Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

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1 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti delle seguenti funzioni di due variabili sugli insiemi specificati: a fx, y = x + y, M = x, y R : x + y = 1,, punto di massimo assoluto, punto di minimo assoluto b fx, y = x + y + y 1, M = x, y R : x + y = 9 [ 0, ± punti di massimo assoluto, ] ±, 0 punti di minimo assoluto c fx, y = x + y, M = x, y R : x 1 + y 0 = 0 [, 6 punto di massimo assoluto, ] 1, punto di minimo assoluto d fx, y = xy, M = x, y R : x + y + xy 1 = 0,,, punti di massimo assoluto, 1, 1, 1, 1 punti di minimo assoluto 1

2 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti e fx, y = x 4 + y 4 8 x + y M = x, y R : x + y 9 [ 0, ±, ±, 0 punti di massimo assoluto, ] ±, ± punti di minimo assoluto f fx, y = x + y x M = x, y R : x + y 1 1, 0 punto di massimo assoluto, 1 4, 0 punto di minimo assoluto g fx, y = x + 4y 6x 1 M = x, y R : x + y 4 0 [, 0 punto di massimo assoluto, ] 1, 0 punto di minimo assoluto h fx, y = e xy M = x, y R : x 1 y [, punto di massimo assoluto, ], punto di minimo assoluto Svolgimento a La funzione fx, y = x + y è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y = 1 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y = x + y 1, consideriamo la funzione Lx, y, λ = fx, y λgx, y = x + y λ x + y 1.

3 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 1.5 y x Fig. 1: L insieme M. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, λ tali che Lx, y, λ = 0. Si ha che Lx, y, λ = 0 x, y, λ = 1 λx x x, y, λ = 1 λy y λ x, y, λ = x + y 1. λx = 1 λy = 1 x + y = 1 Si ottengono quindi i punti stazionari, i punti stazionari vincolati di f su M sono, e, x = 1 λ y = 1 λ λ = ±.,, di L. e,. Essendo f, =, f, =, si ha che, è il punto di massimo assoluto di f su M e, è il punto di minimo assoluto di f su M. b La funzione fx, y = x + y + y 1 è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y = 9 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f

4 4 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti ammette massimo e minimo su M. 4 y x 1 4 Fig. : L insieme M. Per ogni x, y M si ha x = 9 y. Posto ϕ = f M, si ha che ϕ : [, ] R è definita da ϕy = fxy, y = y +. ϕy 11, più precisamente ossia min M min M per ogni y si ha ϕ = = ϕ0, max ϕ = 11 = ϕ±, M f = = f±, 0, max f = 11 = f0, ±. M Ne segue che ±, 0 sono punti di minimo assoluto per f su M e 0, ± sono punti di massimo assoluto per f su M. c La funzione fx, y = x + y è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x 1 + y 0 = 0 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y = x 1 + y 0,

5 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 5 8 y x 4 Fig. : L insieme M. consideriamo la funzione [ ] Lx, y, λ = fx, y λgx, y = x + y λ x 1 + y 0. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, λ tali che Lx, y, λ = 0. Si ha che Lx, y, λ = 0 x, y, λ = x λx 1 x x, y, λ = y λy y [ ] λ x, y, λ = x 1 + y 0. Si ottengono quindi i punti stazionari x1 λ = λ y1 λ = λ x 1 + y = 0 x = λ λ 1 y = λ λ 1 λ = 1,. 1,, 1 e, 6, di L. i punti stazionari vincolati di f su M sono 1, e, 6. Essendo f 1, = 5, f, 6 = 45, si ha che, 6 è il punto di massimo assoluto di f su M e 1, è il punto di minimo assoluto di f su M.

