Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del 3 febbraio Regole per lo svolgimento

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1 Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del febbraio 6 Regole per lo svolgimento (a) Gli studenti di ingegneria civile e edile -5 faranno gli esercizi,,. (b) Gli studenti col programma di Galatolo-Georgiev faranno gli esercizi,, 6 (c) Gli studenti con programmi più vecchi faranno gli esercizi,, 5. Esercizio Si consideri l insieme D R descritto dalla relazione x + y x. Calcolare il massimo ed il minimo su D della funzione f(x, y) xy + x y xy x y. Esercizio (i) Provare che la funzione è sommabile su [, [ [, [. (ii) Definite per s le funzioni f n (s) n x g(s, x) e s + x g(s, x) dx, f(s) g(s, x) dx, si provi che la successione {f n } converge a f puntualmente in [, [, ed anche in L (, ). Esercizio Sia Σ la parte di superficie sferica di equazione x +y +z, contenuta nel primo ottante, delimitata dai piani x y e y x, orientata secondo la normale esterna alla sfera. Posto F(x, y, z) ( x(x + y ) + z ln( + xz), yz + y(x + y ), x ln( + xz) ), si calcoli il lavoro compiuto dal campo F lungo il bordo bσ, orientato in modo coerente.

2 Esercizio Risolvere il problema di Cauchy { y x e x y+e y y( ). Esercizio 5 Sia D il compatto di R delimitato dal piano z e dalla superficie Σ generata dalla rotazione del grafico z + x, ove x. Si calcoli l integrale x y z (x + y ) dxdydz. Esercizio 6 Si consideri la serie di funzioni D ( x ) n, x R. n (i) In quali punti di R la serie converge assolutamente? (ii) In quali punti di R la serie converge puntualmente? (iii) In quali sottointervalli di R la serie converge uniformemente?

3 Esercizio La relazione che descrive D si può mettere nella forma ( x ) + y, e quindi D è il disco di centro (, ) e raggio. Cerchiamo, se esistono, i punti stazionari di f interni a D. Si ha { fx (x, y) y + xy y xy ( x)(y y) f y (x, y) xy + x x x y ( y)(x x); dunque i punti stazionari di f sono (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), e di questi nessuno è interno a D. Vediamo la situazione sulla frontiera. Primo metodo Si ha, utilizzando le coordinate polari, x + y x r cos ϑ, con ϑ. Analizziamo allora la funzione f(x, y) xy + x y xy x y (x x )(y y) sulla frontiera: f(x, y) g(ϑ) (cos ϑ cos ϑ)(cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ), ovvero g(ϑ) cos ϑ sin ϑ(cos ϑ sin ϑ ), ϑ. Si ha quindi g (ϑ) ( cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ)(cos ϑ sin ϑ ) + + cos ϑ sin ϑ( sin ϑ + cos ϑ) cos ϑ sin ϑ(cos ϑ sin ϑ)( cos ϑ sin ϑ ) cos ϑ sin ϑ cos ϑ( sin ϑ ). Nell ultima espressione il fattore sin ϑ è negativo, mentre i primi due sono positivi. Quindi g (ϑ) è positiva se cos ϑ <, ossia per < ϑ, mentre g (ϑ) è negativa se cos ϑ >, ossia per ϑ <. In definitiva, g cresce in [, ] [, decresce in, ] [, cresce in, ]. Si noti che g è nulla anche in ϑ, che corrisponde al punto (, ), ma non cambia segno. Pertanto g ha un massimo relativo in, ha un minimo

4 relativo ( in, e un massimo relativo in. I punti corrispondenti sono rispettivamente, ) (,, ), (, ), e risulta ( ) ( f, g ) ( 6, f, ) ( ) g 6, e come sappiamo f(, ). Pertanto max D f 6, min D f 6. Secondo metodo Volendo utilizzare il metodo dei moltiplicatori, posto L(x, y, λ) xy + x y xy x y λ(x + y x), dobbiamo risolvere il sistema L x (x, y, λ) y + xy y xy λx + λ L y (x, y, λ) xy + x x x y λy L λ (x, y, λ) x + y x, ovvero (x )(y y λ) (x x )(y ) λy y x x. La prima equazione implica x oppure λ y y. Nel primo caso, la terza equazione fornisce y ±, e di conseguenza abbiamo i due punti stazionari vincolati (, ), ( ),, e dalla seconda equazione ricaviamo i corrispondenti moltiplicatori, che sono λ e λ. Nel secondo caso, analizziamo la seconda equazione: se λ otteniamo y, da cui per la terza equazione x (caso già esaminato), oppure x x ossia x o x (da cui, in entrambi i casi, per la terza equazione y ). Si hanno così i due punti stazionari (, ) e (, ), tutti e due con moltiplicatore λ. Se invece λ, sostituiamo la terza equazione nella seconda, ottenendo y (y ) λy. Poiché y (il caso y è stato già esaminato) abbiamo allora, dalla prima equazione e da questa, { λ y y λ y y.

