ANALISI MATEMATICA 2 ING. ENERGETICA prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 22/01/2019

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1 I.1 ANALISI MATEMATICA ING. ENERGETICA prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del /1/19 1. Si consideri la funzione x +y, x,y,, fx,y = [ln1+x +y ] 1, x,y =,. A Si dimostri che f è continua in,. B Si dimostri che nessuna derivata direzionale in, esiste. C Si determini la direzione di massima crescita per f in,1 cioè la direzione che dà la massima derivata direzionale. A Usiamo le coordinate polari: Si sa che fx,y = gr =, r >. [ln1+r ] 1 r ln1+r = r +or, r. lim gr = lim r + r + r 4 r +or 1 =. B Sia a,b un qualunque versore. Allora costruiamo il rapporto incrementale Rt = fat,bt f, t t t = = t[ln1+t ] 1 [t +ot ] 1 lim Rt = 1 lim Rt = 1. t + t = signt [1+o1] 1 C La direzione cercata coincide con quella del gradiente. Se x,y, Per motivi di simmetria x = [ln1+x +y ] 1{ x[ln1+x +y ] 1 xx +y [ln1+x +y ] 1 1+x +y 1}.,1 =. x y = [ln1+x +y ] 1{ y[ln1+x +y ] 1 yx +y [ln1+x +y ] 1 1+x +y 1}..

2 I. y,1 = [ln] 1{ [ln] 1 1 } [ln] 1 = 1 [ln] 3 {ln 4 1} >, poiché 4 > e. la direzione è,1.,1.. Determinare massimo e minimo assoluti, e i relativi punti di estremo, della funzione fx,y = x 4 y 4 y, in E = {x,y x +y 1}. La f C R e il dominio E è compatto, quindi f assume massimo e minimo su E. A Iniziamo a cercare i punti di estremo interni a E. Si ha x = 4x3, y = yy +1. i punti critici si riducono a,, che appartiene all interno di E, ove f, =. B Studiamo quindi f su E = γ 1 con Si ha con g C R e γ 1 : x +y = 1. γ 1 : gx,y = x +y 1 =, gx,y = x,y, su γ 1. Quindi possiamo usare i moltiplicatori di Lagrange. Il sistema relativo è La I implica 4x 3 = λx, 4y 3 y = λy, x +y = 1. x = oppure λ = x. Se x = la III dà y = ±1 e la II λ = 3. abbiamo le soluzioni,±1. Sia invece x, λ = x ; la II dà y = oppure λ = y 1.

3 I.3 Se y =, la III dà x = ±1 e quindi λ =. abbiamo le soluzioni ±1,. Se invece y, dalla III si ha x +y = λ λ+1 impossibile. Calcoliamo i valori nei punti candidati di estremo: = 1, f, =, f,±1 =, f±1, = 1. minf = f,±1 =, max E f = f±1, = 1. E 3. Si trovi il punto di massimo assoluto della funzione fx,y = 1 x y, vincolata alla curva γ : y = 1 1+x, x Poiché lim f 1 x, x ± 1+x =, il massimo cercato esiste. Si possono usare i moltiplicatori di Lagrange, poiché γ : gx,y = y 1 1+x =, con g C R e gx,y per ogni x,y R. si ha il sistema La I dà x x = λ 1+x, y = λ, y = 1 1+x. x = oppure λ = 1+x. Se x =, la III dà y = 1 e quindi λ = dalla II. Si ha pertanto la soluzione,1. Se x e λ = 1+x, allora dalla II y = λ = 1+x,

4 I.4 e la III dà cioè Si hanno pertanto le soluzioni 1+x = 1 1+x, 3 x = ± ± 1, 3. Calcoliamo Infatti f,1 =, 3 1 f ± 1, 3 = 3 3 >. 3 3 = >. 3 1 maxf = f ± 1, γ 3 = Si calcoli l integrale doppio ove Si ha D xy dx dy, D = {x,y y e x, x 1}. D xy dxdy = 1 [ ex ] y dy xdx = 1 1 xe x dx = ] 1 [e x 4 = e 1 4. e Si determinino tutte le primitive del campo vettoriale in R. F = xy, x +cosy

5 I.5 Se U = F, si deve avere ossia U x = xy, x,y R, Ux,y = 1 x y +gy, per un opportuna funzione g : R Perciò per cui con C U y = x +g y. g y = cosy, y R, gy = siny +C, y R, Ux,y = x y +siny +C, x,y R, con C R arbitrario. 6. Calcolare l integrale curvilineo y 1 y dr, ove γ è la curva data dal grafico di γ fx = sinx, x π, percorsa nel verso di x crescente. Si ha f x = cosx, cosicché π sinx 1 sinx 1+cosx dx = Cambiamo variabile π sinxcosx 1+cosx dx. t = cosx, dt = cosxsinx. l integrale dato diviene t dt = [ ] 1 1+t dt = 1+t 3 3 =

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7 I.1 ANALISI MATEMATICA ING. ENERGETICA prof. Daniele Andreucci Prova teorica del /1/19 1. Sia f C R. Dire per ciascuno dei seguenti punti se si può concludere che sia, o non sia, un punto di massimo locale e perché. 1 1 fx 1,y 1 =,, H f x 1,y 1 = ; 4 1 fx,y =,, H f x,y = ; fx 3,y 3 = 1,, H f x 3,y 3 = ; fx 4,y 4 =,, H f x 4,y 4 =. 1. Sia f : R R ; si considerino le tre affermazioni: a f è differenziabile in x,y ; b f è continua in x,y ; c f ha le derivate parziali in x,y. Dire quali implicazioni tra queste affermazioni valgono, citando i teoremi opportuni, e quali non valgono, motivando la risposta con opportuni controesempi. 3. Dire quali dei seguenti campi vettoriali ammettono primitiva nell aperto indicato, e quali no. 1 F 1 = x,x, in R ; F = ye xy,xe xy +1, in,1,1; y x 3 F 3 = x +y, x +y, in,+,+ ; y x 4 F 4 = x +y, x +y, in {1 < x +y < 4}. 4. Enunciare il teorema di Gauss-Green. 5. Enunciare il teorema di Weierstrass per funzioni continue di due variabili. 6. Scrivere la formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di due variabili.