Calcolo differenziale I

Transcript

1 Calcolo differenziale I Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 1 / 25

2 Definizione: rapporto incrementale Sia f : A R R. Dati x 1, x 2 A con x 1 x 2, chiamiamo rapporto incrementale di f tra x 1 e x 2 il quoziente f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 2 / 25

3 Definizione: derivata Sia f : A R, e sia x 0 un punto interno ad A. Se esiste in R il limite f (x) f (x 0 ) f (x 0 + t) f (x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 t 0 t esso viene chiamato derivata di f nel punto x 0 e si indica con f (x 0 ). Se f (x 0 ) R, allora f si dice derivabile in x 0. Notazioni alternative per f (x 0 ): Df (x 0 ), df dx (x 0). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 3 / 25

4 Esempi 1 La funzione f : R R data da f (x) = x 2 è derivabile in x 0 = 0 con f (0) = 0. 2 La funzione f : R R data da x se x 0 f (x) = x se x < 0 ammette la derivata in x 0 = 0 e vale f (0) = +. Quindi f non è derivabile in 0. 3 La funzione f : R R data da f (x) = x non ammette la derivata in x 0 = 0 in quanto f (t) f (0) lim t 0+ t lim t 0 f (t) f (0) t t = lim t 0+ t = lim t 0 t t t = lim t 0+ = lim t 0 t = 1 t t = 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 4 / 25

5 Definizione: funzione derivata Sia f : A R, tale che A = {x A : f è derivabile in x}. Chiamiamo funzione derivata di f la funzione f : A R x f (x) Esempio: data f (x) = x calcoliamo f f (x + t) f (x) (x) = lim = 2x t 0 t Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 5 / 25

6 Significato geometrico della derivata f (x 0 ) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di y = f (x) nel punto (x 0, f (x 0 )). La retta passante per (x 0, f (x 0 )) e per (x 1, f (x 1 )) ha equazione y = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). Per x 1 x 0 questa retta secante tende alla retta tangente di equazione y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 6 / 25

7 Derivate di alcubne funzioni elementari 1 Se f (x) = c per ogni x R, allora f (x) = 0 per ogni x R. 2 (x n ) = nx n 1 x R, n N. 3 (x a ) = ax a 1 x > 0, a R. 4 (a x ) = a x log a x R, a > 0. 5 (log x) = 1 x x > 0. 6 (sin x) = cos x e (cos x) = sin x x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 7 / 25

8 Teorema (funzioni derivabili sono continue) Siano f : A R e x 0 un punto interno ad A. Allora f derivabile in x 0 f continua in x 0. Dimostrazione: dobbiamo mostrare che Per x x 0 si ha lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ). Quindi, lim (f (x) f (x 0 )) = f (x 0 ) lim (x x 0 ) = 0 x x 0 x x0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 8 / 25

9 NOTA BENE: NON VALE f continua in x 0 f derivabile in x 0. Esempio La funzione f (x) = x è continua in x = 0 ma non vi è derivabile. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 9 / 25

10 Regole di derivazione Teorema di linearità Sia I intervallo e x 0 punto interno a I. Se f, g : I R sono derivabili in x 0, allora - c R la funzione c f è derivabile in x 0, con (cf ) (x 0 ) = c(f (x 0 )), - la funzione f + g è derivabile in x 0, con (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 10 / 25

11 Teorema (derivata del prodotto) Sia I intervallo e x 0 punto interno a I. Se f, g : I R sono funzioni derivabili in x 0, allora anche f g è derivabile in x 0, e si ha (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g (x 0 ) + f (x 0 )g(x 0 ). Dimostrazione: si ha (fg)(x) (fg)(x 0 ) = f (x)(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f (x) f (x 0 )) Siccome f è continua in x 0, ne segue che (fg)(x) (fg)(x 0 ) g(x) g(x 0 ) lim = lim f (x) lim x x 0 x x 0 x x0 x x0 x x 0 f (x) f (x 0 ) + g(x 0 ) lim x x0 x x 0 = f (x 0 ) g (x 0 ) + g(x 0 ) f (x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 11 / 25

12 Teorema (derivata della composizione di funzioni) Siano f : A R, g : A R. Sia x 0 un punto interno a A tale che f (x 0 ) è interno a B. Se f è derivabile in x 0 g è derivabile in f (x 0 ) allora g f è derivabile in x 0, e si ha (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 12 / 25

13 Conseguenze Sia f : A R derivabile in A. 1 se f (x) 0 x A, allora ( ) 1 = f (x) f (x) f 2 (x). 2 (e f (x) ) = e f (x) f (x). 3 (sin f (x)) = cos f (x) f (x). 4 (cos f (x)) = sin f (x) f (x). 5 se f > 0, allora (log f (x)) = f (x) f (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 13 / 25

14 Più in generale, date f, g : A R derivabil, f (x) > 0 x A, si ha ( f (x) g(x)) = g (x) log(f (x)) f (x) g(x) + g(x) f (x) f (x) g(x) 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 14 / 25

