Matematica con elementi di Informatica

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1 Teoria dell integrazione Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche. () Teoria dell integrazione. 1 / 54

2 Integrale definito Sia f : [0, T ] [0, + ), T > 0 l intensità di produzione di un impianto se si considera t > 0, allora f t è approssimativamente la quantità di prodotto in [t, t + t] caso speciale: f (t) f 0 allora la quantità totale di prodotto in [0, T ] è f 0 T Interessa calcolare la quantità di prodotto ottenuta anche con intensità di produzione f (t) non costante () Teoria dell integrazione. 2 / 54

3 Interessa calcolare la quantità di prodotto ottenuta anche con intensità di produzione f (t) non costante In casi semplici la quantità di prodotto è numericamente l area della superficie sotto il grafico di f (t) si può credere che sia così anche in generale... () Teoria dell integrazione. 3 / 54

4 Suddivisione Dato un intervallo limitato [a, b] chiameremo suddivisione di [a, b] un insieme di punti D = {x 0,..., x n } con a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Indicheremo con (a, b) l insieme di tutte le possibili suddivisioni dell intervallo [a, b]. () Teoria dell integrazione. 4 / 54

5 Somme superiori ed inferiori Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitata f : [a, b] R. Indichiamo con (a, b) l insieme delle possibili suddivisioni dell intervallo [a, b]. Definiamo su (a, b) due funzioni: la somma inferiore secondo Riemann s: s ({x 0,..., x n }, f ) = n 1 i=0 (x i+1 x i ) inf x [x i,x i+1 ] f (x) la somma superiore secondo Riemann S: S ({x 0,..., x n }, f ) = n 1 i=0 (x i+1 x i ) sup f (x) x [x i,x i+1 ] () Teoria dell integrazione. 5 / 54

6 Somme di Riemann () Teoria dell integrazione. 6 / 54

7 Somme di Riemann per funzione non continua () Teoria dell integrazione. 7 / 54

8 Limitatezza delle somme superiori ed inferiori Dalla definizione di somme superiori ed inferiori deriva direttamente che D (a, b) (b a) inf f (x) s (D, f ) S (D, f ) (b a) sup f (x) x [a,b] x [a,b] () Teoria dell integrazione. 8 / 54

9 Funzione Riemann integrabile Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitata f : [a, b] R, diremo che è integrabile secondo Riemann se e solo se sup s (D, f ) = inf S (D, f ), D (a,b) D (a,b) ovvero se e solo se l integrale inferiore secondo Riemann e l integrale superiore secondo Riemann assumono lo stesso valore e scriveremo b sup s (D, f ) = f (x) dx = inf S (D, f ). D (a,b) a D (a,b) Indichiamo la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann su [a, b] con R(a, b). () Teoria dell integrazione. 9 / 54

10 Integrale di Riemann di funzioni continue Se consideriamo x = (x i+1 x i ) costante, f funzione continua e chiamiamo gli intervalli I i := [x i, x i+1 ], allora le somme si scrivono A n = n 1 i=0 (x i+1 x i ) inf x [x i,x i+1 ] f (x) = x n i=1 min I i f (x), A n + = n 1 i=0 (x i+1 x i ) sup f (x) = x n i=1 max f (x). x [x i,x i+1 ] I i A = b a f (x) dx = lim n + A n = lim n + A+ n () Teoria dell integrazione. 10 / 54

11 Somme di Riemann () Teoria dell integrazione. 11 / 54

12 Riemann integrabilità delle funzioni continue Teorema Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R continua, allora questa funzione è Riemann integrabile. Continua Riemann Integrabile () Teoria dell integrazione. 12 / 54

13 Linearità e monotonia dell integrale Linearità. Dato un intervallo limitato [a, b] e date due funzioni f, g : [a, b] R Riemman integrabili, allora per ogni α, β R b a b b (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g (x) dx a a Monotonia. Inoltre se x [a, b] accade che f (x) g (x) allora b a f (x) dx b a g (x) dx () Teoria dell integrazione. 13 / 54

