Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 2004

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 2004"

Transcript

1 1 Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 004 Formula di Taylor Generalizziamo la formula che abbiamo introdotto nella sezione 11 del capitolo 5, cercando d approssimare una funzione f con un polinomio di grado n (maggiore di due), vicino a un punto x 0. Datochepensiamodimuovercivicinoax 0, chiamiamo h l incremento della variabile x e cerchiamo d esprimere f (x 0 + h) come somma d un polinomio T n (h) (di grado massimo n) e d un termine (errore) trascurabile. Come si ricava T n (h)? L idea è che il polinomio che meglio approssima f vicino ad x 0, debba avere tutte le derivate (calcolate in h =0) uguali alle derivate di f in x 0.Posto,allora, si calcolano Sostituendo h =0,si ha T n (h) =a 0 + a 1 h + a h + + a n h n, Tn(h) 0 = a 1 +a h + + na n h n 1, Tn 00 (h) = a + + n(n 1)a n h n,. T n (n) (h) = a n. T n (0) = a 0, T 0 n(0) = a 1, T 00 n (0) = a,..., T (n) n (0) = a n, da cui a 0 = f(x 0 ), a 1 = f 0 (x 0 ), a = f 00 (x 0 ),..., a n = f (n) (x 0 ) e, quindi, il coefficiente del generico termine h k,,...,n è a k = f (k) (x 0 ). Il nostro candidato polinomio di Taylor d ordine 1 n, ha pertanto quest aspetto T n (h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + f 00 (x 0 ) h + + f (n) (x 0 ) h n. In che senso T n (h) approssima bene f in prossimità di x 0? Il teorema seguente ci informa che, se si sostituisce il valore del polinomio al valore di f in un punto x 0 + h vicino a x 0,sicommetteun errore trascurabile rispetto a h n (che tende cioè a zero più velocemente di h n ). Formula di Taylor (resto secondo Peano). Se f : (a, b) R èdifferenziabile n volte in x 0 (a, b), vale la formula f(x 0 + h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + f 00 (x 0 ) Ponendo f (0) (x 0 )=f(x 0 ), si può scrivere anche f(x 0 + h) = nx h + + f (n) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0. f (k) (x 0 ) h k + o(h n ), per h 0. (1) 1 Ovviamente,ilgradodelpolinomioèn solo se f (n) (x 0 ) 6= 0.

2 La (1) si chiama la formula di Taylor con centro in x 0, arrestata all ordine n, con resto secondo Peano. Ponendox = x 0 + h la (1) può anche essere scritta nella forma f(x) = nx f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o [(x x 0 ) n ], per x x 0. Dimostrazione. Dimostriamo il teorema col principio di induzione. La formula è vera per n =1, infatti coincide con la definizione di differenziabilità. Supponiamo che la formula sia vera per n e dimostriamola per n +1 (n 1). Dimostriamo, cioè, che, se f è derivabile n +1volte in x 0 f(x 0 + h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + + f (n+1) (x 0 ) h n+1 + o(h n+1 ), per h 0, (n +1)! ossia f(x 0 + h) f(x 0 ) f 0 (x 0 )h + f (n+1) (x 0 ) h n+1 (n +1)! lim h 0 h n+1 =0. Il limite può essere calcolato applicando il teorema di de l Hospital, di cui si verificano immediatamenteleipotesi(i)e(ii). Formula di Taylor con resto secondo Peano Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate; si ha f 0 (x 0 + h) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 )h + f (n+1) (x 0 ) h n lim h 0 (n +1)h n =0. () Infatti la () equivale a f 0 (x 0 + h) =f 0 (x 0 )+f 00 (x 0 )h + + f (n+1) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0. che è vera per l ipotesi di induzione, in quanto è la formula di Taylor arrestata all ordine n per la funzione f 0 (x). Per il principio di induzione, la (1) è vera per ogni n 1. Formula di Maclaurin. Nel caso particolare in cui x 0 =0, s ottiene la formula di Maclaurin (con resto secondo Peano). f(x) =f(0) + f 0 (0)x + f 00 (0) x + + f (n) (0) x n + o(x n ), per x 0. Scriviamo le formule di Maclaurin (arrestate all ordine n con resto secondo Peano) per le funzioni elementari. 1. Siaf (x) =e x.poiché f (n) (x) =e x e f (n) (0) = 1, siha e x =1+x + x + + xn + o(xn ), per x 0. In figura 1(a) è riportato il grafico della funzione f(x) =e x e dei polinomi di grado 3 e 6, che l approssimano.. Siaf(x) =ln(1+x). Si ha f 0 (x) = f 000 (x) = 1 1+x, 1 f00 (x) = (1 + x), (1 + x) 3,..., f(n) (x) =( 1) n 1 (n 1)! (1 + x) n

