PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

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1 PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

2 DEF. Una funzione F() si die primitiva di una funzione y f() definita nell intervallo [a;b] se ) F() è derivabile in [a;b] ) F () f() (la sua derivata è f()) Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unia!!! y Operatore derivata y y y y...

3 Osservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive del tipo F(), on numero reale, (differisono tutte per una ostante). Infatti (F() ) F () f(), in quanto la derivata di una ostante è nulla. Inoltre: se F() e G() sono primitive di f(), allora [F()-G()] F ()-G () f() f() 0, ossia F() G() ostante Le funzioni y F() sono tutte e sole le primitive della funzione y f() e rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y F() mediante traslazioni vertiali. y Primitive di 5 y y y y y

4 La primitiva he si ottiene on 0 è detta primitiva fondamentale. DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO Si hiama integrale indefinito della funzione y f() e si india on il simbolo f () l insieme di tutte le infinite primitive F() della funzione f(), dove è d un numero reale qualunque. f () d F() tale he ( F() )' f () f () è detta FUNZIONE INTEGRANDA derivazione è detta VARIABILE d INTEGRAZIONE y F() F () f() integrazione Teorema. Se una funzione y f() è ontinua in [a;b] allora è integrabile. 4

5 Riordiamo le derivate 5

6 6

7 INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI α α ) d, α R { } α In partiolare: d d ) d ln ) a d a lna d In partiolare: e d e 4) sen d os 5) os d sen 6) d tg 7) d otg os sen 7

8 8) d arsin aros 9) d artg PROPRIETA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI ) k f ()d k f () d ) [ f () g()]d f ()d g() d ) [ k f () h g()]d kf ()d h g() d NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali asi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi. 8

9 Esempi: ( os )d d os d sen sen d d d () d d d d ln d d d 9

10 5 d d 5 d 5 artg 5arsin 4sen d 4os 5tg os 6e d 6e ln 0

11 INTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E UNA FUNZIONE COMPOSTA

12 Esempi. ( 5) d ( 5) d ( 5) ( 9 5) sen sen os os tgd d d ln os d d d artg() 4 () () d d ln

13 Eserizi ln d d d 4 d ( ) ( ) d d ( ) d ( ) sen(ln ) d os(ln )

14 4 ( 4) os ( 4) d d tg( 4) os e e d d artg(e ) e e (e d d arsen(e ) e e ) (e ) 6 6 d d d d artg artg

15 INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL DENOMINATORE d d 4 a meno della ostante il numeratore è la derivata del denominatore f '() RICORDO: d ln f () f () ln 4 5

16 CASO: IL DENOMINATORE E DI PRIMO GRADO (Esame 9/06/) 5 d Effettuo la divisione tra polinomi: Riordo: A() B() Q() R() B() // // - d d d d d d d ln 6

17 CASO: IL DENOMINATORE E DI SECONDO GRADO (e non posso riondurmi al primo aso in maniera immediata) - sottoaso : > 0 (si riondue ad integrali di tipo logaritmo) d 5 6 b 4a 5 4 > ) Calolo il disriminante 0 ) Sompongo il polinomio al denominatore nella forma a b a( )( ) on e radii o zeri dell equazione assoiata. 5 ± 5 6 ( )( ) F() A B G() a( ) A B 5 6 ) Risrivo la frazione algebria nella forma In questo aso 7

18 4) Cero i parametri A e B in modo he sia verifiata l uguaglianza: 6 A( ) B( ( )( ) 5 ) 6 A A B B ( )( ) (A B) A B ( )( ) tale uguaglianza è vera se e solo se A B A B A B B A 4 B Pertanto:

19 5) Risrivo l integrale he ora si riondue a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo 5 d d d d 4 ln ln - sottoaso : 0 (si riondue ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza) 5 d 6 9 b 4a 6 6 ) Calolo il disriminante 0 ) Sompongo il polinomio al denominatore nella forma a b a( ) In questo aso 6 9 ( ) 9

20 ) Risrivo la frazione algebria nella forma In questo aso: F() A G() a( A B ( ) ( ) B ) ( ) 4) Cero i parametri A e B in modo he sia verifiata l uguaglianza: A B ( ) ( ) A( ) B ( ) A A B ( ) A A B tale uguaglianza è vera se e solo se A 5 B 5 0