14 Additività rispetto all intervallo di integrazione Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R Riemman integrabile allora per ogni c (a, b) vale l equazione b a f (x) dx = c a b f (x) dx + f (x) dx c A volte torna utile attribuire un significato al simbolo b f (x) dx con c c > b, per poter utilizzare in ogni caso l equazione appena dimostrata. È quindi utile definire b c c f (x) dx = f (x) dx. b () Teoria dell integrazione. 14 / 54

15 Limitazioni dell integrale Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R Riemman integrabile, allora ovvero inf f (x) 1 b f (x) dx x [a,b] (b a) a sup f (x) x [a,b] b (b a) inf f (x) f (x) dx (b a) sup f (x) x [a,b] a x [a,b] () Teoria dell integrazione. 15 / 54

16 Teorema della media integrale Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R continua esiste c (a, b) tale che b a f (x) dx = f (c) (b a) Dimostrazione. Se la funzione è continua in un intervallo [a, b] allora la funzione assume ogni valore compreso tra inf x [a,b] f (x) e sup x [a,b] f (x) e dunque esisterà certamente c tale che f (c) = 1 b f (x) dx (b a) a () Teoria dell integrazione. 16 / 54

17 Teorema fondamentale del calcolo integrale Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R continua, indichiamo con A la funzione integrale (area) A (x) := x a f (z) dz allora A è continua in [a, b] ed inoltre per ogni x (a, b) d dx [A (x)] = A (x) = f (x) () Teoria dell integrazione. 17 / 54

18 Formula di Leibnitz Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R Riemman integrabile, allora se esiste F differenziabile su [a, b], tale che per ogni x (a, b) accade che F (x) = f (x), allora b f (x) dx = F (b) F (a). a Dimostrazione. A(x) e F (x) hanno entrambe come derivata f (x), allora esse differiscono per una costante. Esiste c R tale che Sia x = a, Sia ora x = b A(x) = F (x) + c per ogni x A(a) = a f (x) dx = 0 e dunque 0 = F (a) + c da cui a c = F (a) b a f (x) dx := A(b) = F (b) + c = F (b) F (a) () Teoria dell integrazione. 18 / 54

19 Funzione primitiva Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b] R, allora se esiste F differenziabile su [a, b], tale che per ogni x (a, b) F (x) = f (x) allora F (x) si chiama funzione primitiva di f (x) () Teoria dell integrazione. 19 / 54

20 Funzione primitiva Se F (x) è primitiva di f (x) allora anche F (x) + c è primitiva di f (x) Se F 1 (x), F 2 (x) sono primitive della stessa f (x) allora differiscono per una costante F 2 (x) = F 1 (x) + c, c R, c = 0 () Teoria dell integrazione. 20 / 54

21 Introduzione Ad una funzione data f posso associare la sua derivata derivata f : (a, b) R f : (a, b) R x f (x) x f (x) Esempio. f (x) = 3x 2 + 4x + 1 f (x) = 6x + 4 Possiamo tornare indietro? Ovvero una funzione data può essere vista come la derivata di un altra funzione? () Teoria dell integrazione. 21 / 54

22 Integrale indefinito, definizione Ad una funzione data f posso associare una sua primitiva derivata F : (a, b) R f : (a, b) R x F (x) x f (x) integrale F (x) = f (x) x (a, b) Esempio. f (x) = 3x 2 + 4x + 1 F (x) = x 3 + 2x 2 + x + c con c costante additiva arbitraria. () Teoria dell integrazione. 22 / 54

23 Integrale indefinito, notazione Definiamo f (x) dx = F (x) se e solo se F (x) = f (x) Osserviamo che la primitiva di una funzione è unica a meno di costanti additive partendo dalle regole di derivazione si possono costruire delle regole di integrazione () Teoria dell integrazione. 23 / 54

24 Linearità dell integrale Siano f, g : (a, b) R funzioni integrabili e α R, allora f (x) + g (x) dx = f (x) dx + g (x) dx α f (x) dx = α f (x) dx () Teoria dell integrazione. 24 / 54

25 Integrali immediati Esempi di integrali immediati dx xdx x 2 dx x n dx (x 4 + 3x 3 x + 1) dx e x dx 1/x dx definita in (0, + ) 1/x dx definita in (, 0) () Teoria dell integrazione. 25 / 54

