Appello di Matematica II Corso di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche 19 Giugno ( 1) n sin 1. n 3

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1 Appello di Matematica II Corso di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche 9 Giugno 203 TRACCIA A. Studiare il carattere della seguente serie numerica + n= ( ) n sin. Si tratta di una serie a termini di segno alterno del tipo + n= ( )n a n, con a n = sin > 0 in quanto 0 < < e quindi la funzione seno è positiva. Se la serie assegnata converge assolutamente, allora essa convergerebbe per il criterio di convergenza assoluta. Si consideri quindi la serie dei moduli + n= sin e se ne studi il carattere. Applicando il criterio dell ordine dell infinitesimo si vede che la serie converge in quanto n + np sin = n + sin n np 3 = n + np 3/2 e questo ite è diverso da zero (in particolare uguale a ) se e solo se p = 3/2. Essendo 3/2 > la serie dei moduli converge e quindi anche la serie assegnata. 2. Data la funzione f(x, y) = e 2x+y (x y) 2 determinare gli eventuali estremi relativi. La funzione assegnata è definita in tutto il piano euclideo. Si calcolino le derivate parziali prime: f x (x, y) = 2e 2x+y (x y) 2 + 2e 2x+y (x y) = 2e 2x+y (x y)(x y + ) f y (x, y) = e 2x+y (x y) 2 2e 2x+y (x y) = e 2x+y (x y)(x y 2) Si studi il sistema dei punti critici: { { fx (x, y) = 0 2e f y (x, y) = 0 = 2x+y (x y)(x y + ) = 0 e 2x+y (x y)(x y 2) = 0 = { (x y)(x y + ) = 0 (x y)(x y 2) = 0 (essendo e 2x+y sempre diverso da zero). Dalla prima equazione di ha che o y = x oppure x y + = 0. Sostituendo y = x nella seconda equazione si ottiene 0 = 0, per cui la retta y = x è una retta di punti critici. Se invece x y =, sostituendo nella seconda equazione si ha 3 = 0 che è una uguaglianza numerica falsa. Per cui gi unici punti critici sono quelli del luogo y = x. Per studiare la natura di questi punti critici effettuiamo un analisi locale. Detto P t (t, t) (t R) il punto generico della retta y = x, se fosse un minimo relativo per la funzione, allora esisterebbe un intorno del punto in cui si ha f(x, y) f(t, t), ovvero e 2x+y (x y) 2 0, che è sempre vero in quanto prodotto di quantità positive. Dunque la retta y = x è costutuita da tutti punti di minimo relativo (in particolare assoluto perché la disuguaglianza vale in tutto il piano) per f(x, y).

2 3. Risolvere la seguente equazione differenziale y (x)(x 2 + ) 2x y 2 (x) + 3 = 0. L equazione assegnata si può riscrivere nella seguente forma y (x) = 2x y x (x) + 3 per cui si tratta di un eq. differenziale del primo ordine a variabili separabili. Visto che y 2 (x) sempre, si passa subito a separare le variabili e ad integrare: dy y = 2x x 2 + dx = ln(x2 + ) + C, C R. Resta da risolvere l integrale al primo membro. Si tratta di un integrale di una funzione irrazionale che si può risolvere per sostituzione: posto y = t y si ricava e l integrale diventa y = t2 3, dy = t dt, y = t2 + 3 dy y = dt t = ln t = ln y + y per cui ln y + y = ln(x 2 + ) + C, C R = y + y = (x 2 + )e C e quindi la soluzione dell eq. in forma implicita è y + y = C(x 2 + ), C Dire cosa si intende per funzione integrabile in senso improprio sull intervallo [, + ). Sia f : [, + ) R una funzione localmente integrabile su [, + ) (i.e. integrabile su ogni intervallo compatto del tipo [, b] con b > ). Allora f si dice integrabile in senso improprio su [, + ) se esiste il seguente ite b b + f(x) dx =: + f(x) dx. Se tale ite è finito si dice che l integrale converge, altrimenti si dice che diverge. Se il ite non esiste allora la funzione non è integrabile in senso improprio. 5. Si consideri l equazione differenziale y + ay + by = e 2x () con a, b R. Rispondere alle seguenti domande motivando le risposte: 2

