Analisi Matematica I

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 996/97 Cognome e Nome: Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica I Prova Scritta del dicembre 997 Matricola: Documento di identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo.. Mostrare che le formule a = π, a n+ := arcsen + sen an definiscono a n per ricorrenza per ogni n N, che la successione a n è compresa fra 0 e π/ e debolmente decrescente, e calcolarne il limite, se c è.. Determinare tutte le soluzioni reali dell equazione in 00 + e 00 = + e 00. Studiare la differenza dei due membri come funzione di. 3. Dimostrare che la funzione f := { e / sen e / per 0, 0 per =0 ha derivata prima e seconda in =0,chef 0 = f 0 = 0 e che f ha in 0 un minimo locale. Bisogna ricorrere alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.. Calcolare il seguente integrale, se ha senso: e +. Se si prende come nuova variabile il denominatore ci si riporta a un integrale di funzione razionale. Punti: 0, 0, 0, 0

2 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 996/97 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica I Prova Scritta del dicembre 997 Svolgimento. La formula che definisce a n+ è del tipo ricorsivo a n+ := fa n,n, e non n a n del tipo iterativo a n+ = fa n, perché lan compare anche nell indice di radice, e non solo come indice di a n. In altre parole per calcolare a n+ non basta sapere il valore di a n ma anche di n. Per essere sicuri che la successione sia ben definita bisogna che non càpiti che per un certo a n le operazioni che producono a n+ non siano definite. Cominciando dall interno, il seno è definito ovunque, quindi non dà problemi, così come l addizione o la sottrazione con. La radice ennesima invece non è definita per argomenti negativi quando n è pari. Però l argomento è + sen a n, che è compreso fra 0 e perché il seno di qualsiasi cosa è fra e, per cui anche qui non ci sono ostacoli. Infine l arcoseno è definito solo per argomenti fra e. D altra parte 0 +sen a n, per cui 0 + sen a n e quindi + sen a n, come richiesto dall arcoseno. Riassumendo: la successione è ben definita Dimostriamo per induzione che 0 a n π/. Per n =è ovvio. Supponendo che sia vero per un certo n, avremo che 0 sen a n, da cui successivamente + sen a n, = + sen a n, 0 + sen a n, arcsen + sen a n π/, cioè 0 a n+ π/, che è quanto volevamo dimostrare. Per studiare la monotonia, conviene prima fare un esplorazione numerica, che è riportata nella tabella sopra, e fa pensare che la successione sia debolmente decrescente. Vediamo di dimostrarlo formalmente. Conviene prima osservare che dalla disuguaglianza di Bernoulli + n +n, valida per en intero segue, estraendo la radice ennesima di ambo i membri, che + +n +. Applicando la disuguaglianza con = sen a n si ottiene n + sen a n + sen a n,dacui + sen a n + sen a n = sen a n e infine a n+ = arcsen + sen an arcsen sen a n = a n. Si può anche procedere dimostrando per induzione che 0 a n+ a n π/, senza bisogno di usare la disuguaglianza di Bernoulli, ma soltanto che n+ se. Per n =è vero: a = arcsen + sen a = arcsen + sen a n = arcsen sen a = a. Notare che a = a, come lasciava pensare anche il valore numerico approssimato. Supponendo che sia vero per un certo n si deduce successivamente che: 0 a n+ a n π/ = 0 sen a n+ sen a n = + sen a n+ + sen a n = = n+ n+ + sen a n+ + sen a n+ + sen a n = 0 n+ + sen a n+ + sen a n n+ = 0 arcsen + sen a n+ arcsen + sen an π/ 0 a n+ a n+ π.

3 Analisi Matematica I Svolgimento dicembre 997 Essendo monotona e limitata, la successione a n ammette limite, e il limite l è compreso fra 0 e π/, anzi, fra0ea = π/. Tuttavia non c è bisogno in questo caso di sapere a priori che il limite esiste per calcolarlo. Infatti possiamo scrivere 0 a n+ = arcsen + sen an arcsen n. Per n + l ultimo membro della disuguaglianza tende ad arcsen = 0 poiché =e ln /n e 0 = e per la continuità dell arcoseno. Dunque per il teorema del confronto abbiamo che a n+ 0. Dovrebbe essere ovvio che anche a n tende allo stesso limite. Attenzione! Non cadere nel comunissimo erroraccio di passare al limite soltanto in a n, lasciando libero n nell indice di radice, scrivendo qualcosa come no!! lim arcsen + sen an = arcsen + sen l no!! n +. Bisogna risolvere l equazione 00 + e 00 = + e 00. Ad occhio si vede che =0è una soluzione. Ce ne sono altre? Chiamiamo f la differenza dei due membri: f := 00 + e 00 + e 00. Può essere che gli strumenti che conosciamo per studiare una funzione bastino per decidere se esistono altre soluzioni dell equazione ed eventualmente trovarle. Come abbiamo già notato f0 = 0. La derivata di f è f = e 99 = e 99. Poiché e>0 abbiamo che <+ e per ogni R. Essendo l esponente 99 dispari, da<+ e segue che 99 < + e 99 la funzione y y 99 è strettamente crescente. Quindi f = e 99 < 0 per ogni R. La derivata della f è sempre minore di zero, per cui f è stret- 6 tamente decrescente. Una funzione strettamente monotona non può annullarsi in più di un punto. Conclusione: = 0è l unica soluzione dell equazione. Chi volesse cimentarsi nel disegnare un grafico della funzione f calcolandone il valore per punti deve stare in guardia contro seri problemi di precisione numerica. La derivata in = 0 è f 0 = 00e , il che vuol dire una pendenza piuttosto ripida del grafico vicino all origine. Fra l altro piccolissime -6 variazioni nell approssimazione decimale di e possono cambiare di molto il risultato. Chi ha accesso ad aritmetica intera esatta ad arbitraria precisione può provare a cambiare equazione sostituendo ad e un numero intero esatto, per esempio. Il grafico qui accanto ritrae la funzione g := nell intervallo fra 0 3 e0 3. Le scale sui due assi sono diverse. 3. Che f abbia un minimo locale per = 0 segue facilmente dalla definizione: f f0 per ogni abbastanza vicino a 0. Infatti per 0 si ha f =e / {{ sen {{ e / 0=f0 >0 0 il primo fattore è > 0 perché è un esponenziale; il secondo è 0 perché è un quadrato. La definizione di f passa per una scelta logica se = 0 o no, che non rientra nella casistica delle regole sulla derivata delle

