Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale

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1 Funzione derivabile. La derivata. Dati: f I R funzione; I R intervallo aperto ; x 0 I. Definizione (Derivata come ite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il ite del rapporto incrementale ( ) f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) x x 0 x x 0 h 0 h f si dice derivabile in x 0 e tale ite si chama la derivata di f nel punto x 0. Alcune notazioni per la derivata f df (x 0 ) dx (x 0) (Leibniz) Df (x 0 ) ḟ (x 0 ) (Newton) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 1/37 Il differenziale. Definizione (Funzione lineare) R T R si dice lineare se T (h) = L h, (L R fissato). Definizione (Il differenziale) Supponiamo f derivabile in x 0. Si chiama differenziale di f in x 0, e si denota df x0, la funzione lineare R df x 0 R h dfx0 (h) = f (x 0 ) h (1) Esempio f (x) = x 2 ; x 0 = 1; f (x 0 ) = 2x 0 = 2; df x0 : h 2h. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 2/37

2 Differenziabile equivale a derivabile Teorema (Proprietà di differenziabilità) 1 Se f è derivabile in x 0, allora si può scrivere: f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 ) h + o(h) per h 0 (2) 2 Se esiste una funzione lineare R R, h L h tale che f (x 0 + h) = f (x 0 ) + L h + o(h) per h 0 (3) allora f è derivabile in x 0 e L = f (x 0 ). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 3/37 Dimostrazione Implicazione (1): f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 ) h h 0 [ h ] f (x0 + h) f (x 0 ) f (x 0 ) h 0 h = = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 Implicazione (2): f (x 0 + h) f (x 0 ) h 0 h [ = L + o(h) ] h 0 h o(h) = L + h 0 h = L Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 4/37

3 Interpretazione geometrica del differenziale. df x0 (h)(= f (x 0 ) h) è la variazione dell ordinata, corrispondente all incremento h dell ascissa, letta sulla retta tangente (anziché sul grafico). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 5/37 Teoremi sulle derivate (1) Teorema (Derivabilità implica continuità) Se f è derivabile in x 0, allora è continua in x 0. Dimostrazione [f (x) f (x 0 )] = x x 0 x x0 [ ] f (x) f (x0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0 x x 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 6/37

4 Funzioni derivabili e non derivabili f (x 0 ) f +(x 0 ) Derivabile: esistono le rette tangenti Continua non derivabile Non continua (Salto) f (x) = x sin 1 x, f (0) = 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 7/37 Continua non derivabile Formule di derivazione (1) Teorema (Somma, prodotto, quoziente) Se f, g sono derivabili in x, allora: 1 f + g è derivabile in x, e (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 f g è derivabile in x, e vale la Regola di Leibniz: (f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) 3 (Derivata del quoziente) Se g(x) 0, allora il rapporto f /g è derivabile in x e si ha: ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) [ ] g 2 g(x) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 8/37

5 Derivata della funzione composta e della funzione inversa Teorema (Derivata della funzione composta. Chain Rule ) Se è definita la funzione composta g f, f è derivabile in x 0 e g è derivabile in y 0 = f (x 0 ), allora g f è derivabile in x 0 e si ha (g f ) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ) Teorema (Derivata della funzione inversa) Sia f una funzione reale definita su un intervallo I e invertibile. Supponiamo f derivabile in un punto x 0 I e f (x 0 ) 0. Allora la funzione inversa f 1 è derivabile nel punto y 0 = f (x 0 ) e si ha (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) (4) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 9/37 Alcune derivate importanti (Da dimostrare) 1 Dx α = αx α 1 2 De x = e x 3 D ln x = 1 x 4 D sin x = cos x 5 D cos x = sin x 6 D tan x = 1 cos 2 x 7 D arctan x = x 2 8 D sinh x = cosh x 9 D cosh x = sinh x Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 10/37

