMINATORE E DI SECONDO GRADO (e non posso riondurmi al primo aso in maniera immediata) - sottoaso : > 0 (si riondue ad integrali di tipo logaritmo) d 5 6 b 4a 5 4 > ) Calolo il disriminante 0 ) Sompongo il polinomio al denominatore nella forma a b a( )( ) on e radii o zeri dell equazione assoiata. 5 ± 5 6 ( )( ) F() A B G() a( ) A B 5 6 ) Risrivo la frazione algebria nella forma In questo aso 7

18 4) Cero i parametri A e B in modo he sia verifiata l uguaglianza: 6 A( ) B( ( )( ) 5 ) 6 A A B B ( )( ) (A B) A B ( )( ) tale uguaglianza è vera se e solo se A B A B A B B A 4 B Pertanto:

19 5) Risrivo l integrale he ora si riondue a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo 5 d d d d 4 ln ln - sottoaso : 0 (si riondue ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza) 5 d 6 9 b 4a 6 6 ) Calolo il disriminante 0 ) Sompongo il polinomio al denominatore nella forma a b a( ) In questo aso 6 9 ( ) 9

20 ) Risrivo la frazione algebria nella forma In questo aso: F() A G() a( A B ( ) ( ) B ) ( ) 4) Cero i parametri A e B in modo he sia verifiata l uguaglianza: A B ( ) ( ) A( ) B ( ) A A B ( ) A A B tale uguaglianza è vera se e solo se A 5 B 5 0

21 Pertanto: ( ) ( 5) Risrivo l integrale he ora si riondue a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo e di tipo potenza 6 9 ( ) ( ) ln 5 d d d ( ) ) ( ) ln d

22 - sottoaso : < 0 a) il numeratore è di grado zero a b d a 0 E neessario effettuare il ompletamento del quadrato dei primi due termini al denominatore e poi riondurre all integrale immediato la ui primitiva è arotangente. d Calolo il disriminante 4 < 0 Si era di riondurre l integrale al modello f '() f () d artg k [f ()] k k

23 Bisogna riguardare i due termini e rispettivamente ome il quadrato di e ome il doppio prodotto del primo termine per un seondo termine e sommare e sottrarre il termine manante per ompletare il quadrato di binomio artg d 4 d artg b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di seondo on disriminante negativo d

24 Calolo il disriminante 4 < 0 Trasformo il numeratore in modo da vederlo ome somma di due parti, una he ostituise la derivata del denominatore e l altra he i permetterà di rionduri all arotangente ome nel aso preedente. ( ) 6 d d d 5 5 d d d Il primo integrale si è riondue ad integrali di tipo logaritmo, mentre il seondo è integrabile ome arotangente (aso preedente) 5 ln ln( artg 5 ) artg 4

25 Metodo di integrazione per sostituzione f () d ) Si pone g(t) (ontinua e invertibile) oppure t g - () ) Si alola il differenziale d g'(t) dt ) Si sostituise f ()d f (g(t)) g'(t) dt 4) Si srive prima il risultato dell integrale nella variabile t e suessivamente nella variabile. Esempi. d pongo t t d tdt t tdt t t dt effettuo la divisione tra polinomi 5

26 t t Quindi riordo he A() R() -t- Q() B() B() - t t t t t ln ln( ) dt dt dt t ln t e d pongo t t d t e ( t ) t t tdt e dt dt e dt t e t e tdt 6

27 e e d pongo t e ln t d dt e t e e t t t(t ) t t d dt dt dt dt t t e t t t t t dt dt ln(t ) artg(t) t t ln(e ) artg(e ) t dt d e pongo t e t e e t d t t dt ln(t ) 7

28 e d t t t dt t dt t t t dt devo risrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione rionduendo ad integrali immediati t t dt dt dt t artg(t) t t t e artg( e ) Un partiolare integrale risolubile on sostituzione d pongo sent nell intervallo π π ; modo he la funzione seno risulti invertibile t arsin() d ost dt on os t > 0 nell intervallo onsiderato in 8

29 Sostituiso d sen t ost dt os t os t dt Nell intervallo di invertibilità della funzione seno, il oseno è sempre positivo, pertanto ost os t ost dt os t dt dt Attenzione: Abbiamo appliato la formula di bisezione del oseno α osα os ± ost ± ost os t os t Pertanto, ritornando all integrale, ost ost ma os t > 0 quindi ost t dt dt dt os t dt sent 4 t sent os t 4 formula di dupliazione del seno: sen α senα osα 9