4 Analisi Matematica I Svolgimento dicembre 997 funzioni elementari. Per decidere se la f sia o no derivabile nell origine dobbiamo ritornare alla definizione di derivata. Il rapporto incrementale di f in 0 è f f0 0 = e / sen e / 0 0 = e / sen e /. Il limite per 0 del fattore e / / si trova colla sostituzione / = y, qualche manipolazione, e la regola de L Hôpital: e / e y lim 0 ± /y y L Hôpital =0. e y ye y Il fattore sen e / non ha limite per 0, però è compreso fra 0 e. Il prodotto ha quindi limite 0: e / sen e / e / 0 per 0. Pertanto la derivata prima f 0 esiste e vale 0: f f f0 0 : = La derivata seconda è definita come la derivata della derivata prima. Nell origine in particolare abbiamo f f f 0 f 0 f 0 : se esiste il limite Fuori dall origine la derivata prima si ottiene con le solite regole di derivazione delle funzioni elementari: per 0 f = 3 sen e / + e e / / sen e / cos e / e / = Dividendo per f = e / 3 = e / {{ =:A sen e / e/ / sen e / cos e /. sen e / {{ =:B I fattori B ed sono compresi fra e. sostituzione y = /: lim A = ±0 lim A/y = y e y e/ / 3 {{ =:C sen e / cos e /. {{ =:D Il limite degli altri fattori si trova come prima con la lim e y /y L Hôpital y e y y ye y L Hôpital y 3 = ye y e y =0. Similmente per C, ricordando che y y = y /y + per y ±, per cui pure e y y + per y ± : lim C = ±0 lim C/y = lim e y y /y 3 y 3 e y y y e y y +y e = y y y +y {{ =0 e y y {{ 0 0 Possiamo concludere che esiste f 0 e vale 0. Se si vuole tracciare un grafico di f bisogna stare attenti che il fattore sen e / è fortemente oscillante a destra di 0. Il grafico di f oscilla con tratti quasi verticali fra l asse e il grafico della funzione e /, che è indistinguibile dall asse nelle vicinanze dell origine. L Hôpital 6y y e y y f e / 0 0 L Hôpital = f 3

5 Analisi Matematica I Svolgimento dicembre 997. La funzione e + e + è ben definita per ogni R perché e > 0, per cui la radice quadrata interna esiste ed è pure > 0. Pure e + > > 0, per cui anche la seconda radice esiste ed è > 0. Infine il reciproco di un numero > 0è ben definito. La funzione è poi integrabile su qualunque intervallo limitato, e in particolare su [, ], per uno a scelta di due motivi indipendenti: la funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue, ed è monotona decrescente perché il denominatore è crescente. Insomma, l integrale e + ha perfettamente senso, ed è un numero > 0. Seguendo il suggerimento proviamo a prendere come nuova variabile il denominatore: e y := +. Ricaviamo in funzione di y. Notiamo che necessariamente y>0, in quanto radice di un numero > 0. Quindi si può tranquillamente elevare al quadrato ottenendo una formula equivalente: e y = + y = e + y = e = e / y y e+ e + = lny. Quindi e l integrale diventa lny = = y ydy= y y dy, e + e + = e + y y y dy = e + = e+ y dy. Decomponiamo in fratti semplici: y = y y + = A y + B Ay + A + By B A + By +A B = = y + y y + y. Uguagliando i numeratori si ottiene { A + B =0 A B = Quindi e + e+ y dy = [ = = e + e+ / y / y + { A = B = e + dy = e+ ] e + = e+ { A =/ B = /. y y + dy = lny lny + ln e + ln e ++ ln e + +ln e ++ = =ln e + e ++ e ++ e +. Il valore numerico dell integrale è circa 0,85769.

6 Analisi Matematica I Svolgimento dicembre 997 Un modo leggermente diverso di procedere era di calcolare una primitiva della funzione originale e poi sostituire gli estremi originali. Per la primitiva veniva e + = y dy e = lny lny + y= = e + y= + =ln e + ln e ++. Per chi conosce le funzioni iperboliche l integrale si può scrivere in modo più compatto. Infatti una primitiva di y /y è y arctanh y, per cui e + e + = e+ y dy =[ arctanh y ] e + e+ = = arctanh e + arctanh e +. 5