26 Integrali per sostituzione Dalla formula di derivazione delle funzioni composte d dx [f (g (x))] = f (g (x)) g (x) quindi f (g (x)) g (x) dx = f (g (x)) + c () Teoria dell integrazione. 26 / 54

27 Formula di integrazione per sostituzione Vogliamo calcolare l integrale indefinito di un prodotto f (g (x)) g (x) dx e ci siamo accorti che: la seconda funzione è proprio la derivata dell argomento della prima funzione; sappiamo calcolare l integrale indefinito della funzione f (t) dt = F (t) (ovvero abbiamo posto t = g (x)); allora f (g (x)) g (x) dx = F (g (x)) + c () Teoria dell integrazione. 27 / 54

28 Integrali per sostituzione, esercizi Esercizi ( x 2 + 3x + 1 ) 4 (2x + 3) dx e x 3 x 2 dx x x 2 + 4dx x (x 2 +1) 2 dx () Teoria dell integrazione. 28 / 54

29 Integrali per parti Dalla formula di derivazione del prodotto di funzioni otteniamo d dx [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) quindi f (x) g (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx + c () Teoria dell integrazione. 29 / 54

30 Formula di integrazione per parti Vogliamo calcolare l integrale indefinito di un prodotto f (x) g (x) dx e ci siamo accorti che: allora sappiamo calcolare l integrale del primo fattore f (x) dx = F (x) l integrale F (x) g (x) dx è più agevole da calcolare rispetto a quello iniziale f (x) g (x) dx = F (x) g (x) F (x) g (x) dx }{{}}{{} fatto è più facile di quello iniziale () Teoria dell integrazione. 30 / 54

31 Integrali per parti, esercizi Esercizi ln (x) dx e x ( x 2 1 ) dx () Teoria dell integrazione. 31 / 54

32 Integrale definito e aree Come possiamo utilizzare questi risultati per calcolare esplicitamente aree legate a grafici di funzioni continue? Ricordiamo la formula di Leibniz. Sia f : [a, b] R una funzione continua, e sia F una sua primitiva, allora b a f (s) ds = F (b) F (a) () Teoria dell integrazione. 32 / 54

33 Esercizio Calcolare l area compresa tra le funzioni f (x) = x 2 e g (x) = x. I due grafici si intersecano nei punti in cui f (x) = g(x). Risolvendo x 2 = x, le soluzioni sono x = 0 e x = 1. Siccome in [0, 1] si ha f (x) g(x), l area viene ad essere Calcoliamo: Infine A = A = 1 0 f (x) dx = g(x) dx = g(x) dx f (x) dx [ 1 x 2 dx = 3 x 3 [ 1 x dx = 2 x 2 ] 1 ] 1 0 = = f (x) dx g(x) dx = = 1 6 () Teoria dell integrazione. 33 / 54

34 Integrazione di funzioni razionali Sappiamo che una funzione razionale è un rapporto di polinomi f (x) = N(x) D(x) = c 0 + c 1 x + + c m x m d 0 + d 1 x d n x n. Per essa sussiste la scomposizione f (x) = Q(x) + R(x) D(x) dove Q(x) e R(x) sono polinomi, il quoziente e il resto rispettivamente della divisione fra N(x) e D(x) e dove il grado di R(x) è minore di quello, n, del divisore D(x). La funzione razionale f (x) = N(x)/D(x) è definita e continua su tutti i reali in cui D(x) = 0. () Teoria dell integrazione. 34 / 54

35 Nel caso in cui m < n si ha che f (x) = Q(x) + R(x) D(x), (1) Q(x) = 0 e R(x) = N(x). Essa è detta propria se m < n, mentre è detta impropria se m n. In particolare, nella formula 1, il rapporto R(x)/D(x) è una funzione razionale propria. Se la funzione razionale 1 è definita sull intervallo [a, b], cioè se [a, b] {x R : D(x) = 0}, allora essa è ivi integrabile f (x) dx = Q(x) dx + R(x) D(x) dx. () Teoria dell integrazione. 35 / 54