3 3 n = 7 n = 6 n = 4 (a) n = 3 (b) Figura 1. e, quindi, f(0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 1, f 000 (0) =,..., f (n) (0) = ( 1) (n 1) (n 1)!. La formula è ln(1 + x) =x x + x3 xn + +( 1)(n 1) 3 n + o(xn ), per x 0. In figura 1 (b) è riportato il grafico della funzione f(x) =ln(1+x) edeipolinomidigrado4e 7, che l approssimano. 3. Sianof(x) =sinx e g(x) =cosx Si ha f 0 (x) = g(x) =cosx, f 00 (x) =g 0 (x) = sin x, f 000 (x) = g 00 (x) = cos x, f (iv) (x) =g 000 (x) =sinx e così via. In 0 le derivate d ordine pari di f e quelle d ordine dispari di g sono nulle, le altre valgono alternativamente +1 o 1. Si ha sin x = x x3 3! + x5 xn+1 + +( 1)n 5! (n +1)! + o(xn+ ), per x 0, cos x = 1 x! + x4 xn + +( 1)n 4! (n)! + o(xn+1 ), per x 0. In figura è riportato il grafico della funzione f(x) =sinx e dei polinomi di grado 5 e 11, che l approssimano. 4. Siaf(x) =(1+x) a, α R. Siha e, quindi, f 0 (x) = α (1 + x) α 1, f 00 (x) =α (α 1) (1 + x) α,..., f (n) (x) = α (α 1) (α n +1)(1+x) α n, f(0) = 1, f 0 (0) = α, f 00 (0) = α (α 1),..., f (n) (0) = α (α 1) (α n +1). Posto µ α = k α (α 1) (α k +1),

4 4 n = 5 n = 11 Figura. per ogni α reale e per ogni k naturale,siricavalaformula µ µ α α (1 + x) a =1+αx + x + + x n + o(x n ), per x 0. n Nel caso in cui α = n, la formula ci dà lo sviluppo del binomio di Newton. Vogliamo ribadire che la formula di Taylor fornisce un informazione di carattere locale: in un intorno di x 0, f è bene approssimabile con il polinomio di Taylor. La formula non fornisce informazioni sull ampiezza di questo intorno. Nonostante i grafici con le funzioni esponenziale e seno, possano farlo pensare, non è assolutamente detto che, fissato un certo intervallo, all aumentare del grado del polimomio si abbia un approssimazione migliore. Per trovare conferma a quest osservazione si guardi il grafico con la funzione logaritmica. Test di riconoscimento dei punti stazionari Il seguente teorema generalizza il secondo test di riconoscimento dei punti stazionari. È utile in casi particolarmente sfortunati, ove un bel po di derivate dopo la prima s annullano nel punto stazionario. Si tratta, semplicemente, d andare avanti, finché se ne incontra una non nulla. Teorema. Sia f :(a, b) R differenziabile n volte in x 0 (a, b) con f 0 (x 0 )=f 00 (x 0 )= = f (n 1) (x 0 )=0, f (n) (x 0 ) 6= 0. Se n èparie f (n) (x 0 ) > 0 allora x 0 è punto di minimo locale (forte); se n èparie f (n) (x 0 ) < 0 allora x 0 è punto di massimo locale (forte); se n è dispari, allora x 0 non è punto di estremo locale. Dimostrazione. Dobbiamo studiare, per h piccolo, il segno dell incremento f = f(x 0 + h) f(x 0 ). Essendo verificate le ipotesi del teorema, possiamo applicare al formula di Taylor e scrivere dacuisiricava f(x 0 + h) =f(x 0 )+ f (n) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0, f(x 0 + h) f(x 0 )= f (n) (x 0 ) h n [1 + o(1)], per h 0,

