Esercizi di Analisi Reale

Transcript

1 sercizi di Analisi Reale Corso di Laurea in Matematica Terminologia. Sia R n un insieme misurabile. Una funzione positiva misurabile f su, cioè una funzione f : [, ] misurabile, ammette sempre integrale su nel senso di Lebesgue fd [, ]. Se invece f è una funzione reale misurabile su, cioè una funzione f : R misurabile, allora anche la funzione f : f [, è misurabile, perciò esiste f d [, ]. Diciamo che f è integrabile o sommabile nel senso di Lebesgue se l integrale di f su è finito. In questo caso possiamo definire l integrale di f su nel senso di Lebesgue fd R. Similmente, se f : R k è una funzione misurabile tale che f d <, allora possiamo definire l integrale di f su nel senso di Lebesgue f d fd. Rk f k d

2 e diciamo che f è integrabile o sommabile nel senso di Lebesgue. In particolare, se f : C è misurabile e f d <, allora possiamo definire fd Refd + i Imfd C e diciamo che f è integrabile o sommabile. Siano finalmente a < b reali, e f : a, b C una funzione necessariamente misurabile che è integrabile su ogni [a, b ] a, b. Se esiste il limite b a fd : lim a<a <b <b a a b b b a fd C, chiamato l integrale improprio di f su a, b, allora diciamo che f è integrabile nel senso improprio. Ovviamente possiamo definire l integrabilità nel senso improprio anche su sottoinsiemi aperti di R n con n. Regole di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema della convergenza monotona per successioni: Sia R n un insieme misurabile, e f f... una successione crescente di funzioni positive misurabili, definite su. Allora la funzione è misurabile e f : lim k f k [, ] lim k f k d fd. Teorema della convergenza monotona per parametro reale: Siano R n un insieme misurabile e < a < b, f : [a, b [,, a < b <, f : a, b] [,.

3 Se e f, y R è misurabile per ogni y [a, b y a, b] [a, b y f, y [, ] è crescente per quasi ogni a, b] y f, y [, ] è decrescente per quasi ogni allora la funzione è misurabile e f : lim f, y [, ] y b f : lim f, y [, ] y a lim f, yd fd y b lim f, yd y a fd. Teorema della convergenza dominata per sucessioni: Sia R n un insieme misurabile, e f, f, f 3,... una successione di funzioni complesse misurabili, definite su. Se esiste una funzione integrabile g: [, ] tale che ed f k g per quasi ogni, k, il limite f : lim f k esiste per quasi ogni, k allora le funzioni f, f, f 3,..., f sono integrabili e vale lim f k d fd. k Teorema della convergenza dominata per parametro reale: Sia R n un insieme misurabile, I R un intervallo, b [, ] una delle estremità di I, e f : I R. Se f, y R è misurabile per ogni y I, esiste una funzione integrabile g : [, ] tale che e f, y g per quasi ogni, y I, 3

4 il limite f : lim y b f, y R esiste per quasi ogni, allora la funzione f : R è integrabile e vale lim f, yd fd. y b Dipendenza continua da parametri reali: Sia R n un insieme misurabile, y o S R k, e f : S R. Se f, y R è misurabile per ogni y S, esiste una funzione integrabile g : [, ] tale che allora f, y g per quasi ogni, y S, S y f, y R è continua in y o per quasi ogni, la funzione S y f, yd è continua in y o. Integrali impropri: Siano a < b reali e f : a, b C una funzione misurabile. Se f è integrabile nel senso improprio cioè se l integrale improprio b a fd converge assolutamente allora f è integrabile su a, b sia improprio che nel senso di Lebesgue ed i due integrali sono uguali. Infatti, possiamo applicare il teorema della convergenza monotona ad una successione a, b χ [ak,b k ] f, k con a < b, a > a >..., lim a k a, b < b <..., lim b k b per k k ottenere l integrabilità di f, ed applicare successivamente il teorema della convergenza dominata alla successione a, b χ [ak,b k ] f, k con i stessi a k e b k per verificare l ugualità dell integrale improprio di f su a, b all integrale nel senso di Lebesgue. 4

5 Come è noto, una funzione può essere integrabile nel senso improprio senza che il suo modulo sia pure integrabile nel senzo improprio, cioè senza che la funzione stessa sia integrabile nel senso di Lebesgue. Un esempio è π/4 sin d. Infatti, tramite integrazione per parti si ottiene b π/4 sin perciò esiste la funzione d lim b π/4 b b π/4 cosb dcos b sin d π π/4 π/4, cos + π essendo integrabile. Cosicché l integrale improprio converge. Ma d altro canto π/4 sin π/4 d sin d. kπ+π/ k kπ+π/4 kπ+π/ k kπ+π/4 π + sin b π/4 cos d R, d kπ + π/ d k k +, cos d, 5