21 Pertanto: ( ) ( 5) Risrivo l integrale he ora si riondue a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo e di tipo potenza 6 9 ( ) ( ) ln 5 d d d ( ) ) ( ) ln d

22 - sottoaso : < 0 a) il numeratore è di grado zero a b d a 0 E neessario effettuare il ompletamento del quadrato dei primi due termini al denominatore e poi riondurre all integrale immediato la ui primitiva è arotangente. d Calolo il disriminante 4 < 0 Si era di riondurre l integrale al modello f '() f () d artg k [f ()] k k

23 Bisogna riguardare i due termini e rispettivamente ome il quadrato di e ome il doppio prodotto del primo termine per un seondo termine e sommare e sottrarre il termine manante per ompletare il quadrato di binomio artg d 4 d artg b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di seondo on disriminante negativo d

24 Calolo il disriminante 4 < 0 Trasformo il numeratore in modo da vederlo ome somma di due parti, una he ostituise la derivata del denominatore e l altra he i permetterà di rionduri all arotangente ome nel aso preedente. ( ) 6 d d d 5 5 d d d Il primo integrale si è riondue ad integrali di tipo logaritmo, mentre il seondo è integrabile ome arotangente (aso preedente) 5 ln ln( artg 5 ) artg 4

25 Metodo di integrazione per sostituzione f () d ) Si pone g(t) (ontinua e invertibile) oppure t g - () ) Si alola il differenziale d g'(t) dt ) Si sostituise f ()d f (g(t)) g'(t) dt 4) Si srive prima il risultato dell integrale nella variabile t e suessivamente nella variabile. Esempi. d pongo t t d tdt t tdt t t dt effettuo la divisione tra polinomi 5

26 t t Quindi riordo he A() R() -t- Q() B() B() - t t t t t ln ln( ) dt dt dt t ln t e d pongo t t d t e ( t ) t t tdt e dt dt e dt t e t e tdt 6

27 e e d pongo t e ln t d dt e t e e t t t(t ) t t d dt dt dt dt t t e t t t t t dt dt ln(t ) artg(t) t t ln(e ) artg(e ) t dt d e pongo t e t e e t d t t dt ln(t ) 7

28 e d t t t dt t dt t t t dt devo risrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione rionduendo ad integrali immediati t t dt dt dt t artg(t) t t t e artg( e ) Un partiolare integrale risolubile on sostituzione d pongo sent nell intervallo π π ; modo he la funzione seno risulti invertibile t arsin() d ost dt on os t > 0 nell intervallo onsiderato in 8

29 Sostituiso d sen t ost dt os t os t dt Nell intervallo di invertibilità della funzione seno, il oseno è sempre positivo, pertanto ost os t ost dt os t dt dt Attenzione: Abbiamo appliato la formula di bisezione del oseno α osα os ± ost ± ost os t os t Pertanto, ritornando all integrale, ost ost ma os t > 0 quindi ost t dt dt dt os t dt sent 4 t sent os t 4 formula di dupliazione del seno: sen α senα osα 9

30 Inoltre: sent quindi t arsin() e os t sen t Quindi: d arsin Generalizzando tale integrale e svolgendo un proedimento analogo on la posizione asent si ottiene he: a d a arsin a a Esempio. 9 d 9 arsin 9 0

31 Metodo di integrazione per parti Si onsiderino due funzioni f() e g() derivabili on derivata ontinua in un intervallo [a;b]. Se si onsidera la derivata del loro prodotto si ottiene: [ f () g()]' f '()g() f ()g'() Integrando ambo i membri si ha he: [ f () g()]' d [f '()g() f ()g'()]d [ f () g()]' d f '()g()d f ()g'()d Isoliamo f ()g'() d si ottiene la formula di integrazione per parti f ()g'()d f ()g() f '()g() d

32 Tale formula è utile nel aso in ui si possa pensare la funzione integranda ome omposta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale. Di norma si seguono le seguenti indiazioni:

33 ln ln d onsidero d ln d ln f g' ln f ' g ln sen d onsidero f g' f ' sen g os sen d os os d os sen

34 Eserizi svolti in aula ln d d e ln( e ) d os (Esame 9/07/) ( )artg d ( ) e sen d d Eserizi onsigliati per eseritazioni ln 4d os(ln ) d d e d d ( ) (Si suggerise di svolgere gli integrali indefiniti di riepilogo presenti su un buon libro di suole superiori) 4