6 6 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti d La funzione fx, y = xy è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y + xy 1 = 0 è compatto. Infatti, è chiuso in quanto complementare di x, y R : x + y + xy 1 > 0 x, y R : x + y + xy 1 < 0 che è aperto in quanto unione di due aperti. Inoltre è anche limitato. Infatti, se non lo fosse, allora esisterebbero in M punti x, y con x o y arbitrariamente grande. Ma se x, y M, allora x + y = 1 xy. x o y + = x + y + = xy con xy x + y. Ne segue che deve essere y x, cioè x xy x per x + : assurdo. In modo del tutto equivalente, si osserva che la curva x + y + xy 1 = 0 è l equazione di un ellisse reale. Infatti, la matrice associata al polinomio gx, y = x + y + xy 1 e la matrice dei termini di secondo grado del polinomio g sono rispettivamente B = 1 1 0, A = Si ha che det A = 4, tr A = e det B = 4 0. Essendo det A > 0 e tr A det B < 0, si ha che la conica gx, y = 0 è un ellisse reale. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Consideriamo la funzione Lx, y, λ = fx, y λgx, y = xy λ x + y + xy 1. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, λ tali che Lx, y, λ = 0. Si ha che x, y, λ = y λx + y x x, y, λ = x λx + y y λ x, y, λ = x + y + xy 1.

7 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 7 y1 λ = λx y x1 + λ = 0 Lx, y, λ = 0 x1 λ = λy x1 λ = λy x + y + xy = 1 x + y + xy = 1. I punti stazionari di L sono 1, 1, 1, 1, 1, 1,,, 1,,, 1 di L. i punti stazionari vincolati di f su M sono 1, 1, 1, 1,,,, si ha che. Essendo f1, 1 = f 1, 1 = 1,, e, f, = f, = 1, sono punti di massimo assoluto di f su M e 1, 1 e 1, 1 sono punti di minimo assoluto di f su M. e La funzione fx, y = x 4 + y 4 8 x + y è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y 9 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. 4 y x 1 4 Fig. 4: L insieme M. In azzurro intm e in blu M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y R : x + y < 9. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y intm tali che fx, y = 0. Si ha che x x, y = 4x 16x, y x, y = 4y 16y.

8 8 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti i punti stazionari di f in intm sono: 0, 0, 0, ±, ±, 0, ±, ±. Per stabilire se sono di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di f in questi punti. Si ha che f x x, y = 1x 16, f y x, y = 1y 16, f x, y = 0. x y la matrice Hessiana di f in x, y è Ne segue che H f 0, 0 = H f x, y = 1x y 16 = 0, 0 è un punto di massimo locale per f su M; 16 0 H f 0, ± = 0 = 0, ± sono punti di sella per f su M; 0 H f ±, 0 = 0 16 = ±, 0 sono punti di sella per f su M; 0 H f ±, ± = = ±, ± sono punti di minimo locale per f su M. 0 Il massimo locale è f0, 0 = 0 e il minimo locale è f±, ± =. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y R : x + y = 9. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati.. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y = x + y 9, consideriamo la funzione Lx, y, λ = fx, y λgx, y = x 4 + y 4 8 x + y λ x + y 9. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, λ tali che Lx, y, λ = 0. Si ha che x x, y, λ = 4x 16x λx y x, y, λ = 4y 16y λy λ x, y, λ = x + y 9.

9 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 9 x x 8 λ = 0 Lx, y, λ = 0 y y 8 λ = 0 x + y = 9. I punti stazionari di L sono 0, ±, 10, ±, 0, 10, ±, ±, 1. i punti stazionari vincolati di f su M sono 0, ±, ±, 0, ±, ±. Essendo f f0, ± = f±, 0 = 9 > 0 = f0, 0, ±, ± = 6 > = f±, ±, si ha che 0, ± e ±, 0 sono punti di massimo assoluto per f su M, mentre ±, ± sono punti di minimo assoluto per f su M. f La funzione fx, y = x + y x è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y 1 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. 1.5 y x Fig. 5: L insieme M. In azzurro intm e in blu M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y R : x + y < 1.