5 in quanto l espressione f (n) (x 0 ) o(h n ) h n,perdefinizione del simbolo o, è una quantita infinitesima per h 0. Ora, l espressione tra parentesi quadre tende a 1 per h 0, quindi in un intorno di x 0,peril teorema della permanenza del segno è positiva. Il segno dell incremento f dipende dunque dal segno di f (n) (x 0 ) edih n. Se n èpari,h n è positivo per h 6= 0e, quindi, il segno di f coincide col segno di f (n) (x 0 ). Se f (n) (x 0 ) > 0, allora f, inunintornodix 0 (x 6= x 0 )èpositivoex 0 è un punto di minimo locale forte. Se f (n) (x 0 ) < 0, allora f, in un intorno di x 0 (x 6= x 0 ) è negativo e x 0 è un punto di massimo locale forte. Se n è dispari il segno di h n dipende da h e quindi il segno di f cambia a seconda che h sia positivo o negativo, quindi x 0 non è punto d estremo locale. Formula di Taylor con resto secondo Lagrange La formula vista nella sezione precedente ha validità locale, come abbiamo ribadito. Certi esempi fatti (soprattutto quello con la funzione seno) ci portano, però, a pensare che, con un polinomio di grado abbastanza elevato, l approssimazione possa essere buona non solo localmente. Ci chiediamo, quindi, se sia possibile approssimare una funzione su un intervallo fissato, con un polinomio di Taylor, avendo anche una stima quantitativa dell errore commesso. Data una funzione f :(a, b) R differenziabile almeno sino all ordine n +1 e x 0 (a, b), vogliamo valutare la differenza f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) f 00 (x 0 ) (x x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n su tutto l intervallo (a, b). Iniziamo col considerare n =1e cerchiamo di valutare la differenza R (x) =f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ), che rappresenta lo scarto tra f e la retta tangente. Ipotizziamo tale scarto proporzionale a (x x 0 ) e supponiamo di poter scrivere f (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+b(x x 0 ) in cui lasciamo, per il momento, indeterminato il coefficiente b, che(illettoreincuorsuogiàsa) sceglieremo poi in maniera furba. Il teorema che subito vediamo consente di controllare l errore fornendoci una rappresentazione statica del resto R (x), ove statica significa con x fissato. Teorema. Sia f una funzione due volte differenziabile nell intervallo (a, b) esianox 0,x punti di (a, b). Allora esiste almeno un punto c tra x 0 e x tale che f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (c) (x x 0 ). (3) La (3) prende il nome di formula di Taylor arrestata al second ordine con centro in x 0 eresto secondo Lagrange. Scrivendola nella forma f(x) f(x 0 ) x x 0 = f 0 (x 0 )+ f 00 (c) (x x 0 ) essa appare come una generalizzazione del teorema del valor medio. Proprio a questo teorema si riconduce la prova. Dimostrazione. Poniamo w (x) =f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) b(x x 0 ), 5

6 6 da cui w 0 (x) =f 0 (x) f 0 (x 0 ) b(x x 0 ). Tale derivata è nulla in x 0 e possiamo scegliere b in modo che sia anche w 0 (x) =0: basta infatti che sia b = 1 f 0 (x) f 0 (x 0 ). x x 0 Valgono le ipotesi del teorema di Lagrange e pertanto esiste c tra x e x 0 tale che w 00 (c) =0.Poiché w 00 (x) =f 00 (x) b, esiste c tra x e x 0 tale che f 00 (c) b =0, da cui b = f 00 (c). Dall espressione trovata per il resto secondo Lagrange discendono maggiorazioni per R (x). Sela derivata seconda di f non supera mai in modulo un numero M>0tra x 0 e x, potremo asserire che l errore di approssimazione non eccede M (x x 0). Consideriamo, per esempio, la funzione sin x in prossimità di x 0 =0. Questa nuova versione della formula di Taylor ci garantisce che sin x =sin0+xcos ( sin c) x = x + x ( sin c), con c tra 0 e x. Poiché il seno d un angolo non supera mai 1 in modulo (M =1)otteniamo T (x) = sin x x x Così, se sostituissimo sin 1/100 con 1/100 commetteremmo un errore non oltre 1/0000 = 0, Questa formula di Taylor può essere estesa oltre il second ordine in maniera affatto analoga. Formula di Taylor (resto secondo Lagrange). Sia f :(a, b) R differenziabile n +1volte in (a, b), esianox 0,x (a, b). Allora, esiste almeno un punto c tra x 0 e x tale che Per esteso: f(x) = nx f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (c) (n +1)! (x x 0) n+1. (4) f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) (n +1)! (x x 0) n+1. Ponendo x = x 0 + h, la(4)diviene f(x 0 + h) = nx f (k) (x 0 ) h k + f (n+1) (c) (n +1)! hn+1, con c punto opportuno tra x 0 e x 0 + h. Se si riesce a dimostrare che f (n+1) non supera in valore assoluto una certa costante M, cioèse f (n+1) (x) M, perognix (a, b), allora anche f (n+1) (c) M e si può avere una valutazione dell errore che si commette sostituendo a f il polinomio di Taylor. f(x 0 + h) T n (h) = f (n+1) (c) (n +1)! h n+1 M (n +1)! h n+1.