6 Punti di massimo o minimo locale per una funzione Definizione Sia D f R una funzione definita su un sottoinsieme D R. 1 Un punto x 0 D è punto di massimo locale per f, e il valore f (x 0 ) si chiama un massimo locale per f, se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x I D si abbia f (x 0 ) f (x) (5) 2 Un punto x 0 in D è un punto di minimo locale per f, e il valore f (x 0 ) si chiama un minimo locale per f, se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x I D si abbia f (x 0 ) f (x) (6) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 11/37 Teorema d Fermat Definizione Un punto x 0, appartenente a un insieme D R, si dice interno a D se esiste un intorno I (x 0 ; r) = (x 0 r, x 0 + r), di raggio r > 0, incluso in D: I (x 0 ; r) D Teorema (Fermat) Sia D f R una funzione a valori reali definita su un insieme D R. Supponiamo che: 1 x 0 sia un punto di massimo (o di minimo) locale per f ; 2 x 0 sia interno a D; 3 f sia derivabile in x 0. Allora x 0 è un punto stazionario di f, cioè f (x 0 ) = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 12/37

7 Dimostrazione del T. di Fermat Sia x 0 un punto di massimo locale per f. Esiste un intorno sufficientemente piccolo I di x 0 con le due proprietà seguenti: I D (perché x 0 è interno a D) e x I f (x) f (x 0 ) 0 (7) (perché x 0 è punto di massimo locale). Per ogni x I, x x 0, si ha allora f (x) f (x 0 ) 0 x x 0 (8) se x > x 0 e f (x) f (x 0 ) 0 x x 0 (9) se x < x 0. Passando al ite per x che tende a x 0, si ricava rispettivamente f (x 0 ) 0 e f (x 0 ) 0. Di conseguenza f (x 0 ) = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 13/37 Teorema di Rolle Teorema (Rolle, 1690) f Sia [a, b] R una funzione continua sull intervallo compatto [a, b] e derivabile sull intervallo aperto (a, b). Supponiamo f (a) = f (b) (10) Allora esiste (almeno) un punto γ (a, b) in cui la derivata di f si annulla: f (γ) = 0 (11) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 14/37

8 Dimostrazione del T. di Rolle Per il teorema di Weierstrass la funzione f, continua sul compatto [a, b], assume il suo valore massimo M e il suo valore minimo m. Questo significa che esiste (almeno) un punto x M [a, b] ed esiste (almeno) un punto x m [a, b] tali che f (x M ) = M e f (x m ) = m. Sono possibili due casi. 1 Sia x M che x m cadono negli estremi di [a, b]. In tale caso, per l ipotesi f (a) = f (b), si ha M = m. Ma allora f è costante, e quindi f (x) = 0 in ogni punto x di (a, b). 2 Almeno uno dei due punti x m, x M è interno ad [a, b]. Allora, per il teorema di Fermat, in un tale punto la derivata si annulla. Dunque, in ogni caso esiste (almeno) un punto γ nell intervallo aperto (a, b) in cui la derivata si annulla. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 15/37 Teorema del Valore Medio (di Lagrange) Teorema (del Valore Medio, o di Lagrange) f Sia [a, b] R una funzione continua sull intervallo compatto [a, b] e derivabile sull intervallo aperto (a, b). Allora esiste un punto γ (a, b) per il quale si ha f (b) f (a) = f (γ)(b a) (12) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 16/37

9 Dimostrazione del T. di Lagrange Si consideri la funzione g(x) = f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) (13) b a definita sull intervallo [a, b]. Tale funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Dunque, esiste un punto γ in (a, b) in cui g (γ) = 0. La derivata di g(x) è g (x) = f (x) f (b) f (a) b a Quindi si ha che è la tesi. 0 = g (γ) = f (γ) f (b) f (a) b a Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 17/37 Funzioni con derivata nulla su un intervallo Teorema Una funzione definita su un intervallo aperto I = (a, b) e con derivata nulla in ogni punto di tale intervallo è costante. Dimostrazione Prendiamo due punti x 1, x 2 in (a, b). Per il teorema di Lagrange, esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2, per il quale si ha: f (x 2 ) f (x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) = 0 (x 2 x 1 ) = 0 Ne segue f (x 1 ) = f (x 2 ). Quindi f è costante. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 18/37