10 10 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y intm tali che fx, y = 0. Si ha che x, y = 4x 1, x l unico punto stazionario di f in intm è x, y = y. y 1 4, 0. Per stabilire se è di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di f in questo punto. Si ha che f x, y = 4, x f x, y =, y la matrice Hessiana di f in 1 4, 0 è H f 1 4, 0 = f x, y = 0. x y Ne segue che 1 4, 0 è un punto di minimo locale per f su M e il minimo locale è f 1 4, 0 = 1 8. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y R : x + y = 1. Per ogni x, y M si ha che y = 1 x. Posto ϕ = f M, si ha che ϕ : [ 1, 1] R è definta da ϕx = fx, yx = x x + 1. I punti di estremo di f su M sono i punti x, yx con x di estremo per ϕ. Essendo ϕ di classe C sull intervallo chiuso e limitato [ 1, 1], i suoi punti di estremo vanno cercati tra i punti stazionari e gli estremi dell intervallo [ 1, 1]. Si ha che ϕ x = x 1. ϕ x = 0 se e solo se x = 1 e ϕ x > 0 se e solo se 1 < x 1. Ne segue che x = 1 è un punto di minimo per ϕ. Inoltre x = ±1 sono punti di massimo locale per ϕ. Più precisamente, essendo ϕ 1 = e ϕ1 = 1, si ha che x = 1 è un punto di massimo assoluto per ϕ, mentre x = 1 è un punto di massimo locale per ϕ. 1, ± sono punti di minimo assoluto per f su M, 1, 0 è un punto di massimo assoluto per f su M e 1, 0 è un punto di massimo locale per f su M. Essendo f 1, ± = 4 14 > 18 = f, 0

11 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 11 si ha che 1 4, 0 è il punto di minimo assoluto per f su M, mentre 1, 0 è un punto di massimo assoluto per f su M. g La funzione fx, y = x + 4y 6x 1 è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x + y 4 0 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. y x 1 Fig. 6: L insieme M. In azzurro intm e in blu M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y R : x + y < 4. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y intm tali che fx, y = 0. Si ha che x, y = 6x 6, x x, y = 8y. y l unico punto stazionario di f in intm è 1, 0. Per stabilire se è di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di f in questo punto. Si ha che f x, y = 6, x f x, y = 8, y la matrice Hessiana di f in 1, 0 è 6 0 H f 1, 0 =. 0 8 f x, y = 0. x y

12 1 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Ne segue che 1, 0 è un punto di minimo locale per f su M e il minimo locale è f1, 0 = 15. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y R : x + y = 4. Per ogni x, y M si ha che y = 4 x. Posto ϕ = f M, si ha che ϕ : [, ] R è definta da ϕx = fx, yx = x 6x + 4. I punti di estremo di f su M sono i punti x, yx con x di estremo per ϕ. Essendo ϕ di classe C sull intervallo chiuso e limitato [, ], i suoi punti di estremo vanno cercati tra i punti stazionari e gli estremi dell intervallo [, ]. Si ha che ϕ x = x 6. ϕ non ha punti stazionari in [, ] e ϕ x < 0 per ogni x [, ]. Ne segue che x = è un punto di massimo assoluto per ϕ e x = è un punto di minimo assoluto per ϕ., 0 è un punto di massimo assoluto per f su M,, 0 è un punto di minimo assoluto per f su M. Essendo f, 0 = 1 > 15 = f1, 0, si ha che 1, 0 è il punto di minimo assoluto per f su M, mentre, 0 è il punto di massimo assoluto per f su M. h La funzione fx, y = e xy è di classe C su R. L insieme M = x, y R : x 1 y 0 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y R : x 1 < y <. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y intm tali che fx, y = 0. Si ha che x x, y = yexy, y x, y = xexy.

13 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 1.5 y x Fig. 7: L insieme M è la parte di piano limitata dalla linea blu M. l unico punto stazionario di f in intm è 0, 0. Per stabilire se è di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di f in questo punto. Si ha che f x x, y = y e xy, f y x, y = x e xy, f x y x, y = exy 1 + xy. la matrice Hessiana di f in 0, 0 è H f 0, 0 = Ne segue che gli autovalori di questa matrice sono λ 1, = ±1. 0, 0 non è né un punto di massimo né un punto di minimo locale per f su M. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M. Osserviamo che M non è una varietà di dimensione 1 in R, infatti in un intorno dei punti ±, l insieme M non è il grafico di una funzione di classe C 1 di una delle due variabili rispetto all altra. Si osservi inoltre che M = Γ 1 Γ dove Γ = Γ 1 = x, y R : y =, x, x, y R : y = x 1, x. Cerchiamo separatamente i punti di estremo di f su Γ 1 e Γ. Consideriamo inizialmente Γ 1. Per ogni x, y Γ 1 si ha che y =. Posto ϕ 1 = f Γ1, si ha che

14 14 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti.5 y x Fig. 8: Gli insiemi Γ 1 in rosso e Γ in blu. ϕ 1 : [, ] R è definta da ϕ 1 x = fx, = e x. I punti di estremo di f su Γ 1 sono i punti x, con x di estremo per ϕ 1. Essendo ϕ 1 strettamente crescente in [, ], si ha che x = è un punto di minimo assoluto per ϕ 1 e x = è un punto di massimo assoluto per ϕ 1., è un punto di minimo assoluto per f su Γ 1,, è un punto di massimo assoluto per f su Γ 1. Consideriamo ora Γ. Per ogni x, y Γ si ha che y = x 1. Posto ϕ = f Γ, si ha che ϕ : [, ] R è definta da ϕ x = fx, yx = e x x. I punti di estremo di f su Γ sono i punti x, yx con x di estremo per ϕ. Essendo ϕ di classe C sull intervallo chiuso e limitato [, ], i suoi punti di estremo vanno cercati tra i punti stazionari e gli estremi dell intervallo [, ]. Si ha che ϕ x = x 1e x x. ϕ x = 0 se e solo se x = ± e ϕ [ x > 0 per x, e x ]., Ne segue che x = e x = sono punti di massimo locale per ϕ, x = e x = sono punti di minimo locale per ϕ. Ne segue che i punti, e, sono di massimo locale per f su Γ,, e, sono di minimo locale per f su Γ. il punto, è di massimo locale per f ristretta a M = Γ 1 Γ e il punto, è di minimo locale per f

15 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 15 ristretta a M = Γ 1 Γ. Essendo f, = e 6, f, = e 6, f, = e 9, f, = e 9, si ha che, è il punto di massimo assoluto per f su M e, è il punto di minimo assoluto per f su M.

16 16 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti delle seguenti funzioni di tre variabili sugli insiemi specificati: a fx, y, z = z e xy M = x, y, z R : x + y + z 1 [ 0, 0, ±1 punti di massimo assoluto, x, y, 0 tali che x + y 1 sono punti di minimo assoluto ] b fx, y, z = y 1 + z M = c fx, y, z = x + cos y M = x, y, z R : x 1 + y + z 4 1, 5, ± punti di massimo assoluto, 1, 5, ± punti di minimo assoluto x, y, z R : x + y + e z = 10 [ ±, 0, 0 punti di massimo assoluto, ] 0, ±, 0 punti di minimo assoluto *d fx, y, z = gx + gy + gz, dove g : [0, + R è la funzione gt = t log t se t > 0 0 se t = 0, M = x, y, z R : x + y + z = 1, x, y, z 0 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 punti di massimo assoluto, 1, 1, 1 punto di minimo assoluto e fx, y, z = y z 1 + x M = x, y, z R : x + y + z 4 [ 0, ±, 0 punti di massimo assoluto, ] f fx, y, z = 0, 0, ± punti di minimo assoluto 1 + z e y M = x, y, z R : x + 4 8e y z [ ] 0, 0, ± log punti di massimo assoluto, 0, ± log, 0 punti di minimo assoluto

17 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 17 g fx, y, z = 1 + x e z M = x, y, z R : x + y 4 y + z 0 [ ±1, ±1, 0 punti di massimo assoluto, ] 0, ±1, ±1 punti di minimo assoluto Svolgimento I grafici dei domini di questi esercizi si trovano sulla pagina web lancelot/didattica/analisi/esercizi/grafici maxmin assoluti esercizio.html. a La funzione fx, y, z = z e xy è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x + y + z 1 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y, z R : x + y + z < 1. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y, z intm tali che fx, y, z = 0. Si ha che x x, y, z = yz e xy, y x, y, z = xz e xy, z x, y, z = z exy. fx, y, z = 0 y = 0 o z = 0 x = 0 o z = 0 z = 0. i punti stazionari interni a M sono i punti x, y, 0 con x + y < 1. Osserviamo che anche x, y, 0 con x + y = 1 sono stazionari per f su M ma non sono interni a M. Essendo f 0 e fx, y, 0 = 0, si ha che i punti x, y, 0 con x + y 1 sono di minimo assoluto per f su M. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y, z R : x + y + z = 1.