7 Formula di Maclaurin. Se nella (4) si pone x 0 =0, s ottiene la formula di Maclaurin con resto secondo Lagrange: Serie di Taylor f(x) =f(0) + f 0 (0)x + f 00 (0) x + + f (n) (0) x n + f (n+1) (c) (n +1)! xn+1. (5) Tracciando il grafico della funzione f(x) =e x e di alcuni sui polinomi di Maclaurin, abbiamo visto che questi ultimi approssimano bene f in intervalli di sempre maggior ampiezza, al crescere del grado. Viene spontaneo chiedersi, dato che f(x) =e x èdifferenziabile infinite volte, cosa succede facendo tendere n a +. Non ci meraviglieremmo troppo se risultasse e x = x n. (6) Sappiamo già che la serie scritta a destra converge per ogni x R (vedi l esempio 1 della sezione 5 del capitolo 6), occorre solo controllare che la somma sia proprio e x. Il termine s n (x) della successione delle ridotte della serie (6) coincide con il polinomio di Maclaurin di grado n. nx x k s n (x) = e, per la formula (5), R n (x) =e x s n (x) = ec x n+1 (n +1)! Dimostriamo che R n (x) 0. Sex =0e n 1, R n (x) =0;sex>0, e c <e x e 0 <R n (x) < ex x n+1 (n +1)! ; se x<0, e c < 1 e 0 <R n (x) < xn+1 (n +1)!. In entrambi i casi, il fattoriale (n +1)!trascina a zero il quoziente anche quando x > 1. La (6) è, dunque, vera per ogni x R. In particolare, per x =1si ha 1 = e. Definizione. Se una funzione f :(a, b) R ammette derivate di qualsiasi ordine in x 0 (a, b), possiamo scrivere la serie f (n) (x 0 ) (x x 0) n. (7) che si chiama serie di Taylor associata a f. L esempio fatto in precedenza potrebbe far pensare che per ogni x (a, b) la serie converga a f (x). Questo non è vero sempre. Si possono fornire esempi di comportamenti piuttosto curiosi della serie di Taylor: essa, pur convergendo in x, potrebbe avere somma diversa da f (x). In altri casi la serie potrebbe divergere in x anche se x è nel dominio di f. Esempio 5. Siaf(x) =ln(1+x); la serie di Maclaurin ad essa associata è n=1 ( 1) n 1 xn n. 7

8 8 Tale serie converge solo per 1 <x 1 (per x = 1 ha lo stesso carattere della serie armonica e, per x > 1, il termine generale non tende a zero). Si può controllare che n=1 ( 1) n 1 xn n =ln(1+x), x ( 1, 1]. In particolare n=1 ( 1) n 1 1 n =ln. Perché la serie (7) converga alla funzione f in (a, b) la differenza tra il polinomio di Taylor T n (x) e f deve tendere a zero per n +, cioè f (x) T n (x) =R n (x) = f (n+1) (c) (n +1)! xn+1 deve tendere a zero per ogni x (a, b). Ciò accade sicuramente, se le derivate di f sono limitate, come per le funzioni seno e coseno. Si ha, infatti, per ogni x R, sin x = ( 1) n xn+1 + (n +1)!, cos x = X ( 1) n xn (n)!. c DEGLIAUTORI-Tuttiidirittiriservati

Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni

Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni Analisi matematica I e applicazioni Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni 2 2006 Politecnico di Torino 1 e applicazioni Formule di Taylor con resto di Peano: caso e n =0 n =1 Formule di Taylor

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

Corso di Analisi Numerica

Corso di Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di 4 - DERIVAZIONE NUMERICA Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Calcolo numerico delle derivate 2 3 Introduzione Idea di base L idea di base

Dettagli

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III) Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo

Dettagli

Esercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x.

Esercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x. I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni.

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Università di Pisa. Prima prova scritta di Analisi Matematica I. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la successione c n ) n N definita dalla

Dettagli

Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti.

Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti. Capitolo 7 Limiti di funzioni Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti. Ricordiamo che un asintoto verticale = a si presenta

Dettagli

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire solamente i concetti fondamentali

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Le Derivate Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

Derivate. Capitolo Cos è la derivata?

Derivate. Capitolo Cos è la derivata? Capitolo 8 Derivate 8.1 Cos è la derivata? Consideriamo una funzione y f(x) e disegnamo il suo grafico. Sia x 0 nel dominio di f e consideriamo il punto (x 0, f(x 0 )) del grafico. Vogliamo determinare

Dettagli

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento:

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

I LIMITI. non è definita per valori della x uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile x, che si chiama dominio, è

I LIMITI. non è definita per valori della x uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile x, che si chiama dominio, è I LIMITI LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A UN VALORE FINITO. Tra i tanti obiettivi che l analisi matematica si prefigge vi è quello di tracciare i grafici delle funzioni nel piano cartesiano

Dettagli

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili 5. Determinare, al variare del parametro a R, la natura delle seguenti forme quadratiche: (i) Φ(x, y, z) = x 2 + 2axy + y 2 + 2axz + z 2, (ii) Φ(x, y, z, t) = 2x 2 + ay 2 z 2 t 2 + 2xz + 4yt + 2azt. 4.11

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{

Dettagli

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori. Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13 Programma di Analisi matematica 1 - A13106 Anno accademico 2015-2016 Prof. Giulio Starita 1 - Insiemi, logica, numeri I concetti primitivi.

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006 Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 6 ESERCIZI. Studiare la convergenza della serie numerica al variare di γ IR.. Calcolare l integrale π n=

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y. Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011 LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

2. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA

2. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA . SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA Esempi 1. Un auto viaggia lungo un percorso rettilineo, con velocità costante uguale a 70 km/h. Scrivere la legge oraria s= s(t) e rappresentarla graficamente. 1. Scriviamo

Dettagli

Coseno, seno, e pi greco

Coseno, seno, e pi greco L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 1 Coseno, seno, e pi greco In queste note daremo una presentazione analitica e autocontenuta della definizione e delle proprietà fondamentali

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ I LIMITI

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~  I LIMITI I LIMITI Cenni storici Il concetto di ite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio da Archimede, ed è stato utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli

Esercizi per il corso Matematica clea

Esercizi per il corso Matematica clea Esercizi per il corso Matematica clea Daniele Ritelli anno accademico 008/009 Lezione : Numeri naturali e principio di induzione Esercizi svolti. Provare che + + + n. Provare che + + + n n(n + ) n(n +

Dettagli

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =,

Dettagli

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni Capitolo 1 Gli strumenti Consideriamo un insieme X. In geometria siamo abituati a considerare insiemi i cui elementi sono punti ad esempio, la retta reale, il piano cartesiano. Più in generale i matematici

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Derivate delle funzioni di una variabile.

Derivate delle funzioni di una variabile. Derivate delle funzioni di una variabile. Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. I problemi

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo

Dettagli

Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton

Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton Programma di Analisi 1 Note: - I programmi presentati sono estratti ed integrati da Programmi previsti in diverse Università, possono pertanto contenere parti simili, o in più, dei programmi ufficiali.