10 Funzioni con derivate uguali su un intervallo Teorema Siano f e g due funzioni reali, definite su un intervallo aperto I = (a, b), con uguale derivata in ogni punto di I = (a, b): x I f (x) = g (x) (14) Allora f e g differiscono per una costante. Dimostrazione Applicare il Teorema precedente alla funzione ϕ(x) = f (x) g(x). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 19/37 Funzioni monotòne Definizione Una funzione D f R è crescente (o non decrescente) su D (sottoinsieme qualunque di R, non necessariamente un intervallo), se, per ogni x 1, x 2 D, Se per ogni x 1, x 2 D, x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) (15) x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) (16) diremo che f è strettamente crescente su D. In modo analogo si definiscono le funzioni decrescenti (o non crescenti) e le funzioni strettamente decrescenti. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 20/37

11 Funzioni strettamente monotòne Teorema (Funzioni derivabili strettamente monotòne) Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I. 1 Se f (x) > 0 in ogni punto x I, allora f è strettamente crescente su I. 2 Se f (x) < 0 in ogni punto x I, allora f è strettamente decrescente su I. Dimostrazione. (Implicazione (1)) Siano x 1, x 2 due punti di I, con x 1 < x 2. Per il Teorema di Lagrange esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2, per il quale f (x 1 ) f (x 2 ) = f (c) (x }{{} 1 x 2 ) }{{} >0 <0 < 0 Dunque f è strettamente crescente su I. (La (2) è analoga). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 21/37 Funzioni derivabili monotòne Teorema Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I. Allora: f crescente su I f (x) 0 per ogni x I Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 22/37

12 Dimostrazione: = Fissiamo x 0 I. Poiché, per ipotesi, f è crescente, il rapporto incrementale è sempre maggiore o uguale a zero. Quindi (Permanenza del Segno) il ite del rapporto incrementale, quando x tende a x 0, resta maggiore o uguale a zero: f (x 0 ) = x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 Dimostrazione: = Siano x 1, x 2 I, con x 1 < x 2. Per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c, x 1 < c < x 2, tale che f (x 1 ) f (x 2 ) = f (c) (x }{{} 1 x 2 ) }{{} 0 <0 0 Dunque f è crescente in I. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 23/37 Teorema di Cauchy Teorema (di Cauchy) Siano f e g due funzioni continue sull intervallo compatto [a, b] e derivabili sull intervallo aperto (a, b). Supponiamo g (x) 0 per ogni x in (a, b). Allora esiste (almeno) un punto γ (a, b) per il quale f (b) f (a) g(b) g(a) = f (γ) g (17) (γ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 24/37

13 Regole di de L Hospital Teorema (Joh. Bernoulli 1691, de L Hospital Caso 0 0.) Siano f e g due funzioni continue sull intervallo [x 0, b] (x 0 R) e derivabili in (x 0, b). Supponiamo che valgano le seguenti ipotesi: 1 f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0. 2 g (x) 0 per ogni x (x 0, b). 3 Esiste (finito o infinito) il ite x x + 0 Allora esiste anche il ite x x + 0 f (x) g(x) f (x) g (x) = L ed è uguale al precedente: x x + 0 f (x) g(x) = L Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 25/37 Dimostrazione di de L Hospital Caso L finito. Applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia di funzioni f,g sull intervallo [x 0, x]. Poiché f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0, per il teorema di Cauchy si ha f (x) g(x) = f (x) f (x 0) g(x) g(x 0 ) = f (γ) g (γ) per un opportuno γ soddisfacente x 0 < γ < x. Quando x tende a x 0, il punto γ, compreso tra x e x 0, deve tendere a x 0. Quindi, poiché f (x) g(x) = f (γ) g (γ) f (x) e x x + g = L, anche il ite (x) 0 essere uguale a L. x x + 0 f (x) g(x) deve esistere, e deve Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 26/37