30 Inoltre: sent quindi t arsin() e os t sen t Quindi: d arsin Generalizzando tale integrale e svolgendo un proedimento analogo on la posizione asent si ottiene he: a d a arsin a a Esempio. 9 d 9 arsin 9 0

31 Metodo di integrazione per parti Si onsiderino due funzioni f() e g() derivabili on derivata ontinua in un intervallo [a;b]. Se si onsidera la derivata del loro prodotto si ottiene: [ f () g()]' f '()g() f ()g'() Integrando ambo i membri si ha he: [ f () g()]' d [f '()g() f ()g'()]d [ f () g()]' d f '()g()d f ()g'()d Isoliamo f ()g'() d si ottiene la formula di integrazione per parti f ()g'()d f ()g() f '()g() d

32 Tale formula è utile nel aso in ui si possa pensare la funzione integranda ome omposta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale. Di norma si seguono le seguenti indiazioni:

33 ln ln d onsidero d ln d ln f g' ln f ' g ln sen d onsidero f g' f ' sen g os sen d os os d os sen

34 Eserizi svolti in aula ln d d e ln( e ) d os (Esame 9/07/) ( )artg d ( ) e sen d d Eserizi onsigliati per eseritazioni ln 4d os(ln ) d d e d d ( ) (Si suggerise di svolgere gli integrali indefiniti di riepilogo presenti su un buon libro di suole superiori) 4

16 L INTEGRALE INDEFINITO

16 L INTEGRALE INDEFINITO 9. Integrali immediati 6 L INTEGRALE INDEFINITO Riassumiamo le puntate preedenti: si die INTEGRALE INDEFINITO di una funzione f ( ), la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la ui derivata è uguale

Dettagli

TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI

TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI Integrazione di funzioni elementari c c ln c arc tan c arc tan c a a a e e c TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI Integrazione di funzioni composte f( ) f ( ) f '( ) C ' f ln f ( ) c f( ) f '( ) arctan( f

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

Metodi di Integrazione. Integrazione per decomposizione in somma

Metodi di Integrazione. Integrazione per decomposizione in somma Metodi di Integrazione Integrazione per decomposizione in somma Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione per decomposizione in somma In molti casi il calcolo dell integrale indefinito

Dettagli

G6. Integrali indefiniti

G6. Integrali indefiniti G6 Integrali indefiniti G6 Introduzione Nel capitolo G4 si è visto come calcolare la derivata di una funzione data Quando si calcola la derivata di una funzione y=f() il risultato è un altra funzione indicata

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 005/06 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 9 settembre 005 Dimostrare

Dettagli

Calcolo degli integrali indefiniti

Calcolo degli integrali indefiniti Appendice B Calcolo degli integrali indefiniti Se f è una funzione continua nell intervallo X, la totalità delle sue primitive prende il nome di integrale indefinito della funzione f, o del differenziale

Dettagli

TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO

TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO Si die he, per he tende a, la funzione y=f() ha per ite l e si srive: l = l I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI

Dettagli

Integrali indefiniti, definiti e impropri - teoria

Integrali indefiniti, definiti e impropri - teoria Integrali indefiniti, definiti e impropri - teoria Primitiva Data una funzione si dice primitiva di tale f. la f. che ha per derivata, ovvero. Le primitive di una f. sono infinite e tutte uguali a meno

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) = STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali

Dettagli

10. Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( = rapporti di polinomi)

10. Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( = rapporti di polinomi) 0. Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( rapporti di polinomi) Studieremo ora tecniche specifiche per gli integrali della forma A ( ), B ( ) essendo A( ) e B ( ) due polinomi. E lecito supporre

Dettagli

Calcolo integrale: esercizi svolti

Calcolo integrale: esercizi svolti Calcolo integrale: esercizi svolti Integrali semplici................................ Integrazione per parti............................. Integrazione per sostituzione......................... 4 4 Integrazione

Dettagli

Esercizi svolti sugli integrali

Esercizi svolti sugli integrali Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva:

Dettagli

Diario del Corso Analisi Matematica I

Diario del Corso Analisi Matematica I Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica 1 Schema provvisorio delle lezioni A. A. 2015/16 1 Distribuzione degli argomenti delle lezioni Argomento ore tot Numeri reali 11 11 Numeri complessi 1 12 Spazio euclideo 2 14 Topologia

Dettagli

1 Primitive e integrali indefiniti

1 Primitive e integrali indefiniti Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 2 CALCOLO INTEGRALE Primitive e integrali indefiniti. Definizione di primitiva e di integrale indefinito Data una funzione

Dettagli

Integrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c.

Integrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c. Integrali indefiniti fondamentali Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati d f ( c d f ( c a d a c n n d c con n - n a a d log k e d e k k e c a c e d e c d log c send cos c cos d sen c senhd

Dettagli

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 006/07 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 3 ottobre 006 Dimostrare

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti

Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Una funzione g() derivabile su un intervallo (a, b) si dice primitiva della funzione f() se f() =

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

R. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( )

R. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( ) Esercizio proposto N 1 Verificare che ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE Si ricordi la definizione di ite finito in un punto: Pertanto, applicando la definizione al caso concreto, si ha: o, ciò che è lo stesso:

Dettagli

Unità Didattica 1. Sistemi di Numerazione

Unità Didattica 1. Sistemi di Numerazione Unità Didattia Sistemi di Numerazione Sistemi di Numerazione Posizionali Criterio per la rappresentazione di un insieme infinito di numeri mediante un insieme limitato di simoli. Un sistema di numerazione

Dettagli

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

CALCOLO DEGLI INTEGRALI

CALCOLO DEGLI INTEGRALI CALCOLO DEGLI INTEGRALI ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA INTEGRALI INDEFINITI. Integrazione diretta.. Principali regole di integrazione. () Se F () f (), allora f () F () dove C è una costante

Dettagli

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere

Dettagli

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 204-205, canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti,

Dettagli

Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini

Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali,

Dettagli

2. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, delimitata dalle seguenti curve. : y = x 2 + x γ 2 : y = x 2 γ 3 : y = 1 x 2.

2. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, delimitata dalle seguenti curve. : y = x 2 + x γ 2 : y = x 2 γ 3 : y = 1 x 2. Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Esercizi sul calcolo integrale. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, deitata dalle seguenti curve γ : y + γ :

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1. Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica e Geometria Preparazione al primo compito in itinere Cognome: Nome: Matricola: Prima Parte. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo,

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

Primitive e Integrali Indefiniti

Primitive e Integrali Indefiniti Capitolo 0 Primitive e Integrali Indefiniti In questo capitolo ci proponiamo di esporre la teoria delle funzioni primitive per funzioni reali di una variabile reale e di dare cenni ai metodi utilizzati

Dettagli

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 Argomenti svolti, libro di testo di riferimento: P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi Calcolo. Liguori Editore. O. Bernardi: Temi d esame senza tema. Ed. Libreria Progetto.

Dettagli

Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton

Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton Programma di Analisi 1 Note: - I programmi presentati sono estratti ed integrati da Programmi previsti in diverse Università, possono pertanto contenere parti simili, o in più, dei programmi ufficiali.

Dettagli

Proprietà globali delle funzioni continue

Proprietà globali delle funzioni continue Proprietà globali delle funzioni ontinue Tramite i limiti, abbiamo studiato il omportamento di una funzione nell intorno di un punto (proprietà loali). Ora i oupiamo di funzioni ontinue su tutto un intervallo,

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

1 Primitive 1. 2 Tecniche di integrazione I Linearità dell integrale Integrali quasi immediati... 4

1 Primitive 1. 2 Tecniche di integrazione I Linearità dell integrale Integrali quasi immediati... 4 INTEGRALE INDEFINITO PRIMITIVE Integrale indefinito Indice Primitive Tecniche di integrazione I 3. Linearità dell integrale............................................. 3. Integrali quasi immediati...........................................

Dettagli

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori. Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13 Programma di Analisi matematica 1 - A13106 Anno accademico 2015-2016 Prof. Giulio Starita 1 - Insiemi, logica, numeri I concetti primitivi.

Dettagli

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme

Dettagli

definita e continua in

definita e continua in Teorema della media integrale definita e continua in dim. Teorema di Weierstrass e tali che Proprietà di monotonia Dividendo tutto per Valore compreso tra il minimo e il massimo assoluti della funzione

Dettagli

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).