18 18 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x +y +z 1, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = z e xy λ x + y + z 1. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0. Si ha che x x, y, z, λ = yz e xy λx y x, y, z, λ = xz e xy λy z x, y, z, λ = z exy λz λ x, y, z, λ = x + y + z 1. yz e xy = λx xz e xy = λy Lx, y, z, λ = 0 z e xy λ = 0 x + y + z = 1. I punti stazionari di L sono ±1, 0, 0, 1, 0, ±1, 0, 1, 0, 0, ±1, 1, x, y, 0, 0 con x + y = 1. x + y = 1 e 0, 0, ±1. i punti stazionari vincolati di f su M sono x, y, 0 con Per quanto detto in precedenza, i punti x, y, 0 con x + y = 1 sono di minimo assoluto per f su M. Inoltre i punti 0, 0, ±1 sono di massimo assoluto per f su M. b La funzione fx, y, z = y 1 + z è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x 1 + y + z 4 è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y, z R : x 1 + y + z < 4. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y, z intm tali che fx, y, z = 0. Si ha che x, y, z = 0, x y x, y, z = 1 + z, yz x, y, z = z 1 + z.

19 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 19 f non ammette punti stazionari in intm e di conseguenza neppure punti di estremo. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y, z R : x 1 + y + z = 4. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x 1 +y +z 4, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = y 1 + z λ x 1 + y + z 4. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0. Si ha che x, y, z, λ = λx 1 x y x, y, z, λ = 1 + z λy yz x, y, z, λ = z 1 + z λz λ x, y, z, λ = x 1 + y + z 4. Lx, y, z, λ = 0 I punti stazionari di L sono 1,, 0, 1, 4 1,, 0, 1, 4 1, λx 1 = z = λy y z λ 1+z = 0 x 1 + y + z = 4. 5, ±, 1, i punti stazionari vincolati di f su M sono 1, ±, 0 ha che 5 1,, ±, 1. 1, ± 5, ±. Si f1,, 0 =, f1,, 0 =, 5 f 1,, ± = 5 5, f 1,, ± = 5. i punti 1, 5, ± sono di massimo assoluto per f su M, i punti 1, 5, ± sono di minimo assoluto per f su M.

20 0 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti c La funzione fx, y, z = x + cos y è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x + y + e z = 10 è chiuso e limitato. Infatti, si ha che se x, y, z M, allora x + y = 10 e z essendo e z 1 si ha che 0 x + y 9 e 0 z log 10. x, y, z = x +y +z 9+log 10. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x + y + e z 10, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = x + cos y λ x + y + e z 10. ed Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0. Si ha che x, y, z, λ = x λx x x, y, z, λ = sin y λy y x, y, z, λ = λzez z λ x, y, z, λ = x + y + e z 10. x1 λ = 0 λy + sin y = 0 Lx, y, z, λ = 0 λz = 0 x + y + e z = 10. I punti stazionari di L sono 0, 0, ± log 10, 0, 0, ±, 0, 1 6 sin, ±, 0, 0, 1. i punti stazionari vincolati di f su M sono 0, 0, ± log 10, 0, ±, 0,, ±, 0, 0. Si ha che f 0, 0, ± log 10 = 1, f0, ±, 0 = cos, f±, 0, 0 = 10. ±, 0, 0 sono punti di massimo assoluto per f su M e 0, ±, 0 sono punti di minimo assoluto per f su M.