5 Ne segue y y y y/, ossia y, che è impossibile (le ordinate sul vincolo sono non superiori a ). In conclusione, abbiamo quattro punti stazionari nei quali f assune i seguenti valori: ( f, ) ( ) 6, f,, f(, ), f(, ). 6 Si può concludere nuovamente che max D f 6, min D f 6. Esercizio (i) La funzione g è non negativa. Per il teorema di Fubini-Tonelli ( ) g(s, x) dsdx e s x ds dx + x [, [ [, [ x dx + x (ii) Sia χ [,n] la funzione indicatrice di [, n], ossia { se x n χ [,n] (x) se x > n. du <. + u Risulta ovviamente χ [,n] χ [,n+] ; pertanto per ogni s si ha f n (s) g(s, x)χ [,n] (x) dx g(s, x)χ [,n+] (x) dx f n+ (s). R Le funzioni integrande g(s, x)χ [,n] (x) sono positive e formano una successione crescente che converge a g(s, x)χ [, [. Dal teorema di B. Levi ricaviamo allora la convergenza puntuale in [, [ : lim f n(s) n R g(s, x) dx s. Poniamo adesso f(s) g(s, x) dx, ed osserviamo che la funzione f è sommabile in [, [, in quanto f(s) ds g(s, x)dsdx < +, [, [ [, [ come abbiamo visto in (i). Dato che f n f puntualmente in [, [, e dato che risulta f(s) f n (s) f(s) s, la convergenza di f n a f è dominata. Ne segue, per il teoorema di Lebesgue, lim n (f f n ) ds.

6 Esercizio Utilizzando il teorema di Stokes, F, τ ds rot F, n dσ. +bσ Se indichiamo con X(x, y, z), Y (x, y, z) Z(x, y, z) le tre componenti di F(x, y, z), e calcoliamo le componenti di rot F, si ha e dunque X z Z x ln( + xz) + Z y Y z ( y) y, Σ zx zx ln( + xz) + xz + xz, Y x X y xy xy, rot F(x, y, z) (y,, ). Usando le coordinate sferiche, Σ è descritta da x sin ϑ cos ϕ, y sin ϑ sin ϕ, z cos ϑ, ove ϕ e ϑ, in conseguenza della limitazione x 6 y x e dell appartenenza al primo ottante. Inoltre si ha n (x, y, z). Pertanto rot F, n dσ xy dσ, ed essendo otteniamo Σ rot F, n dσ Σ Σ dσ sin ϑ dϑdϕ, 6 sin ϑ cos ϕ sin ϕ dϕdϑ (sin ϑ cos ϑ sin ϑ) dϑ [ cos ϑ + cos ϑ ] [ sin ϕ 6 ] 6 cos ϕ sin ϕ dϕ 6. Volendo utilizzare, invece del teorema di Stokes, il calcolo diretto, si fa un po più di fatica. Il bordo di Σ è costituito dalle tre curve Γ (semi-meridiano di angolo ϕ ), Γ (semi-meridiano di angolo ϕ 6 ), e Γ (tratto di equatore), che si parametrizzano nel modo seguente: Γ : x sin ϑ, y sin ϑ, z cos ϑ, ϑ,