6 quindi l integrale improprio non converge. π/4 sin d. Derivazione sotto il segno di integrale. Dipendenza differenziabile da parametri reali: Sia R n un insieme misurabile, a < b numeri reali, e f : a, b R Se f, y R è integrabile per ogni y a, b, a, b y f, y R è derivabile per quasi ogni ed esiste una funzione integrabile g : [, ] tale che f, y y g per quasi ogni, allora la funzione a, b y f, y d è derivabile, f, y R è integrabile per ogni y a, b, y e vale la formula di derivazione sotto il segno di integrale : f f, yd, yd. y y Integrazione sotto il segno di integrale, cioè integrali iterati. Il primo teorema riguarda funzioni positivi misurabili : Teorema di Leonida Tonelli: Siano R n e S R k insiemi misurabili, e f : S [, ] una funzione misurabile. Allora f, y [, ] è misurabile per quasi ogni y S, S y f, y d [, ], definita quasi ovunque, è misurabile, 6

7 e vale l ugualità f, yd dy f, yd, y [, ]. S S Il secondo teorema riguarda funzioni reali o complesse integrabili : Teorema di Guido Fubini: Siano R n e S R k insiemi misurabili, e f : S C una funzione integrabile. Allora f, y C è integrabile per quasi ogni y S, S y f, y d C, definita quasi ovunque, è integrabile, e vale l ugualità f, yd dy f, yd, y C. S sercizi. S Verificare o smentire i passagi al limite sotto il segno di integrale : lim y lim n y e y d + n d Soluzione. La prima ugualità non è vera. Infatti, tramite la sostituzione t y lim y lim n y e si ottiene y d, d. + n e risulta y e y d y te t dt e y 7

8 Dall altra parte perciò lim y lim y y e s y e y y y d lim y e y. lim s se s, >, lim y y e y d. La seconda ugualità risulta usando il teorema della convergenza dominata. Definiamo le funzioni f n : [, [,, n, tramite la formula f n : +. Allora la successione f n n converge puntualmente alla n funzione per [, f : per, per, in modo crescente in [, ] ed in modo decrescente in [,. Ne segue per [, ], f n g : per,, n + ove la funzione g : [, [, è integrabile. Ora il teorema della convergenza dominata implica : f n d fd. lim n Si verifichi che la formula Fy : e + y + d definisce una funzione derivabile F : R R con 8

9 Si deduca che e così π y F y d dy y e t dt. e t dt π 4 Fy, y R y e y < e t dt lim y e t dt < y π, y >. e t dt π. Soluzione. Possiamo applicare il teorema sulla derivazione sotto il segno di integrale nella situazione,, a, b,, f, y e + y +. Infatti, la funzione continua y, f, y e +, + è integrabile per ogni y R, la derivata parziale f y, y ye + y esiste per ogni, y, R, ed abbiamo la maggiorazione uniforme f, y y y : g, y R,,. y e + Risulta che F è derivabile e F y ye + y d ty y e y t dt e y y e t dt d dy y e t dt, y R. 9

10 Cosicché esiste una costante C tale che y e dt t C Fy, y R e, poiché abbiamo y Ora, tenendo conto che * implica C F e t dt π 4 Fy e y π y 4 + d π 4, Fy, y R. * + d π 4 e y, e t dt π e y, y R 4 3 Sia a > arbitrario. Si verifichi che la formula Fy : a siny e d definisce una funzione derivabile F : R R e si calcoli la derivata di F. Si deduca che a siny e d arctg y a, y R, a >. Soluzione. Possiamo applicare il teorema sulla derivazione sotto il segno di integrale nella situazione

11 a siny,, a, b,, f, y e Infatti, tenendo conto che il modulo della funzione continua sin α α, α R, a siny, f, y e si maggiora per ogni y R con la funzione integrabile, y e a e quidi è integrabile. Di conseguenza la funzione F è ben definita. Poi esistono le derivate parziali f y, y e a cosy,, y, R e vale la maggiorazione uniforme f, y y e a cosy e a : g, y R,,, ove g :, [, è integrabile. Risulta che F è derivabile e, usando integrazione per parti, si ottiene F y e a cosyd a a e a cosy a y a y a cosyde a e a sinyd a + y a e a sinyd sinyde a. onde a + y a e a siny a y a F y y a e a cosyd

12 Concludiamo che F y a + y a a siny e d Fy F a a + y, y R. y F ηdη arctg y a, y R, a >. y a a + η dη 4 Si verifichi che la funzione [, a a sin e d è ben definita e continua. Si usi la continuità della funzione di cui sopra per calcolare Soluzione. Basta verificare che sia la funzione che la funzione è ben definita e continua. sin d. [, a F a : [, a F a : π/ π/ a sin e d a sin e d Riguardante F possiamo applicare il teorema sulla dipendenza continua da parametri reali nella situazione

13 Infatti,, π/ a sin, S [,, f, a e, π/ e a sin è continua, quindi misurabile per ogni a [,,. poi sin e a sin : g,, π/, a [,, ove g :, π/ [, è integrabile, e finalmente a sin [, a e è continua per ogni, π/, Con F abbiamo più da lavorare, perché l integrale improprio che definisce F non converge assolutamente. Ma, usando integrazione per parti, possiamo esprimere F a tramite un integrale improprio che converge assolutamente. Per questo fine calcoliamo prima una primitiva di e a sin : e a sin d e a dcos e a cos a e a cosd e a cos a e a dsin e a cos ae a sin a e a sin d implica e a sin d e a cos + a sin + C, a R. + a Ora abbiamo per ogni a [, e b > π/ b π/ b π/ a sin e d d e a cos + a sin + a 3

