CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013

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1 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua facendo vedere che ε 0 > 0 : > 0 {x, y } A : x y <, f(x ) f(y ) ε 0. (.) Dare una dimostrazione alternativa della non uniforme continuità della funzione assegnata basata su risultati noti. Prima Siano ε 0 > 0, > 0 e x. Posto y = x x 3 y 3 = (x + xy + y )(x y) (x + y) x y = si avrà {x, y} A e in particolare ( x ) > x = x. Risolvendo x ε 0 rispetto a x, se ne deduce che risulterà x 3 y3 ε 0 e x y = < non appena x ε 0 e y = x. Seconda Il Teorema della crescita al più lineare (dimostrato durante le lezioni) implica che se f : (, ] R è uniformemente continua allora A 0 e B 0 tali che f(x) A+B x. Se ne deduce immediatamente che la funzione assegnata non può essere uniformemente continua. ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = e x, x A = [, + ) non è uniformemente continua facendo vedere che vale la (.). Dare una dimostrazione alternativa della non uniforme continuità della funzione assegnata basata su risultati noti. Prima Siano ε 0 > 0, > 0 e x. Posto y = x + si avrà {x, y} A e in particolare ( ) e x e y = e x e = e x e. ) Risolvendo e (e x ε 0 rispetto a x, se ne deduce che risulterà e x e y ε 0 e x d y = { < ( ) )} non appena x max, log (ε 0 e e y = x +. Seconda Il Teorema della crescita al più lineare implica che se f : [, + ) R è uniformemente continua allora A 0 e B 0 tali che f(x) A + Bx. Se ne deduce immediatamente che la funzione assegnata non può essere uniformemente continua.

2 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x, x A = (0, ] non è uniformemente continua facendo vedere che vale la (.). Dare due dimostrazioni alternative della non uniforme continuità della funzione assegnata basata su risultati noti. Prima Siano ε 0, > 0 e 0 < x < y. Se poniamo y = e avremo x y = x. Risolvendo x ε 0 rispetto a x, se ne deduce che risulterà x y ε 0 non appena x ε. In 0+ particolare, x y < perché 0 < x < y = per costruzione. Se < poniamo y = x + e per x < avremo x y = x x + = x(x + ) > x( + ). Risolvendo x(+) ε 0 rispetto a x, se ne deduce che risulterà x y ε 0 non appena x necessario verificare a posteriori che x < che è vera perché x ε 0(+) ε. È 0(+) + 3 per <. Seconda Un noto Teorema dimostrato durante le lezioni asserisce che se f è uniformemente continua su A e A è limitato allora f è limitata. Dato che f ha un asintoto verticale per x 0 + concludiamo che f non può essere uniformemente continua su A = (0, ]. Terza Un noto Teorema dimostrato durante le lezioni asserisce che se f è uniformemente continua su A e se x è un punto di accumulazione per A allora il limite lim f(x) esiste ed è finito. Dato che lim f(x) = + x x x 0 + concludiamo che f non può essere uniformemente continua su A = (0, ]. ESERCIZIO: Sia α (0, ). Dimostrare che vale la disuguaglianza: x α y α x y α, {x, y} [0, + ). (.) Dedurre una espressione del modulo di continuità e dunque la uniforme continuità della funzione f(x) = x α, x [0, + ). Se la disuguaglianza è vera, allora ovviamente f(x) = x α, x [0, + ) ammette ω(t) = t α come modulo di continuità. Ogni funzione che ammette un modulo di continuità è uniformemente continua (risultato dimostrato a lezione). Se x = 0 o se y = 0, allora la disuguaglianza è verificata (con il segno di uguaglianza). Dato che la disuguaglianza è simmetrica in x e y, se si avesse x < y potremmo scambiare x e y e ricondurci al caso x y. Siano dunque 0 < y x < +. Dividendo la (.) per y α e ponendo t = x y otteniamo la disuguaglianza t α (t ) α, t, che risulta equivalente alla (.) se 0 < y x < +. Detta g α (t) = tα (t ), il problema è ricondotto a α quello di dimostrare che sup g α (t) =. (,+ ) La tesi segue osservando che g α è continua e derivabile, g α (t) 0, t +, g α (t), t + e α (0, ). g α(t) = α tα (t ) α+ 0, t >,