Dettagli

MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013

MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013 MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013 Soluzioni 1. Due sperimentatori hanno rilevato rispettivamente 25 e 5 misure di una certa grandezza lineare e calcolato le medie che sono risultate

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCIZI SUI LIMITI 2

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCIZI SUI LIMITI 2 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I ESERCIZI SUI LIMITI CALCOLARE IL VALORE DEI SEGUENTI LIMITI sine 4 log e e sin e 5 tan sin 5 7 tan 9 sin + e e + 4 6 8 + 0 n + log +

Dettagli

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Successioni di funzioni: esercizi svolti

Successioni di funzioni: esercizi svolti Successioni di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare il limite puntuale delle seguenti successioni di

Dettagli

= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )

= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 ) ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.1 su derivate: la definzione Classe 5B Sc.Soc. Data:...... Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012 Analisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 212 Indice Capitolo 1. Programma 5 Capitolo 2. Convergenza uniforme 7 1. Convergenza uniforme e continuità 7 2. Criterio di Abel Dirichlet

Dettagli

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0. D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014 Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 8 Gennaio 214 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile. (1) (Punti 8)

Dettagli

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 6 settembre 5 iv Indice Numeri reali Ordine fra numeri reali Funzioni reali 4 Radici aritmetiche 7 4 Valore assoluto 9 5 Polinomi 6 Equazioni 7 Disequazioni

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE

LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE INTRODUZIONE In generale, abbiamo un idea chiara del significato di pendenza quando viene utilizzata in contesti concernenti l esperienza quotidiana, ad esempio quando

Dettagli

DERIVATE. 1.Definizione di derivata.

DERIVATE. 1.Definizione di derivata. DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al

Dettagli

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)

Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,

Dettagli

Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).

Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora

Dettagli

Primitive e Integrali Indefiniti

Primitive e Integrali Indefiniti Capitolo 0 Primitive e Integrali Indefiniti In questo capitolo ci proponiamo di esporre la teoria delle funzioni primitive per funzioni reali di una variabile reale e di dare cenni ai metodi utilizzati

Dettagli

Limiti e continuità Test di autovalutazione

Limiti e continuità Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia A R tale che sup A = 2 e inf A = 0. Allora, necessariamente 2 A (b) esiste x A tale che 0 < x < 2 (c) esiste x A tale che x > 1 0 A 2. Il prodotto delle funzioni x e ln x

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 214 1. Per determinare f() e f(k), applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale, che si può applicare essendo f continua per ipotesi: g() = f(t)dt

Dettagli

Problemi di massimo e minimo

Problemi di massimo e minimo Problemi di massimo e minimo Supponiamo di avere una funzione continua in Per il teorema di Weierstrass esistono il massimo assoluto M e il minimo assoluto m I problemi di massimo e minimo sono problemi

Dettagli

INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI VERTICALI

INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI VERTICALI 2.13 ASINTOTI 44 Un "asintoto", per una funzione y = f( ), è una retta alla quale il grafico della funzione "si avvicina indefinitamente", "si avvicina di tanto quanto noi vogliamo", nel senso precisato

Dettagli

k=0 a k k=0 a k, quando si voglia precisare qual è l indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo k=1 a k, k=50 a k,

k=0 a k k=0 a k, quando si voglia precisare qual è l indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo k=1 a k, k=50 a k, 2.2 Serie Le serie numeriche sono semplicemente successioni reali o complesse di tipo particolare, che però, per la loro importanza pratica e teorica, meritano una trattazione a parte. Data una successione

Dettagli

8. Completamento di uno spazio di misura.

8. Completamento di uno spazio di misura. 8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme

Dettagli

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

Il metodo di Gauss-Newton per le regressioni non-lineari

Il metodo di Gauss-Newton per le regressioni non-lineari Il metodo di Gauss-Newton per le regressioni non-lineari Andrea Onofri Dipartimento di Scienze Agrarie ed Ambientali Università degli Studi di Perugia Versione on-line: http://www.unipg.it/ onofri/rtutorial/index.html

Dettagli

INTEGRALI Test di autovalutazione

INTEGRALI Test di autovalutazione INTEGRALI Test di autovalutazione. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d 2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei

Dettagli

Lezione 5 (9/10/2014)

Lezione 5 (9/10/2014) Lezione 5 (9/10/2014) Esercizi svolti a lezione Nota 1. La derivata di una funzione. Consideriamo una funzione f(x) : R R e definiamo il rapporto incrementale nel punto x 0 come r(h) = f(x 0 +h) f(x 0

Dettagli

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE

Dettagli

Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12

Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12 Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12 Martedì 4 Ottobre Settembre 2011 16-19 3 ore Numeri naturali. Definizione di minimo di un sottoinsieme di

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità.

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità. PROF.SSA MAIOLINO D. TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se una unzione y( è derivabile in un punto 0, allora è continua in 0. La condizione di continuità di una unzione

Dettagli

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli