Successioni di funzioni: esercizi svolti

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1 Successioni di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare il limite puntuale delle seguenti successioni di funzioni e stabilire se la convergenza è uniforme a f n x = e, x 0, 1 converge ma non uniformemente a fx = 0 b f n x = n 2 1 x 2n, x 1, 1 converge uniformemente a fx = 0 1 se 1 x 1 n, converge ma non uniformemente a c f n x = se 1 n < x < 1 n, 1 se 1 x < 0, 1 se 1 fx = 0 se x = 0, n x 1 1 se 0 < x 1 d f n x = n se 0 < x < 1 n, 1 x se 1 n x 1 converge ma non uniformemente a fx = 1 x 1 se 0 < x < 1 n, e f n x = 0 se 1 converge ma non uniformemente a fx = 0 n x 1 f f n x = 1 xx n, x 0, 1 converge uniformemente a fx = 0 g f n x = x n, x 0, 1 h f n x = converge ma non uniformemente a { 0 se 0 x < 1, fx = 1 se x = n 2, x 1, 1 converge ma non uniformemente a fx = 0 x2 1

2 2 Successioni di funzioni: esercizi svolti 1 n se 0 < x < 1 n, k f n x = 0 se 1 converge uniformemente a fx = 0 n x 1 Svolgimento a Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = e per ogni x 0, 1 Si ha che per ogni x 0, 1 f n x = e = 0 Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 0, 1 Calcoliamo il limite f n f = f n x fx x 0,1 = limn e x 0,1 Calcoliamo il x 0,1 e Poichè per ogni n N la funzione f n x = e è continua su 0, 1, per il Teorema di Weierstrass ammette massimo Ne segue che e = max e x 0,1 x 0,1 Osserviamo che f n è anche derivabile su 0, 1 con f = n1 e Quindi per ogni n 1 si ha che f = 0 per x = 1 n 0, 1 e f > 0 per 0 x < 1 n Ne segue che x = 1 n è il punto di massimo di f n su 0, 1 e Pertanto si ha che max e 1 = f = e x 0,1 n 1 f n f = x 0,1 e = e 1 0 Ne segue che la successione f n non converge uniformemente a f su 0, 1 b Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = n 2 1 x 2n per ogni x 1, 1 Si ha che per ogni x 1, 1 f n x = n 2 1 x 2n = 0

3 Successioni di funzioni: esercizi svolti 3 Quindi la successione f n tende puntualmente su 1, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 1, 1 Calcoliamo il limite f n f = f n x fx x 1,1 = limn n 2 1 x 2n x 1,1 Calcoliamo il n 2 1 x 2n Poichè per ogni n N la funzione f n x = x 1,1 n 2 1 x 2n è continua su 1, 1, per il Teorema di Weierstrass ammette massimo Ne segue che n 2 1 x 2n = max n 2 1 x 2n x 1,1 x 1,1 Osserviamo che f n è anche derivabile su 1, 1 con x2n 1 f = n 1 x 2n Quindi per ogni n 1 si ha che f = 0 per x = 0 1, 1 e f > 0 per 1 < x < 0 Ne segue che x = 0 è il punto di massimo di f n su 1, 1 e Pertanto si ha che f n f = max n 2 1 x 2n = f0 = 1 x 1,1 n 2 x 1,1 n 2 1 x 2n = 1 n 2 = 0 Ne segue che la successione f n converge uniformemente a f su 1, 1 c Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove 1 se 1 x 1 n, f n x = se 1 n < x < 1 n, 1 se 1 n x 1