36 Scomposizione in frazioni prime È possibile esprimere una primitiva di qualunque funzione razionale in termini di funzioni elementari, utilizzando eventualmente una funzione trigonometrica inversa. L idea è esprimere la frazione in somme di frazioni aventi come denominatori (potenze di) polinomi primi: R(x) D(x) = i,β i α i R i (x) D i (x) β i dove Esempi. D(x) = D i (x) α i i D(x) = x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) x x 3 1 = A x 1 + B(x) x 2 + x + 1 () Teoria dell integrazione. 36 / 54

37 Denominatore con fattori semplici Nel caso che f (x) = R(x) D(x) sia una funzione razionale propria il cui denominatore ammetta la seguente fattorizzazione f (x) = (x α 1 )(x α 2 )... (x α n ) con α 1, α 2,..., α n reali distinti, la funzione razionale ammette una scomposizione come somma β 1 x α 1 + β 2 x α β n x α n per opportuni ed unici β i reali, i = 1,..., n è chiaro qui che f (x) ha il dominio R \ {α 1, α 2,..., α n }. () Teoria dell integrazione. 37 / 54

38 Caso 1 Sull intervallo I = (b, + ) vale a dx = a ln(x b) + c, x b mentre sull intervallo I = (, b) vale a dx = a ln(b x) + c. x b La verifica è immediata in entrambe le situazioni, derivando i secondi membri. () Teoria dell integrazione. 38 / 54

39 Se f (x) ammette la scomposizione f (x) = (x α 1 )(x α 2 )... (x α n ) e se f (x) è definita sull intervallo [a, b], allora essa è ivi integrabile e vale f (x) dx = β β 2 x α 1 ossia (si ponga attenzione ai valori assoluti) β n x α 2 1 x α n dx f (x) dx = β 1 ln x α 1 + β 2 ln x α β n ln x α n + c. () Teoria dell integrazione. 39 / 54

40 Esempio. Sia data la funzione razionale (propria) f (x) = 2x 3 x 2 x 2 L equazione x 2 x 2 = 0 ha le radici reali distinte α 1 = 1 e α 2 = 2, per cui il denominatore si fattorizza in x 2 x 2 = (x + α 1 )(x α 2 ) = (x + 1)(x 2). Dovendo valere l identità 2x 3 x 2 x 2 = 2x 3 (x + 1)(x 2) = β 1 x β 2 x 2 per ogni x = 1, 2, occorre che 2x 3 = β 1 (x 2) + β 2 (x + 1) = (β 1 + β 2 )x 2β 1 + β 2. () Teoria dell integrazione. 40 / 54

41 Ciò vale per ogni x = 1, 2, se e solo se { β 1 + β 2 = 2, cioè se e solo se Otteniamo quindi la scomposizione 2β 1 β 2 = 3, β 1 = 5 3, β 2 = 1 3 f (x) = 2x 3 x 2 x 2 = 5/3 x /3 x 2 e infine, passando all integrale indefinito, f (x) dx = 2x 3 x 2 x 2 dx = 5/3 x + 1 dx + = 5 3 ln x ln x 2 + c. 3 1/3 x 2 dx () Teoria dell integrazione. 41 / 54

42 Se vogliamo utilizzare il risultato ottenuto per calcolare, in particolare, l integrale definito di f (x) su [ 0.5, 1.5], abbiamo f (x) dx = 5 3 ln x ln x = 5 3 (ln 2.5 ln 0.5 ) + 1 (ln 0.5 ln 2.5 ) 3 = 5 3 (ln(2.5) ln(0.5)) + 1 (ln(0.5) ln(2.5)) 3 = 4 3 (ln(2.5) ln(0.5)) = 4 ( ) ln = 4 ln () Teoria dell integrazione. 42 / 54

43 Intervalli d integrazione disposti in modi diversi dai precedenti sono [3, 5] e [ 3, 2] : per l integrale definito di f (x) su [ 3, 2] abbiamo 2 3 f (x) dx = 5 3 ln x ln x = 5 3 (ln 1 ln 2 ) + 1 (ln 4 ln 5 ) 3 = 5 3 (ln 1 ln 2) + 1 (ln 4 ln 5) 3 = 1 ( 5 ln 2 + ln 5 ) < Ha senso chiedere il calcolo dell integrale definito di f (x) sull intervallo [1, 4], né su [ 3, 0]? Come si fa? () Teoria dell integrazione. 43 / 54