7 Γ : x sin ϑ, y sin ϑ, z cos ϑ, ϑ, Γ : x cos ϕ, y sin ϕ, z, 6 ϕ. L orientazione positiva di bσ fa percorrere Γ dall equatore al polo nord, quindi con orientazione opposta a quella delle ϑ crescenti, Γ dal polo nord all equatore, quindi con orientazione uguale a quella delle ϑ crescenti, e Γ nel verso delle ϕ crescenti. Si ha allora F, τ ds F, τ ds + F, τ ds + F, τ ds +bσ Γ +Γ +Γ {[ ( )] sin ϑ sin ϑ cos ϑ cos ϑ + cos ϑ ln + + [ ] + sin ϑ cos ϑ + sin ϑ cos ϑ [ ( )] } sin ϑ sin ϑ cos ϑ ln + sin ϑ dϑ {[ ( )] + sin ϑ + cos ϑ ln + sin ϑ cos ϑ cos ϑ+ [ ] sin ϑ cos ϑ + + sin ϑ cos ϑ [ ( )] } sin ϑ ln + sin ϑ cos ϑ sin ϑ dϑ [cos ϕ( sin ϕ) + sin ϕ cos ϕ] dϕ. Gli integrandi contenenti sin ϑ cos ϑ si cancellano; quelli che contengono sin ϑ cos ϑ si riducono all addendo sin ϑ cos ϑ dϑ; quelli che contengono i logaritmi generano il termine { (cos ϑ sin ϑ) [ ( ) ( )]} ln sin ϑ cos ϑ + + ln + sin ϑ cos ϑ dϑ, mentre l ultimo integrale è banalmente nullo. Ne segue τ ds +bσ F, [ ] cos ϑ + { + cos ϑ [ ( ) ( )]} ln sin ϑ + + ln + sin ϑ dϑ { 6 + cos t [ ( ln + sin t ) ( )]} + ln + sin t dt.

8 L ultimo integrale è nullo, essendo uguale a [( d + sin t ) ( ln + sin t ) dt sin t ] dt, grazie alla periodicità di seno e coseno. In conclusione si ottiene nuovamente F, τ ds 6. Esercizio L equazione differenziale è a variabili separabili, perché +bσ y x e x y+e y y x e x e y+ey. Non esistendo soluzioni stazionarie, possiamo scrivere via via e y ey y; x e x, d dy e ey y d d e ey(x) d dx dx ex dx ex e ey(x) ex + c. Calcolando in x si trova, grazie alla condizione iniziale, e e e + c,,, da cui Ne segue c e e e e /e e. y(x) ln ln ex + c ln ln ex + e /e e. Esercizio 5 L insieme D è descritto nella figura sottostante.

9 Come è naturale, risulta + x se e solo se x ±. In coordinate cilindriche x r cos ϑ, y r sin ϑ, z z l insieme D è descritto dalle relazioni + r z, r, ϑ. Dunque D x y z (x + y ) dxdydz 8 8 +r zr cos ϑ sin ϑ dzdrdϑ cos ϑ sin ϑ dϑ sin ϑ dϑ r (r r + r + r ) dr ] ) t dt ( [ r r 8 (8 6) + 8 [ ( + t) + (7 ) [ ] z r dr +r ( ( ) + r ) dr Esercizio 6 (i) La serie è costituita da funzioni pari, quindi possiamo limitarci a vedere cosa succede per x : ciò che vale per x, vale ugualmente per x. Se x <, vale a dire < x <, ossia < x <, la serie converge assolutamente, per confronto con la serie geometrica di ragione x. Se x, vale a dire x oppure x, ossia x oppure x, la serie dei valori assoluti diverge, per confronto con la serie armonica. In definitiva, per x la serie converge assolutamente se e solo se < x <. (ii) La convergenza puntuale vale dove c è quella assoluta, ossia per < x <, e non c è né per x, né per x > : infatti per x la serie si riduce alla serie armonica, mentre per x > il termine generale non è infinitesimo. Vi è invece convergenza puntuale per x, perché in tale punto la serie diventa ( ) n e si applica il n criterio di Leibniz. In definitiva, per x la serie converge puntualmente quando < x. (iii) La serie converge uniformemente in ogni intervallo della forma [δ, δ], con δ positivo e piccolo: infatti in tali intervalli vi è addirittura convergenza totale, poiché ] 8 sup x [δ, δ] x n n ( δ ) n n < ( δ ) n < δ <.

10 Ma si ha convergenza uniforme anche in [, ]: infatti, grazie alla stima del resto N-simo fornita dal criterio di Leibniz, si ha ( x ) n sup n sup ( ) n (x ) n n (x ) N N N, e quindi x [, ] nn lim x [, ] sup nn N x [, ] nn ( x ) n n. Per x, avendosi convergenza uniforme in [δ, δ] e in [, ], la si avrà in [δ, δ] [, ] [δ, ] per ogni δ positivo e piccolo. Osservazione Si può anche calcolare la somma della serie. Infatti, se x <, posto t x si ha t n n t s n ds, e poiché la serie geometrica sn converge uniformemente in [ t, t ], t n t n s n ds Pertanto, se x <, t s ds [ ln( s)]t ln t. ( x ) n n ln ( x ) ln x. Quando x, questa relazione vale per < x < ; tuttavia, utilizzando la stima fornita dal criterio di Leibniz, il risultato si estende anche a x.