Dettagli

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x)

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x) Calcolo dei iti (C. DIMAURO) Per il calcolo dei iti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in cui, valgono anche quando Teorema dell unicità del ite: se una funzione ammette ite per

Dettagli

Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. Istituzioni di Matematica 2 a.a. 2007-2008 http://www.dmmm.uniroma.it/persone/capitanelli CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI

Dettagli

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 2003 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO Tra i rettangoli aventi la stessa area di 6 m 2 trovare quello di perimetro minimo. Indicate con x ed y le misure della base

Dettagli

Esercizi sulla funzione integrale

Esercizi sulla funzione integrale Eserizi sulla funzione integrale Versione del 8 marzo 27 In questo fasioletto propongo aluni eserizi sulla funzione integrale. I testi della prima parte sono presi dalle prove assegnate agli esami di stato

Dettagli

Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI

ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI Tiziana Raparelli 5/5/9 CONOSCENZE PRELIMINARI Vogliamo calcolare f ( x, ax + bx + c ) dx. Se a =, allora basta porre bx + c

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x) INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x) f(x)dx= F (x) + c è l insieme delle PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che F (x)=f(x) Operazione inversa della Derivata prima. Se derivo F(X) ottengo f(x)

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre

Dettagli

9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO

9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 La nascita e lo sviluppo del calcolo integrale sono legati a due tipi

Dettagli

Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini.

Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini. Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini. 1. Generalità sul corso e sulle modalità di esame. Insiemi ed operazioni sugli insiemi. Applicazioni

Dettagli

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.

Dettagli

Funzioni Pari e Dispari

Funzioni Pari e Dispari Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della

Dettagli

Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito

Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito L'integrale indefinito E' possibile definire semplicemente l'integrale dal punto di vista algebrico come operazione inversa della operazione di

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Integrale indefinito

Integrale indefinito Integrale indefinito 1 Primitive di funzioni Definizione 1.1 Se f: [a, b] R è una funzione, una sua primitiva è una funzione derivabile g: [a, b] R tale che g () = f(). Ovviamente la primitiva di una funzione,

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B

Dettagli

INTEGRALI Test di autovalutazione

INTEGRALI Test di autovalutazione INTEGRALI Test di autovalutazione. Sia f una funzione continua su IR, e F una primitiva di f tale che F () = 5. Allora: (a) esiste k IR tale che F (x) f(x) =k, x IR (b) F (x) = x f(t) dt (c) F non è derivabile

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico 2015-2016 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le

Dettagli

A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre

A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: Le definizioni ed i risultati fondamentali per poter studiare con profitto sono scritti in

Dettagli

Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2

Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2 Registro delle lezioni di ISTITUZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 1 Corso di Laurea in Chimica 8 CFU - A.A. 2015/2016 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 17 dicembre 2015 1. Lunedì 05/10/2015,

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2015-16 PROGRAMMA SVOLTO RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo

Dettagli

Limiti di funzioni. Parte 2 calcolo. prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 10/2016

Limiti di funzioni. Parte 2 calcolo. prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 10/2016 Limiti di funzioni Parte calcolo prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, /6 L insieme R Il calcolo dei iti delle funzioni reali di variabile reale avviene nell insieme esteso dei numeri

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

ESEMPI ED ESERCIZI SULLE DERIVATE

ESEMPI ED ESERCIZI SULLE DERIVATE ESEMPI ED ESERCIZI SULLE DERIVATE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice DERIVATA DELLA SOMMA ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 DERIVATA DEL PRODOTTO

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. Esercizi svolti. dx ; 2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:

INTEGRALI IMPROPRI. Esercizi svolti. dx ; 2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore: INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: a b c d e / +5 d ; arctan + d ; 8+ 4 5/ +e + d ; 9 +8 + + d. d ;. Verificare la convergenza del seguente

Dettagli

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni

Dettagli

1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere

1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere ) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere +

Dettagli

y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m =

y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m = DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA E DERIVABILITA PUNTI DI NON DERIVABILITA

Dettagli

Prefazione LUCIANO ROMANO

Prefazione LUCIANO ROMANO 3 Prefazione Il testo, rivolto agli studenti universitari che si apprestano ad affrontare l esame di Analisi Matematica, propone un iniziale parte teorica e suggerimenti sulla risoluzione della vasta gamma

Dettagli

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella

Dettagli

Esercizi di Analisi Reale

Esercizi di Analisi Reale sercizi di Analisi Reale Corso di Laurea in Matematica Terminologia. Sia R n un insieme misurabile. Una funzione positiva misurabile f su, cioè una funzione f : [, ] misurabile, ammette sempre integrale

Dettagli

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Le Derivate Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante

Dettagli

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

Capitolo 9 (9.2, Serie: 1,..., 18).