21 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 1 *d La funzione fx, y, z = gx + gy + gz, dove g : [0, + R è la funzione t log t se t > 0 gt = 0 se t = 0, è continua. L insieme M = x, y, z R : x + y + z = 1, x, y, z 0 è compatto. M. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su Per ogni x, y, x M si ha che z = 1 x y, con x, y 0 e x + y 1. Posto ϕ = f M, si ha che ϕ : M ϕ R è definita da ϕx, y = fx, y, zx, y = gx + gy + g1 x y, dove M ϕ = x, y R : x + y 1, x, y 0. y x Fig. 9: L insieme M ϕ. I punti di estremo di f su M sono i punti x, y, zx, y con x, y di estremo per ϕ. Essendo M ϕ chiuso e limitato, i punti di estremo di ϕ vanno cercati sia in int M ϕ che su M ϕ. Consideriamo inizialmente i punti di estremo di ϕ in int M ϕ = x, y R : x + y < 1, x, y > 0. Si ha che per ogni x, y int M ϕ ϕx, y = gx + gy + g1 x y = x log x + y log y + 1 x y log 1 x y. Essendo ϕ di classe C in int M ϕ, i punti di estremo vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y int M ϕ tali che ϕx, y = 0. Si ha che ϕ ϕ x, y = log x log 1 x y, x ϕx, y = 0 x, y = log y log 1 x y. y x = 1 y = 1.

22 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti l unico punto stazionario di ϕ interno a M ϕ è 1, 1. Per stabilire se è di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di ϕ in questo punto. Si ha che ϕ 1 x, y = x y x1 x y, ϕ 1 x, y = y la matrice Hessiana di ϕ in 1, 1 è 1 H ϕ, 1 = x y1 x y, ϕ x y x, y = 1 1 x y. 6 6 e gli autovalori sono, 9. 1, 1 è un punto di minimo locale per ϕ. Si ha che ϕ 1, 1 = log. Ne segue che 1, 1, 1 è un punto di minimo locale per f su M. Consideriamo ora i punti di estremo di ϕ su M ϕ. Osserviamo che M ϕ è il triangolo equilatero di vertici 0, 0, 1, 0 e 0, 1. M ϕ non è una varietà di dimensione 1 in R. Denotiamo con Γ 1, Γ, Γ i lati del triangolo. Si ha che Γ 1 = Γ = e M ϕ = Γ 1 Γ Γ. Γ = x, y R : y = 0, 0 x 1, x, y R : y = 1 x, 0 x 1, x, y R : x = 0, 0 y 1 y x Fig. 10: I lati Γ 1 in rosso, Γ in blu e Γ in fucsia.

23 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Osserviamo che x log x + 1 x log 1 x se x, y Γ 1 \ 0, 0, 1, 0, x log x + 1 x log 1 x se x, y Γ \ 1, 0, 0, 1, ϕx, y = y log y + 1 y log 1 y se x, y Γ \ 0, 0, 0, 1, 0 se x, y 0, 0, 1, 0, 0, 1. È quindi sufficiente cercare punti di estremo su uno qualunque dei tre lati Γ i, per i = 1,,. Consideriamo Γ 1 = x, y R : y = 0, 0 x 1. Posto ψ = ϕ Γ1, allora ψ : [0, 1] R è definita da 0 se x = 0, ψx = x log x + 1 x log 1 x se 0 < x < 1, 0 se x = 1. I punti di estremo di ϕ su Γ 1 sono i punti x, yx con x di estremo per ψ. Si ha che ψ è continua su [0, 1] e derivabile su 0, 1 con ψ x = log x log 1 x. ψ x = 0 se e solo se x = 1 e ψ x > 0 se e solo se x > 1. il punto x = 1 è di minimo assoluto per ψ e i punti x = 0, 1 sono di massimo locale per ψ. Essendo ψ0 = ψ1 = 0 questi punti sono di massimo assoluto per ψ. Ne segue che il punto 1, 0 è di minimo assoluto per ϕ su Γ 1 e i punti 0, 0 e 1, 0 sono di massimo assoluto per ϕ su Γ 1. Analogamente si ha che il punto 1, 1 è di minimo assoluto per ϕ su Γ e i punti 1, 0 e 0, 1 sono di massimo assoluto per ϕ su Γ, il punto 0, 1 è di minimo assoluto per ϕ su Γ e i punti 0, 0 e 0, 1 sono di massimo assoluto per ϕ su Γ. Essendo 1 1 ϕ, 0 = ϕ, 1 = ϕ 0, 1 = log, ϕ0, 0 = ϕ1, 0 = ϕ0, 1 = 0, 1 ϕ, 1 = log, si ha che i punti 0, 0, 1, 0 e 0, 1 sono di massimo assoluto per ϕ su M ϕ e il punto 1, 1 è di minimo assoluto per ϕ su M ϕ. In conclusione i punti 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 sono di massimo assoluto per f su M e il punto 1, 1, 1 è di minimo assoluto per f su M. e La funzione fx, y, z = y z 1+x è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x + y + z 4