3 3 ESERCIZIO: Sia f(x) = arctan (x) x, x A = [0, + ). Dimostrare che f è uniformemente continua. Prima Dimostriamo che si ha x y + π x y, {x, y} [0, + ). La disuguaglianza implica immediatamente la uniforme continuità perché allora la funzione ammette il modulo di continuità ω f,a (t) = t + π t. Dato che la disuguaglianza è sicuramente verificata se x = y 0, è sufficiente considerare il caso x y 0. Dato che la disuguaglianza è simmetrica in x e y, se si avesse x < y potremmo scambiare x e y e ricondurci al caso x > y. Siano dunque 0 y < x < +. Si ha arctan (x) x y + arctan (x) arctan (y) y π x y + arctan (x) arctan (y) y, (.3) dove si è usata la (.) e arctan (x) π. Per il secondo termine osserviamo che, dal Teorema di Lagrange, ξ (y, x) : arctan (x) arctan (y) = +ξ (x y). Se ne deduce che arctan (x) arctan (y) y = y y + ξ x y x y x y, + y e la tesi segue sostituendo nella (.3). Seconda Usiamo i seguenti fatti la cui facile dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio. Teorema E Siano h : A R e g : A R due funzioni uniformemente continue. La funzione somma h + g è uniformemente continua. Inoltre si ha: (i) Se h e g sono limitate, allora h g è uniformemente continua su A. (ii)se A è limitato, allora h g è uniformemente continua su A. Suggerimento. La proprietà della somma è immediata. Se h e g sono limitate, per controllare h(x)g(x) h(y)g(y), sommare e sottrarre le quantità opportune per avere h(x)g(x) h(y)g(y) h(x) h(y) g(y) +... N.B. Senza l ipotesi di limitatezza il risultato è falso. Esempio: h(x) = x, x [0, + ), g(x) = x, x [0, + ) e h g = x, x [0, + ). Teorema E Siano a < c +, b (a, c) e sia f : (a, c) R. Se f è uniformemente continua in (a, b), in (b, c) e continua in b, allora f è uniformemente continua in (a, c). Suggerimento. La dimostrazione per assurdo del Teorema di Heine-Cantor funziona anche in questo caso. N.B. Senza l ipotesi di continuità il risultato è falso. Esempio: { 0, x [0, ) f(x) =, x [, + ) Consideriamo ora la f(x) = arctan (x) x ristretta a [0, ] e a [, + ). È ben noto che h(x) = x è uniformemente continua (dalla (.)). Inoltre g(x) = arctan (x) è di classe

4 4 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO C ([0, ]) e dato che [0, ] è compatto è anche Lipschitziana e dunque uniformemente continua. Se ne deduce che f è uniformemente continua su [0, ] (in quanto prodotto di funzioni uniformemente continue e limitate) dal Teorema E. Se x [, + ), si ha f (x) = x + + x arctan (x), x e in particolare sup f (x) + π x [,+ ) 4. Usando il Teorema di Lagrange si ottiene (per qualche ξ (min{x, y}, max{x, y})) ( = f (ξ)(x y) + π ) x y. 4 Se ne deduce che f è Lipschitziana in [, + ) (dove ammette il modulo di continuità ω(t) = ( ) + π 4 t) e in particolare è uniformemente continua in [, + ). Dato che f è continua in [0, + ) e dunque in particolare in x = dal Teorema E segue che f è uniformemente continua in [0, + ). ESERCIZIO: Sia f(x) = arctan ( 5 x), x A = [0, + ). (i) Dimostrare che f è uniformemente continua. (ii) Dimostrare che f è α-hölderiana con α = 5 e determinare un modulo di continuità. Usiamo il seguente fatto la cui facile dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio. Teorema E3 Siano f : A R e g : I J A due funzioni uniformemente continue. Allora la funzione composta f g : I R è uniformemente continua. Suggerimento. La dimostrazione consiste nel ripetere con ε e i due passaggi svolti nella (.4) di cui sotto. Dato che f(x) = arctan (x) è uniformemente continua in R (in quanto K-Lipschitziana con K =, verificare per esercizio) e g(x) = 5 x è uniformemente continua in [0, + ) (in quanto α-hölderiana con α = 5 ), usando il Teorema E3, deduciamo che f è uniformemente continua. In particolare arctan( 5 x) arctan( 5 y) 5 x 5 y 5 x y, {x, y} [0, + ). (.4) La disuguaglianza implica immediatamente la uniforme continuità perché allora la funzione ammette il modulo di continuità ω f,a (t) = 5 t. ESERCIZIO: Sia f(x) = x sin (x), x A = [0, + ). Dimostrare che f ha crescita al più lineare, è continua in [0, + ), ma non non è uniformemente continua. Si ha f(x) x sin (x) x, x [0, + ), che mostra che f ha crescita al più lineare. È immediato verificare che f è continua. Usiamo poi il seguente fatto la cui facile dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio.