Capitolo 9 (9.2, Serie: 1,..., 18). Universitá degli Studi di Bari Corso di Laurea in Biotecnologie per l innovazione di Processi e Prodotti Programma dettagliato di MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA- A.A. 2014/2015 Prof. Mario Coclite

Dettagli

2. la ricerca di funzioni che hanno una derivata assegnata.

2. la ricerca di funzioni che hanno una derivata assegnata. INTEGRALI PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE Il calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale si occupa di risolvere due problemi:. il calcolo dell area di parti di piano qualsiasi, 2. la ricerca

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (sede di Vicenza)

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (sede di Vicenza) UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (sede di Vicenza) PROGRAMMA DI MATEMATICA A, A.A. 2007-08 CANALI 1 E 2 - Prof. F. Albertini e M. Motta Testi Consigliati: Elementi di Analisi Matematica

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Calcolo Integrale Nello studio del calcolo differenziale si è visto come si può associare ad una funzione la sua derivata. Il calcolo integrale si occupa del problema inverso: data una funzione f è possibile

Dettagli

Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 00 quindi sempre verificata

Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata Classe TERZA A inf. MATEMATICA : SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO Devi svolgere su di un quaderno tutti gli esercizi di queste pagine, anche quelli già risolti come esempio e consegnarmelo il giorno della prova

Dettagli

1 + x2 Metodi di calcolo di un integrale Indefinito

1 + x2 Metodi di calcolo di un integrale Indefinito Integrali Integrali Indefiniti L operazione di integrale indefinito è l operazione inversa rispetto alla derivata, infatti consiste, partendo da una funzione f(x), di trovare l insieme delle funzioni F(x)

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe VB Anno Scolastico 014-015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 Nozioni di topologia su Intervalli; Estremo superiore

Dettagli

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza Contenuti del programma di Matematica Classe Terza A.S. 2014/2015 Tema Contenuti GEOMETRIA Misura della lunghezza della circonferenza e NEL PIANO area del cerchio. COMLEMENT Equazioni e disequazioni con

Dettagli

Matematica. dott. francesco giannino. a. a chiusura del corso. 1

Matematica. dott. francesco giannino. a. a chiusura del corso. 1 Matematica a. a. 2014-2015 dott. francesco giannino 99. chiusura del corso. 1 99. chiusura del corso 99. chiusura del corso. 2 Obiettivo del corso fornire strumenti matematici di base necessari nel prosieguo

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione

Dettagli

x log(x) + 3. f(x) =

x log(x) + 3. f(x) = Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d

Dettagli

Tipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d)

Tipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d) - ricerca dei punti di flesso - ricerca dell asintoto orizzontale - ricerca dell asintoto verticale - ricerca dell asintoto obliquo - ricerca dei punti di intersezione con gli assi Tipologia delle funzioni

Dettagli

Registro dell'insegnamento

Registro dell'insegnamento Registro dell'insegnamento Anno accademico 2016/2017 Prof. MATTEO FOCARDI Settore inquadramento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA REGISTRO Scuola Scienze Matematiche, Fisiche NON e Naturali CHIUSO Dipartimento

Dettagli

Soluzioni delle Esercitazioni I 19-23/09/2016

Soluzioni delle Esercitazioni I 19-23/09/2016 Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06 Soluzioni delle Esercitazioni I 9-3/09/06 A. Polinomi Si ha:. (x+y)(3xy xy) = 6x y x y +3xy 3 xy.. (x y) = 4x 4xy +y. 3. Se non ci si ricorda lo sviluppo

Dettagli

AMERICHE PROBLEMA 1

AMERICHE PROBLEMA 1 www.matefilia.it AMERICHE 16 - PROBLEMA 1 Considerata la funzione G: R R è così definita: svolgi le richieste che seguono. 1) x G(x) = e t sen (t)dt Discuti campo di esistenza, continuità e derivabilità

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013 FACOLTÀ DI INGEGNERIA ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meania PROF A PRÁSTARO /0/03 Fig Diso D, ruotante, on rihiamo elastio radiale in un piano vertiale π, e portatore di aria

Dettagli