24 4 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti è compatto. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y, z R : x + y + z < 4. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y, z intm tali che fx, y, z = 0. Si ha che x x, y, z = z xy 1 + x, x, y, z = y y 1 + x, x, y, z = z z 1 + x. fx, y, z = 0 y = 0 z = 0. i punti stazionari interni a M sono i punti x, 0, 0 con x <. Osserviamo che anche ±, 0, 0 sono stazionari per f su M ma non sono interni a M. Si ha che fx, 0, 0 = 0 per ogni x. Inoltre, fissato un punto x 0, 0, 0 con x 0 si ha che per ogni intorno I di questo punto esistono punti del tipo x, y, 0 e x, 0, z appartenenti a I M tali che fx, 0, z < 0 < fx, y, 0. i punti x, 0, 0 per ogni x non sono né di massimo né di minimo per f su M. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y, z R : x + y + z = 4. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x +y +z 4, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = y z 1 + x λ x + y + z 4. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0.

25 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 5 Si ha che x x, y, z, λ = z xy 1 + x λx x, y, z, λ = y y 1 + x λy x, y, z, λ = z z 1 + x λz λ x, y, z, λ = x + y + z 4. Lx, y, z, λ = 0 [ ] y x z + λ 1+x y 1 1+x λ z 1 1+x + λ = 0 = 0 = 0 x + y + z = 4. Si ottengono quindi i punti stazionari 0, 0, ±, 1, 0, ±, 0, 1, ±, 0, 0, 0 di L. i punti stazionari vincolati di f su M sono 0, 0, ±, 0, ±, 0, ±, 0, 0. Per quanto detto in precedenza, i punti ±, 0, 0 non sono né di massimo né di minimo per f su M. Inoltre si ha che f0, 0, ± = 4, f0, ±, 0 = 4. i punti 0, ±, 0 sono di massimo assoluto per f su M, i punti 0, 0, ± sono di minimo assoluto per f su M. f La funzione fx, y, z = 1 + z e y è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x + 4 8e y z è chiuso e limitato. Infatti, si ha che x 8e y z 4, x, y, z M = [ ] y + z log 1 8 x + 4 log. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y, z R : x + 4 < 8e y z. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y, z intm tali che fx, y, z = 0. Si ha che x, y, z = 0, x y x, y, z = y 1 + z e y, z x, y, z = z e y.

26 6 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti fx, y, z = 0 y = 0 z = 0. i punti stazionari interni a M sono i punti x, 0, 0 con < x <. Osserviamo che anche ±, 0, 0 sono stazionari per f su M ma non sono interni a M. Per stabilire se questi punti sono di massimo, di minimo oppure né l uno né l altro, determiniamo gli autovalori della matrice Hessiana di f in questi punti. Si ha che f x, y, z = 0, x f y x, y, z = 1 + z 4y e y, f x y x, y, z = f x, y, z = 0, x z per ogni < x < si ha che H f x, 0, 0 = f z x, y, z = e y, f y z x, y, z = 4yz e y. e gli autovalori sono 0,,. Ne segue che i punti x, 0, 0 non sono né di massimo né di minimo per f. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y, z R : x + 4 = 8e y z. Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione in R, allora i punti di estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x + 4 8e y z, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = 1 + z e y λ x + 4 8e y z. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0. Si ha che x, y, z, λ = λx x y x, y, z, λ = y1 + z e y 16λy z x, y, z, λ = ze y 16λz λ x, y, z, λ = x + 4 8e y z.