4 4 Successioni di funzioni: esercizi svolti Fig a: Grafico di f n per n = 2 Essendo f n dispari per ogni n 1, è sufficiente considerare x 0, 1 Per x = 0 si ha che f n 0 = 0 per ogni n Ne segue che f n 0 = 0 Quindi la successione f n converge puntualmente a 0 in x = 0 Sia ora x 0, 1 Poichè 1 n 0 per n +, si ha che definitivamente 1 n x, cioè esiste N N tale che per ogni n N si ha 1 n x Ne segue che per ogni n N si ha f n x = 1 Quindi se x 0, 1 si ha che lim f n x = 1 n Per simmetria si ha che se x 1, 0 f n x = 1 Quindi la successione f n tende puntualmente su 1, 1 alla funzione 1 se 1 x < 0, fx = 0 se x = 0, 1 se 0 < x 1 Poichè le funzioni f n sono continue mentre f non è continua su 1, 1, si ha che la successione f n non converge uniformemente a f su 1, 1 d Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = n se 0 < x < 1 n, 1 x se 1 n x 1

5 Successioni di funzioni: esercizi svolti Fig b: Grafico di f n per n = 2 Sia x 0, 1 Poichè 1 n 0 per n +, si ha che definitivamente 1 n x, cioè esiste N N tale che per ogni n N si ha 1 n x Ne segue che per ogni n N si ha f n x = 1 x Quindi se x 0, 1 si ha che f n x = 1 x Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione fx = 1 x Poichè la funzione f non è limitata su 0, 1, si ha che la successione f n non converge uniformemente a f su 0, 1 e Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove 1 se 0 < x < 1 n, f n x = 0 se 1 n x Fig c: Grafico di f n per n = 2

6 6 Successioni di funzioni: esercizi svolti Sia x 0, 1 Poichè 1 n 0 per n +, si ha che definitivamente 1 n x, cioè esiste N N tale che per ogni n N si ha 1 n x Ne segue che per ogni n N si ha f n x = 0 Quindi se x 0, 1 si ha che f n x = 0 Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 0, 1 Calcoliamo il limite f n f = Si ha che per ogni n N Pertanto si ha che f n x fx x 0,1 f n x = 1 x 0,1 f n f = f n x x 0,1 = limn = 1 0 f n x x 0,1 Ne segue che la successione f n non converge uniformemente a f su 0, 1 Osservazione a La funzione limite f è continua, mentre le funzioni f n sono discontinue su 0, 1 Nonostante ciò non è possibile concludere che la convergenza non è uniforme Infatti, si può concludere che la convergenza non è uniforme solo quando le funzioni f n sono continue e la funzione limite f non lo è b Se definiamo f n anche in x = 0 con il valore f n 0 = 1, allora la funzione limite f è definita in x = 0 con il valore f0 = 1 In tal caso sia le f n che f sono discontinue su 0, 1 Nonostante ciò non è possibile concludere che la convergenza non è uniforme Infatti, si può concludere che la convergenza non è uniforme solo quando le funzioni f n sono continue e la funzione limite f non lo è Per studiare la convergenza uniforme bisogna procedere come nel caso precedente Si ha che f n f = f n x fx x 0,1 = 1 0 Ne segue che anche in questo caso la successione f n non converge uniformemente a f su 0, 1

7 Successioni di funzioni: esercizi svolti 7 f Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = 1 xx n per ogni x 0, 1 Si ha che per ogni x 0, 1 f n x = 1 xx n = 0 Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 0, 1 Calcoliamo il limite f n f = f n x fx x 0,1 = limn x 0,1 1 xx n Calcoliamo il 1 xx n Poichè per ogni n N la funzione f n x = 1 x 0,1 xx n è continua su 0, 1, per il Teorema di Weierstrass ammette massimo Ne segue che 1 xx n = max 1 xx n x 0,1 x 0,1 Osserviamo che f n è anche derivabile su 0, 1 con f = n n + 1xx n 1 Quindi per ogni n 1 si ha che f = 0 per x = 0, 0 < x < n n n+1 Ne segue che x = Pertanto si ha che max 1 xx n = f x 0,1 f n f = n n+1 0, 1 e f > 0 per n+1 è il punto di massimo di f n su 0, 1 e n = 1 n n n + 1 n + 1 n + 1 x 0,1 1 xx n 1 = n + 1 n n = 0 n + 1 Ne segue che la successione f n converge uniformemente a f su 0, 1 g Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = x n per ogni x 0, 1 Si ha che per ogni x 0, 1 { 0 se 0 x < 1, lim f n x = lim x n = n n 1 se x = 1 Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione { 0 se 0 x < 1, fx = 1 se x = 1 Poichè le funzioni f n sono continue mentre f non è continua su 0, 1, si ha che la successione f n non converge uniformemente a f su 0, 1