3 (a) Se y (x) e y 2 (x) sono due soluzioni di (), la funzione y (x) y 2 (x) 2 è ancora soluzione di ()? No perché se si calcolano le derivate e si sostituiscono nel primo membro dell equazione, si vede che non la risolvono. Infatti, si chiami per comodità z(x) = y (x) y 2 (x) 2, si ha z (x) = y (x) y 2 (x), z (x) = y (x) y 2 (x), allora z +az +bz = y y 2 +a(y y 2)+b(y y 2 2) = y +ay +by y 2 ay 2 by 2 2b = 2b e 2b e 2x. (b) Se 2 + 2a + b = 0, si può dire che forma deve avere una soluzione particolare di ()? Nel caso in questione il termine noto è g(x) = e 2x, ovvero una funzione esponenziale. Per trovare una soluzione particolare dell eq. differenziale assegnata si può usare il metodo di somiglianza che dice che la soluzione particolare è: y p (x) = Ce 2x se 2 non è soluzione dell equazione caratteristica; y p (x) = Cxe 2x se 2 è una soluzione semplice dell equazione caratteristica (in questo caso > 0); y p (x) = Cx 2 e 2x se 2 è soluzione doppia dell equazione caratteristica (in questo caso = 0), dove l equazione caratteristica è λ 2 +aλ+b = 0. Il numero 2 è soluzione se 4+2a+b = 0, ma si ha per ipotesi che 2a + b = 2 per cui sostituendo in 4 + 2a + b = 0 questo valore si ottiene 2 = 0 che è falso. Allora y p (x) = Ce 2x con C R. 6. Sia f : A R 2 R una funzione a due variabili definita in un aperto A del piano euclideo. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta. (a) Se f è continua e derivabile in A, allora ammette derivate direzionali in ogni punto di A. Falso. Non è sempre vera questa implicazione, lo sarebbe se le derivate fossero anche continue in ogni punto di A in quanto così varrebbero le ipotesi del teorema del differenziale totale da cui seguirebbe che f è differenziabile e quindi ammetterebbe derivata direzionale lungo ogni direzione. (b) Se f ammette derivate direzionali lungo ogni direzione in A allora f è derivabile in A. Vero. Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, ovvero sono le derivate direzionali lungo la direzione degli assi. (c) Se f è differenziabile in A allora qualunque sia il versore v = (v, v 2 ) si ha f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v 2 + f y(x 0, y 0 )v 2 per ogni punto (x 0, y 0 ) di A. Falso. Sotto l ipotesi di differenziabilità la formula è f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v +f y (x 0, y 0 )v 2. (d) Se f ammette derivate direzionali lungo ogni direzione in A allora f è differenziabile A. Falso. Ci sono funzioni che ammettono derivate direzionali lungo ogni direzione ma non sono differenziabili. L implicazione inversa invece è sempre vera. 3

4 TRACCIA B. Studiare il carattere della seguente serie numerica + n= ( ) n (e ). Si tratta di una serie a termini di segno alterno del tipo + n= ( )n a n, con a n = e > 0 in quanto > 0 e quindi la funzione esponenziale è maggiore di. Se la serie assegnata converge assolutamente, allora essa convergerebbe per il criterio di convergenza assoluta. Si n= (e consideri quindi la serie dei moduli + ) e se ne studi il carattere. Applicando il criterio dell ordine dell infinitesimo si vede che la serie converge in quanto (e n + np (e ) = np n + ) = n + np 3/2 e questo ite è diverso da zero (in particolare uguale a ) se e solo se p = 3/2. Essendo 3/2 > la serie dei moduli converge e quindi anche la serie assegnata. 2. Data la funzione f(x, y) = (x y) 2 e x+2y determinare gli eventuali estremi relativi. La funzione assegnata è definita in tutto il piano euclideo. Si calcolino le derivate parziali prime: f x (x, y) = 2(x y)e x+2y + (x y) 2 e x+2y = (x y)e x+2y (2 + x y) f y (x, y) = 2(x y)e x+2y + 2(x y) 2 e x+2y = 2(x y)e x+2y (x y 2) Si studi il sistema dei punti critici: { fx (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 = { (x y)e x+2y (2 + x y) = 0 2(x y)e x+2y (x y 2) = 0 = { (x y)(2 + x y) = 0 (x y)(x y 2) = 0 (essendo e x+2y sempre diverso da zero). Dalla prima equazione di ha che o y = x oppure 2 + x y = 0. Sostituendo y = x nella seconda equazione si ottiene 0 = 0, per cui la retta y = x è una retta di punti critici. Se invece x y = 2, sostituendo nella seconda equazione si ha 4 = 0 che è una uguaglianza numerica falsa. Per cui gi unici punti critici sono quelli del luogo y = x. Per studiare la natura di questi punti critici effettuiamo un analisi locale. Detto P t (t, t) (t R) il punto generico della retta y = x, se fosse un minimo relativo per la funzione, allora esisterebbe un intorno del punto in cui si ha f(x, y) f(t, t), ovvero (x y) 2 e x+2y 0, che è sempre vero in quanto prodotto di quantità positive. Dunque la retta y = x è costutuita da tutti punti di minimo relativo (in particolare assoluto perché la disuguaglianza vale in tutto il piano) per f(x, y). 4

5 3. Risolvere la seguente equazione differenziale 2y (x)y(x) x = y 2 (x) +. Per prima cosa si osserva che y = 0 non è soluzione dell equazione differenziale assegnata in quanto sostituendo si ottiene 0 = che è falso. Per cui si puó dividere per y e l equazione assegnata si può riscrivere nella seguente forma y (x) = y2 (x) + 2y(x) x per cui si tratta di un eq. differenziale del primo ordine a variabili separabili. Si passa a separare le variabili e ad integrare: 2y y 2 + dy = x dx = ln(y2 + ) = x dx. Resta da risolvere l integrale al secondo membro. Si tratta di un integrale di una funzione irrazionale che si risolve per sostituzione: : posto x = t x si ricava e l integrale diventa per cui x = t2 3, dx = t dt, x = t2 + 3 dx dt x = t = ln t = ln x + x ln(y 2 + ) = ln x + x C, C R = y 2 + = e C x + x da cui l integrale generale dell eq. in forma implicita è il seguente y 2 (x) = C x + x 2 + 3, C > Dire cosa si intende per funzione integrabile in senso improprio sull intervallo (, ]. Sia f : (, ] R una funzione localmente integrabile su (, ] (i.e. integrabile su ogni intervallo compatto del tipo [a, ] con a < ). Allora f si dice integrabile in senso improprio su (, ] se esiste il seguente ite a a f(x) dx =: f(x) dx. Se tale ite è finito si dice che l integrale converge, altrimenti si dice che diverge. Se il ite non esiste allora la funzione non è integrabile in senso improprio. 5. Si consideri l equazione differenziale y + ay + by = e x (2) con a, b R. Rispondere alle seguenti domande motivando le risposte: 5

6 (a) Se y (x) e y 2 (x) sono due soluzioni di (), la funzione y (x) y 2 (x)+4 è ancora soluzione di ()? No perché se si calcolano le derivate e si sostituiscono nel primo membro dell equazione, si vede che non la risolvono. Infatti, si chiami per comodità z(x) = y (x) y 2 (x) + 4, si ha z (x) = y (x) y 2 (x), z (x) = y (x) y 2 (x), allora z +az +bz = y y 2 +a(y y 2)+b(y y 2 +4) = y +ay +by y 2 ay 2 by 2 +4b = 4b e 4b e x. (b) Se + a + b = 0, si può dire che forma deve avere una soluzione particolare di ()? Nel caso in questione il termine noto è g(x) = e x, ovvero una funzione esponenziale. Per trovare una soluzione particolare dell eq. differenziale assegnata si può usare il metodo di somiglianza che dice che la soluzione particolare è: y p (x) = Ce x se non è soluzione dell equazione caratteristica; y p (x) = Cxe x se è una soluzione semplice dell equazione caratteristica (in questo caso > 0); y p (x) = Cx 2 e x se è soluzione doppia dell equazione caratteristica (in questo caso = 0), dove l equazione caratteristica è λ 2 + aλ + b = 0. Il numero è soluzione se + a + b = 0 che è vero per ipotesi. Allora y p (x) = Cxe x o y p (x) = Cx 2 e x con C R. 6. Sia f : A R 2 R una funzione a due variabili definita in un aperto A del piano euclideo. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta. (a) Se f è continua e derivabile con continuità in A, allora ammette derivate direzionali in ogni punto di A. Vero per il teorema del differenziale totale (b) Se f ammette derivate direzionali lungo ogni direzione in A allora f è continua in A. Falso, ci vorrebbe la differenziabilità (c) Se f è differenziabile in A allora qualunque sia il versore v = (v, v 2 ) si ha f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v + f y (x 0, y 0 )v 2 2 per ogni punto (x 0, y 0 ) di A. Falso. Sotto l ipotesi di differenziabilità la formula è f v (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )v +f y (x 0, y 0 )v 2. (d) Se f ammette derivate direzionali lungo ogni direzione in A allora esistono f x (x 0, y 0 ) e f y (x 0, y 0 ) per ogni punto (x 0, y 0 ) A. Vero. Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, ovvero sono le derivate direzionali lungo la direzione degli assi. 6