5 5 Teorema E4 Sia f : A R. Allora f è uniformemente continua per ogni coppia di successioni {x n } A, {y n } A tali che x n y n 0, si ha f(x n ) f(y n ) 0, n +. Suggerimento. Posto y 0 A e y n y 0, n N, osservare che l ipotesi x n y n 0 = f(x n ) f(y n ) 0 equivale alla continuità. Inoltre, nei ragionamenti per assurdo svolti sin qui si usa il fatto che se f non è uniformemente continua, allora si può costruire una coppia di successioni che verifica x n y n 0 ma f(x n ) f(y n ) non converge a 0. Dunque una implicazione è già nota. Sarà allora sufficiente determinare, per ogni n N, due punti {x n, y n } A tali che x n y n 0, n, f(x n ) f(y n ) ε 0, n N. (.5) Infatti in questo caso il Teorema E4 implica immediatamente la non uniforme continuità di f. Siano x n = πn e y n = πn + z n con z n 0 +, n +. Si ha f(x n ) f(y n ) = (πn + z n ) sin(πn + z n ) = (πn + z n ) sin(z n ) = (πn + z n )(z n + o(z n)) = πn( + o(z n ))(z n + o(zn)) = πnz n ( + o(z n )). Se ne deduce che se per esempio z n = π si avrà n e x n y n = z n 0, n +. f(x n ) f(y n ) = n( + o()), ESERCIZIO: Sia f(x) = sin (x ), x A = [, + ). Dimostrare che f ha crescita al più lineare, ma non non è uniformemente continua. La f è limitata e dunque ha crescita al più lineare. È anche chiaramente continua. Usiamo il Teorema E4 e costruiamo due successioni come in (.5). Siano x n = πn e yn = πn + π. Si ha ( f(x n ) f(y n ) = sin πn + π ) =, n N. Inoltre si ha x n y n = πn + π πn = πn ( ) + 4n = ( ) πn ( + o()) = 8n π 8 ( + o()), n +, n e concludiamo che x n y n 0, n +. ESERCIZIO: Sia f(x) = x sin ( ) x + sin (x ) +, x A = (0, + ). x Dimostrare che f è uniformemente continua. Usiamo il Teorema E. Un noto Teorema dimostrato durante le lezioni implica che f è uniformemente continua su (0, ) se e solo se f si può estendere per continuità su [0, ]. Dato che lim f(x) = 0 e f è x 0 + continua in A, concludiamo immediatamente che f è uniformemente continua in (0, ). Inoltre f è continua in [, + ) e f(x) =, ovvero ammette y = come asintoto orizzontale. Un lim x + noto Teorema dimostrato durante le lezioni garantisce che f è uniformemente continua in [, + ) e dato

6 6 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO che è continua in A e dunque in particolare in b =, il Teorema E garantisce la uniforme continuità in A. ESERCIZIO: Sia f : [0, + ) R convessa, decrescente e continua in x = 0. Dimostrare che f è uniformemente continua. Usiamo il fatto che se a < b +, allora f : (a, b) R è convessa in (a, b) se e solo se il rapporto incrementale è monotono non decrescente, x y In particolare ogni funzione convessa f : (a, b) R è continua. f(z) f(y), y (a, b), a < x z < b, x y, z y. (.6) z y Usando il Teorema E è sufficiente dimostrare la continuità uniforme in [0, ] e [, + ) separatamente. Dato che f è continua in (0, + ) (perché è convessa) e per ipotesi è continua in x = 0, allora è continua in [0, ] e dunque uniformemente continua in [0, ] per il Teorema di Heine-Cantor. Dato che f è decrescente si ha mentre dalla (.6) si ha, x y x y 0, f ( ) f(y) y f ( 0 y < x < +, ) f ( 4) 4, x y, x, y 4. Posto K = f( ) f( 4), concludiamo che 4 x y K, x y, {x, y} [, + ). In particolare f è K -Lipschitziana e dunque uniformemente continua (con modulo di continuità ω(t) = K t) in [, + ). Osservazione Moltiplicando f per si dimostra che il risultato vale per le funzioni f : [0, + ) R concave, crescenti e continue in x = 0. N.B. Senza l ipotesi di continuità in x = 0 il risultato è falso (perché in generale la convessità su di un intervallo chiuso implica la continuità { solo nell intervallo aperto)., x = 0 Esempio: La funzione f(x) = è chiaramente convessa in [0, + ) e decrescente ma x, x (0, + ) è discontinua in x = 0 e quindi in particolare non può essere uniformemente continua in nessun intervallo del tipo [0, b), b > 0. Osservazione Con una lieve modifica della stessa dimostrazione si ottiene che se f : (0, + ) R è convessa e decrescente (concava e crescente), allora f è Lipschitziana e in particolare uniformemente continua in ogni intervallo del tipo [a, + ) con a > 0.