8 8 Successioni di funzioni: esercizi svolti h Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove f n x = 1+n 2 x 2 per ogni x 1, 1 Si ha che per ogni x 1, 1 f n x = 1 + n 2 x 2 = 0 Quindi la successione f n tende puntualmente su 1, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 1, 1 Calcoliamo il limite f n f = Calcoliamo il x 1,1 f n x fx x 1,1 = limn x 1,1 1 + n 2 x 2 Essendo f n dispari, si ha che x 1,1 1 + n 2 x 2 = x 0,1 1 + n 2 x n 2 x 2 Poichè per ogni n N la funzione f n x = è continua su 0, 1, per il 1+n 2 x 2 Teorema di Weierstrass ammette massimo Ne segue che x 0,1 1 + n 2 x 2 = max x 0,1 Osserviamo che f n è anche derivabile su 0, 1 con f = n1 n2 x n 2 x n 2 x 2 Quindi per ogni n 1 si ha che f = 0 per x = 1 n 0, 1 e f > 0 per 0 x < 1 n Ne segue che x = 1 n è il punto di massimo di f n su 0, 1 e Pertanto si ha che max x 0,1 1 + n 2 x 2 f n f = 1 = f = n 1 2 x 1,1 1 + n 2 x 2 = 1 2 Ne segue che la successione f n non converge uniformemente a f su 1, 1 k Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione f n, dove 1 n se 0 < x < 1 n, f n x = 0 se 1 n x 1

9 Successioni di funzioni: esercizi svolti Fig d: Grafico di f n per n = 2 Sia x 0, 1 Poichè 1 n 0 per n +, si ha che definitivamente 1 n x, cioè esiste N N tale che per ogni n N si ha 1 n x Ne segue che per ogni n N si ha f n x = 0 Quindi se x 0, 1 si ha che f n x = 0 Quindi la successione f n tende puntualmente su 0, 1 alla funzione fx = 0 Studiamo ora la convergenza uniforme della successione f n a f su 0, 1 Calcoliamo il limite f n f = Si ha che per ogni n N Pertanto si ha che f n f = f n x fx x 0,1 f n x = 1 x 0,1 n f n x x 0,1 = limn = 1 n = 0 f n x x 0,1 Ne segue che la successione f n converge uniformemente a f su 0, 1 Osservazione La funzione limite f è continua, mentre le funzioni f n sono discontinue su 0, 1 Nonostante ciò la convergenza è uniforme Infatti, si può concludere che la convergenza non è uniforme solo quando le funzioni f n sono continue e la funzione limite f non lo è

10 10 Successioni di funzioni: esercizi svolti * Esercizio 2 Per ogni n N, n 1 siano k n = max{k N : 2 k 1 n}, n k n I n = 2 k, n + 2 2k n n 2 k n e f n : 0, 1 R la funzione definita da { 1 se x In, f n x = 0 se x 0, 1 \ I n Verificare che la successione f n non converge puntualmente in alcun punto di 0, 1 Svolgimento Per provare che la successione f n non converge puntualmente in alcun punto di 0, 1 è necessario capire come sono fatti gli intervalli I n, per ogni n 1 La successione di intervalli I n è costruita nel seguente modo: si considera l intervallo 0, 1 e al passo h = 1 lo si suddivide in due intervalli di eguale ampiezza 1 2, I 1 e I 2 0 1/2 1 I 1 I 2 Infatti per n = 1, 2 si ha che k n = 1 e quindi I 1 = 0, 1 2 e I 2 = 1 2, 1 Al passo h = 2 ciascuno degli intervalli individuati al passo precedente viene suddiviso in due intervalli di eguale ampiezza 1 4 ottenendo così che l intervallo 0, 1 è suddiviso in 4 intervalli, I 3, I 4, I 5, I 6 0 1/4 1/2 3/4 1 I 3 I 4 I 5 I 6 Infatti per n = 3,, 6 si ha che k n = 2 e quindi I 3 = I 6 = 3 4, 1 0, 1 4, I 4 = 1 4 2, 1, I 5 = 1 2 4, 3, Iterando questo procedimento, al generico passo h ciascuno degli intervalli individuati al passo precedente viene suddiviso in due intervalli di eguale ampiezza 1 2 h ottenendo così che l intervallo 0, 1 è suddiviso in 2 h intervalli, I 2 h 1,, I 2 h+1 2