14 Teorema (de L Hospital, caso. (Senza dimostrazione)) Siano f e g due funzioni continue sull intervallo [x 0, b] e derivabili in (x 0, b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni: 1 x x + 0 f (x) = x x + 0 g(x) = + 2 g (x) 0 per ogni x (x 0, b). 3 Esiste (finito o infinito) il ite x x + 0 f (x) g (x) = L (18) Allora esiste anche il ite x x + 0 f (x) g(x) ed è uguale al precedente: x x + 0 f (x) g(x) = L (19) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 27/37 (Non facciamo la dimostrazione). Altri casi di de L Hospital Infine, le regole di de L Hospital valgono anche per le forme di indeterminazione 0 0 o quando x tende a + o. L enunciato è sempre dello stesso tipo: se esiste il ite x + f (x) g (x) = L (finito o infinito) allora esiste anche il ite uguale al precedente: x + f (x) g(x) = L x + f (x) g(x) ed è Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 28/37

15 I polinomi di Taylor Teorema (Polinomio di Taylor) Sia f una funzione derivabile n volte in un punto x 0. Allora esiste un polinomio P n (x), e uno soltanto, di grado minore o uguale a n, che ha in comune con f, nel punto x 0, tutte le prime n derivate, cioè che soddisfa le n + 1 condizioni: P n (x 0 ) = f (x 0 ), P n(x 0 ) = f (x 0 ),..., P (n) n (x 0 ) = f (n) (x 0 ) Tale polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine n di f, centrato in x 0, è dato da: P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Problema fondamentale: Il resto = f (x) P n (x) =? Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 29/37 Studio locale (vicino a un punto x 0 ): Formula di Taylor con il resto di Peano Teorema (Formula di Taylor locale, con il resto di Peano) Sia f una funzione di classe C n su un intervallo aperto I dell asse reale. Fissiamo un punto x 0 in I. Allora vale la Formula di Taylor: f (x) = f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n +o((x x 0 ) n ) In particolare, se x 0 = 0, si ha la Formula (detta di Maclaurin): f (x) = f (0) + f (0)x n! f (n) (0)x n + o(x n ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 30/37

16 Dimostrazione della Formula di Taylor con il resto di Peano (Caso n = 2.) Usando due volte di seguito il teorema di L Hospital, abbiamo f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 x x 0 (x x 0 ) 2 = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 2(x x 0 ) f (x) f (x 0 ) x x 0 2 Poiché l ultimo ite (giustificato dalla continuità di f in x 0 ) esiste e vale 0, per il teorema di de L Hospital anche il ite iniziale esiste e vale 0, come volevamo dimostrare. = = 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 31/37 Alcuni importanti sviluppi locali di Taylor (resto di Peano) exp x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! + o(x n ) cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + + ( 1)n x 2n (2n)! + o(x 2n+1 ) sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! + o(x 2n+2 ) ln(1 + x) = x x x 3 3 x ( 1)n+1 x n n + o(x n ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 32/37

17 Altri sviluppi locali: Il binomio di Newton Per ogni α R: (1 + x) α = n k=0 ( ) α x k + o(x n ) k α(α 1) = 1 + αx + x 2 + 2! α(α 1) + (α n + 1) + x n + o(x n ) n! x = 1 x + x 2 x ( 1) n x n + o(x n ) 1 1 x = 1 + x + x 2 + x x n + o(x n ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 33/37 Altri sviluppi locali. (Taylor, resto di Peano) arctan x = x x x 5 5 x o(x 8 ) tan x = x x x 5 + o(x 6 ) (L espressione generale per i coefficienti è difficile.) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 34/37

18 Studio ( globale ) su un intervallo: Formula di Taylor con il resto di Lagrange Teorema (Formula di Taylor con il resto di Lagrange) Sia f una funzione derivabile n + 1 volte su un intervallo aperto I dell asse reale. Fissiamo un punto x 0 in I. Allora, per ogni altro punto x I esiste un punto c, compreso tra x 0 e x, per il quale vale: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n) n! (x 0)(x x 0 ) n + f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 35/37 Un applicazione importante: stima dell errore Problema Nell intervallo [0, π/4], approssimiamo sin x con il polinomio di Taylor P 3 (x) = x x 3 3! Dare una stima dell errore che si compie. Soluzione sin x = x x 3 L errore che si compie è dunque cos c x 5 (π/4) 5 5! 5! 3! + cos c 5! x 5 0, 0024 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 36/37

19 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 37/37