14 perciò e a cos + a sin + a b π/ b π/ e a cos + a sin d, + a F a lim b b π/ a sin e d aπ a π + a e π/ e a cos + a sin d, + a dove l integrale improprio converge assolutamente. Risulta che la continuità di F è equivalente alla continuità di [, a π/ e a cos + a sin d + a che si verifica similmente come abbiamo fatto per F. Concludiamo che F F +F è continua. Poiché nell esercizio 3 abbiamo visto che Fa arctg a, a,, risulta che sin d F lim Fa lim arctg <a <a a π. 5 Sia a, arbitrario. Si verifichi che la formula Fa : π/ ln + a cos a cos cos d definisce una funzione derivabile F :, R e si calcoli la derivata di F. Si deduca che 4

15 π/ Soluzione. Poiché ln + a cos a cos d πarcsina, a,. cos < ln + t < t, t >, abbiamo ln + a cos a cos cos + a cos ln a cos cos cos ln a cos + a cos a a cos a a,, π, a,. Applicando il teorema sulla dipendenza continua da parametri reali, risulta che la formula π/ Fa : ln + a cos a cos cos d definisce una funzione continua F :, R. Poi, siccome ln + a cos a a cos cos a cos e a cos a,, π, a, per il il teorema sulla derivazione sotto il segno di integrale F è derivabile in, e F a : π/ d, a,. a cos 5

16 Per calcolare l integrale alla parte destra usiamo la sostituzione t tg, cos + tg + t, ottenendo F a π/ dt cos d + tg d, d + t dt a cos d a + t a + t dt a a arctg π a + t dt t d t a + a t t a t, a,. Risulta che Fa π arcsin a + C e, poiché F, la costante C dev essere uguale a zero. Cosicché a b π/ ln + a cos a cos d Fa πarcsina, a,. cos 6 Derivando sotto il segno di integrale, calcolare gli integrali : arctg y + d, y >, e a cosbd, a >, b R. 6

17 Soluzione. Dia : Poiché abbiamo arctgλ λ, λ, arctgy + y +,, y. Applicando il teorema sulla dipendenza continua da parametri reali, risulta che la formula Fy : arctg y + d definisce una funzione continua F : [, [,. Per di più, poiché arctgy y y +, per il il teorema sulla derivazione sotto il segno di integrale F è derivabile in, e F y : + + y d, y >. Ora calcoliamo l integrale alla parte destra di questa ugualità : Se y allora abbiamo la decomposizione in fratti semplici e risulta + + y y + y y F y y arctg y y arctgy π y y π y y π y π + y : 7 + y

18 Infatti, sappiamo che esistono costanti a, b, c, d R tali che + + y a + b + + c + d + y e queste costanti si calcolano come segue : a + b + y + c + d + implica ay + c 3 + by + d + a + c + b + d ay + c by + d a + c b + d e dalla prima e la terza equazione risulta a c, mentre la seconda e la quarta equazione hanno come soluzione b y, d y y. Se invece y, allora usando il solito metodo di integrazione della funzione si ottiene + F y + d quindi anche in questo caso vale F y π + + arctg π 4, + y : Tramite integrazione per parti si ottiene + d d d 8 d + d

19 e da questa relazione si esprime + d arctg. + d Concludiamo che F è una primitiva della funzione, y π + y e così della forma Fy π ln+y+c. Ma, poiché lim Fy F, <y la costante C dev essere uguale a zero e risulta Dib : arctg y + d Fy π ln + y, y >. Sia a > e definiamo la funzione F : R R tramite la formula Fb : e a cosbd. e Poiché e a cosb e a sinb, b e a sinb e a e 3a 4 a e a a 4 }{{} / e 3a 4, a per il il teorema sulla derivazione sotto il segno di integrale F è derivabile e F b : e a sinbd, b R. 9

20 Successivamente, tramite integrazione per parti risulta F b a sinbde a sinb a e a b a Fb, b R. b a Ora, risolvendo l equazione differenziale lineare F b b a Fb con la condizione iniziale otteniamo F e a d s a a e a cosbd Fb e s ds secizio e a cosbd π a, π b a e 4a, b R. 7 Applicando il teorema di Tonelli alla funzione si calcoli e +y e d. Soluzione. La funzione f :,, [, definita dalla formula f, y : e +y è continua, quindi misurabile, perciò possiamo applicare il teorema di Tonelli ottenendo

21 e +y d dy e +y d, y e, similmente, Di conseguenza e +y dy d e +y d dy,,,, e +y d, y. e +y dy d. Calcoliamo le due parti dell ugualità di cui sopra : Poiché e +y d e +y d + y + y risulta + y, e +y d dy D altro canto, per ogni > vale e +y dy e + y dy π 4. e y dy t y e e t dt

22 e così e +y dy d e e t dt d e t dt e d. e d Concludiamo che π 4 e d, cioè e d π.