11 Successioni di funzioni: esercizi svolti h h 2 h 1 2 h I 2 h 1 I 2 h I 2 h+1 2 Infatti per n = 2 h 1,, 2 h+1 2 si ha che k n = h e quindi I 2 h 1 = In termini più rigorosi possiamo dire che: 0, 1 2 h 1 2 h,, I 2 h+1 2 = 2 h, 1 a per ogni n 1 si ha che I n 0, 1; b per ogni h 1 si ha che i 2 h intervalli I 2 h 1,, I 2 h+1 2 costituiscono una suddivisione dell intervallo 0, 1, cioè I 2 h 1 I 2 h+1 2 = 0, 1 e se 2 h 1 i < j 2 h+1 2, allora I i I j se e solo se j = i + 1 e in tal caso I i I j è costituito da un unico punto Dimostrazione a Poichè k n = max{k N : 2 k 1 n}, per ogni n 1 si ha che 2 kn 1 n 2 kn+1 2 Quindi Ne segue che 0 n + 1 2kn 2 k, n I n = n kn 2 k n 2kn+1 2 kn 2 k n n k n, n + 2 2kn 0, 1 2 kn 2 kn = 1 b Sia h 1 Consideriamo gli intervalli I n con 2 h 1 n 2 h+1 2 Ne segue che k n = h Posto j = n 2 h + 1, si ha che 0 j 2 h 1 e quindi I 2 h 1+j = I n = n k n, n + 2 2kn j = 2 kn 2 kn 2 h, j h Si osserva che ciascun intervallo ha ampiezza 1 Pertanto si ha che 2 h I 2 h 1 I 2 h+1 2 = 0, 1 j 2 h 2 h, j h 1 2 h 2 h, 1 = 0, 1

12 12 Successioni di funzioni: esercizi svolti In modo del tutto equivalente si può dimostrare che per ogni x 0, 1 esiste 0 j 2 h 1 tale che x I 2 h 1+j Infatti, sia x 0, 1 Allora 0 x 2 h < 2 h Denotata con j x la parte intera di x 2 h, si ha che 0 j x 2 h 1 e j x x 2 h < j x +1 Di conseguenza si ha che j x 2 h x < j x h e quindi x I 2 h 1+j x Se x = 1, allora è ovvio che x I 2 h+1 2 Ne segue che 0, 1 I 2 h 1 I 2 h+1 2 e quindi 0, 1 = I 2 h 1 I 2 h+1 2 Osserviamo infine che I n I n+1 = I 2 h 1+j I 2 h +j = mentre se 2 h 1 i < j 2 h+1 2 con j > i + 1 I i I j = I 2 h 1+i I 2 h 1+j = j 2 h, j + 1 j h 2 h, j h = { j + 1 i 2 h, i + 1 j 2 h 2 h, j h = Studiamo ora la convergenza della successione f n Sia x 0, 1 Per quanto appena osservato si ha che per ogni h 1 esistono 2 h 1 i h, j h 2 h+1 2 al più coincidenti, tali che x I ih I jh e x I mh, per ogni 2 h 1 m h 2 h+1 2, m h i h, j h Quindi se 2 h 1 n 2 h+1 2, allora si ha che { 1 se n = ih, j h, f n x = 0 se n i h, j h Pertanto, per ogni h 1 si ha che esistono n h, m h 2 h 1 tali f nh x = 1 e f mh x = 0 Ne segue che non esiste f n x Quindi la successione f n non converge in alcun x 0, 1 2 h },