15 Teorema: derivata del quoziente Siano f, g : A R due funzioni derivabili in x 0 (un punto interno ad A), sia g(x 0 ) 0. Allora f g è derivabile in x 0 e vale ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g 2. (x 0 ) Dimostrazione: per i Teoremi della derivata del prodotto e della composizione si ha ( ) f (x 0 ) = f ( ) (x 0 ) 1 g g(x 0 ) + f (x 0) (x 0 ) = f (x 0 ) g g(x 0 ) f (x 0)g (x 0 ) g 2 (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g 2. (x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 15 / 25

16 Esempio Sia f (x) = tan(x) = sin x cos x, Dal teorema precedente segue che x ( π/2, π/2). f (x) = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 16 / 25

17 Derivazione della funzione inversa Teorema Sia I intervallo e sia f : I R una funzione continua e invertibile in I. Sia x 0 interno ad I. Se f è derivabile in x 0 e se f (x 0 ) 0, allora f 1 è derivabile in y 0 = f (x 0 ) e vale d ( f 1 ) (y 0 ) = 1 dy f (x 0 ) cioè ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Osservazione: Ricordiamo che una funzione f continua in I è invertibile in I se e solo se f è iniettiva in I. Onoltre, l inettività di f non garantisce che f (x 0 ) 0! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 17 / 25

18 Dimostrazione: sia y = f (x). Siccome f è iniettiva, per ogni x x 0 si ha y y 0 = f (x 0 ). Quindi d ( f 1 ) f 1 (y) f 1 (y 0 ) (y 0 ) = lim dy y y 0 y y 0 = lim y y 0 f 1 (y) f 1 (y 0 ) f (f 1 (y)) f (f 1 (y 0 )) da cui la tesi x x 0 = lim x x0 f (x) f (x 0 ) = 1 f (x 0 ), Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 18 / 25

19 Esercizi: Usando il teorema sulla derivata della funzione inversa, verificare che 1 d 1 dx (arcsin x) = 1 x x ( 1, 1). 2 2 d 1 dx (arccos x) = 1 x x ( 1, 1). 2 3 per a (0, + ) \ {1} e per ogni x > 0 vale d dx log a(x) = 1 x log e (a). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 19 / 25

20 Derivate destra e sinistra Definizione Sia f : A R e x 0 un punto interno ad A. (i) Se esiste il limite lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + t) f (x 0 ) = lim R, t 0 t esso viene chiamato derivata sinistra di f in x 0 e si indica con f (x 0 ). (ii) Se esiste il limite lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + t) f (x 0 ) = lim R t 0 + t esso viene chiamato derivata destra di f in x 0 e si indica con f +(x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 20 / 25

21 Teorema: legame fra la derivata e le derivate unilatere Siano f : I R e x 0 un punto interno ad I. Allora f (x 0 ) R se e solo se f +(x 0 ) R, f (x 0 ) R e f +(x 0 ) = f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 21 / 25

22 Esempio: la funzione modulo Sia f (x) = x e sia x 0 > 0. Allora rf (x, x 0 ) = x x 0 x x 0 = x x 0 x x 0 = 1 per tutti gli x > 0. Quindi f (x 0 ) = 1. Se invece x 0 < 0, allora rf (x, x 0 ) = x x 0 = x ( x 0) = 1 x x 0 x x 0 per tutti gli x < 0. Quindi f (x 0 ) = 1. Se x 0 = 0 si ha 1 se x > 0 rf (x, 0) = 1 se x < 0 Quindi f (x 0 ) = 1 e f +(x 0 ) = 1; in particolare non esiste f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 22 / 25

23 Classificazione dei punti di non derivabilità Sia f : A R e siax 0 un punto interno ad A tale che f è continua in x 0 f non è derivabile in x 0. Allora si presentano questi casi 1. Punto angoloso; 2. Punto a tangente verticale; 3. Cuspide Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 23 / 25

24 Definizione Sia f : A R e siax 0 un punto interno ad A. Diciamo che x 0 è 1 un punto angoloso se f (x 0 ), f +(x 0 ) R, (f (x 0 ) f +(x 0 )) e almeno una delle due è finita. 2 un punto di flesso a tangente verticale se f (x 0 ) = ±. 3 un punto di cuspide se f (x 0 ), f +(x 0 ) {, + }, f (x 0 ) f +(x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 24 / 25

25 Esempi 1 La funzione f : R R data da f (x) = x ha un punto angoloso in x 0 = 0 Infatti, si ha f (0) = 1, f +(0) = 1. 2 La funzione f : R R data da x se x 0 f (x) = x se x < 0 ha un punto di flesso a tangente verticale in x 0 = 0 : f (0) = +. 3 La funzione f : R R data da f (x) = x ha un punto di cuspide in x 0 = 0. In effetti, si ha f (0) =, f +(0) = +. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi Matematica 1 25 / 25