27 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 7 λx = 0 [ ] y 1 + z e y + 8λ = 0 Lx, y, z, λ = 0 z e y 8λ = 0 x + 4 = 8e y z. I punti stazionari di L sono ±, 0, 0, 0, 0, 0, ± log, 1 4, 0, ± log, 0, i punti stazionari vincolati di f su M sono ±, 0, 0, 0, 0, ± log, 0, ± log, 0. Si ha che f±, 0, 0 = 1, f 0, 0, ± log = 1 + log, f 0, ± log, 0 = 1. 0, 0, ± log sono punti di massimo assoluto per f su M e 0, ± log, 0 sono punti di minimo assoluto per f su M. g La funzione fx, y, z = 1 + x e z è di classe C su R. L insieme M = x, y, z R : x + y 4 y + z 0 è chiuso e limitato. Infatti, si ha che x + y 4 y + z = x + y 1 + z 1. x, y, z M = x + y 1 + z 1 = x 1, y, z 1. Ne segue che x, y, z. per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M. 1.5 x y Fig. 11: Sezione dell insieme M con il piano yx.

28 8 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M, ossia in intm = x, y, z R : x + y 4 y + z < 0. Essendo f di classe C, i punti di estremo in intm vanno cercati fra i punti stazionari, ossia fra i punti x, y, z intm tali che fx, y, z = 0. Si ha che x x, y, z = x e z, x, y, z = 0, y fx, y, z = 0 z x, y, z = z 1 + x e z. x = 0 z = 0. i punti stazionari interni a M sono i punti 0, y, 0 con < y <, y 0. Osserviamo che anche 0, ±, 0 e 0, 0, 0 sono stazionari per f su M ma non sono interni a M. Per stabilire se questi punti sono di massimo, di minimo oppure né l uno né l altro, determiniamo gli autovalori della matrice Hessiana di f in questi punti. Si ha che f x x, y, z = e z, f y x, y, z = 0, f z x, y, z = 1 + x 4z e z, f x y x, y, z = f x, y, z = 0, y z per ogni < y <, y 0, si ha che 0 0 H f 0, y, 0 = f x z x, y, z = 4xz e z. e gli autovalori sono, 0,. Ne segue che i punti 0, y, 0 con < y <, y 0, non sono né di massimo né di minimo per f. Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M, ossia in M = x, y, z R : x + y 4 y + z = 0. Osserviamo che M non è una varietà di dimensione in R. Infatti, in ogni intorno di 0, 0, 0 M si ha che M non è il grafico di una funzione di classe C 1 di una delle tre variabili rispetto alle altre due. Più precisamente è l unione dei grafici delle due funzioni ϕ 1, x, y = ± 1 x y 1

29 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 9 che sono continue in 0, 0 ma non differenziabili. il punto 0, 0, 0 va trattato a parte facendo uno studio locale di f in un intorno di questo punto. Però M \ 0, 0, 0 è una varietà di dimensione in R. essendo f di classe C, allora i punti di estremo su M \0, 0, 0 vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su M \ 0, 0, 0. Procediamo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto gx, y, z = x + y 4 y + z, consideriamo la funzione Lx, y, z, λ = fx, y, z λgx, y, z = 1 + z e y λ x + y 4 y + z. Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti x, y, z, λ tali che Lx, y, z, λ = 0. Si ha che x x, y, z, λ = x e z λx y x, y, z, λ = 4λyy 1 z x, y, z, λ = z 1 + x e z λz λ x, y, z, λ = x + y 4 y + z. x e z λ = 0 4λyy 1 = 0 Lx, y, z, λ = 0 [ 1 z + x ] e z + λ = 0 x + y 4 y + z = 0. I punti stazionari di L sono 0, ±, 0, 0, 0, ±1, ±1, 1 e, ±1, ±1, 0, 1. i punti stazionari vincolati di f su M sono 0, ±, 0, 0, ±1, ±1, ±1, ±1, 0. Si ha che f 0, ±, 0 = 1, f0, ±1, ±1 = 1, f±1, ±1, 0 =. e ±1, ±1, 0 sono punti di massimo assoluto per f su M e 0, ±1, ±1 sono punti di minimo assoluto per f su M.