44 Caso 2 Sull intervallo (b, + ) o su (, b) e se n 2 vale a (x b) n dx = a 1 n 1 (x b) n 1 + c Come per il caso 1, la verifica è immediata, derivando il secondo membro. () Teoria dell integrazione. 44 / 54

45 Denominatore con fattori multipli di primo grado Se ad esempio dobbiamo integrare f (x) = cerchiamo una scomposizione del tipo Soluzione: che si può integrare. f (x) = a x 2 + x (x 1) 2 (x 2) b x 1 + c (x 1) 2 x (x 1) 2 (x 2) = 4 x x (x 1) 2 () Teoria dell integrazione. 45 / 54

46 Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile Caso 3 Su qualunque intervallo [a, b] vale a (x b) 2 + a 2 dx = arctan 1 (x b) + c a Come per il caso 1, la verifica è immediata, derivando il secondo membro. Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi di secondo grado irriducibili (numeratore costante)! () Teoria dell integrazione. 46 / 54

47 Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile - II Caso 4 Su qualunque intervallo [a, b] vale 2(x b) (x b) 2 + a 2 dx = ln((x b)2 + a 2 ) + c Come per i casi precedenti, la verifica è immediata, derivando il secondo membro. Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi di secondo grado irriducibili, con numeratore polinomio di primo grado! () Teoria dell integrazione. 47 / 54

48 Denominatore qualsiasi Se ad esempio dobbiamo integrare x x 3 1 = A x 1 + B(x) x 2 + x + 1 la soluzione è x x 3 1 = 3 x x x 2 + x + 1 Il primo addendo si integra facilmente: Il secondo prima si scrive come 1 3 x 1 = 1 ln x 1 + c x x 2 + x + 1 = 3 x (x ) e poi si scrive come somma di Caso 3 e Caso 4! () Teoria dell integrazione. 48 / 54

49 Scomposizione Cerchiamo a e b tali che 2 3 x (x ) = a (x ) b 2(x ) (x ) Risulta b = 1 3, a = 0, quindi e quindi 2 3 x (x ) x (x ) = 1 3 ln ( ( x = 1 2(x ) 3 (x ) ) ) c = ln(x 2 + x + 1) + c () Teoria dell integrazione. 49 / 54

50 Integrali generalizzati Sia data una funzione f : [a, + ) R Riemman integrabile in ogni intervallo limitato [a, b] contenuto in [a, + ). La funzione si dice integrabile in senso generalizzato se e solo se esiste finito b lim b + a f (x) dx e in tal caso si scrive + a f (x) dx = b lim b + a f (x) dx Analogamente b f (x) dx = b lim a a f (x) dx () Teoria dell integrazione. 50 / 54

51 Integrali generalizzati + 1 b e x dx = lim b + a e x dx = lim b + [ e x ] x=b x=1 = lim b + ( e b + e 1 ) = e 1 = 1/e () Teoria dell integrazione. 51 / 54

52 Integrali generalizzati + Se α = 1 non è integrabile in [1, + ) Se α = b dx = lim x α b x α dx [ ] 1 1 x=b x α dx = lim b + 1 α x 1 α x=1 Se α < 1 allora Se α > 1 allora lim b + lim b + 1 ( b 1 α 1 ) = + 1 α ( ) α b α 1 1 = 1 α 1 () Teoria dell integrazione. 52 / 54

53 Integrale di Gauss + e x2 dx = π () Teoria dell integrazione. 53 / 54

54 Gittata Cardiaca La gittata cardiaca G è la quantità di sangue pompato dal cuore nell unità di tempo (minuto) per la misurazione di G si usa la diluizione iniettando quantità Q di tintura nell atrio destro e una sonda nell aorta misura la concentrazione c(t) di tale sostanza all istante t In un intervallo di tempo infinitesimo dt il cuore pompa una quantità di sangue pari a Gdt che contiene una quantità di tintura pari a dq = c(t)gdt dunque la quantità totale di tintura è da cui Q = T 0 dq(t) = T 0 Q G = T 0 c(t)dt c(t)gdt () Teoria dell integrazione. 54 / 54