A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 13 gennaio 2009

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1 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II gennaio 2009 Teoria: Enunciare ed illustrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Esercizio. Calcolare l area della regione piana delimitata dalle curve y = x+2 e y = x+2x 2. 8 Esercizio 2. Calcolare log( x) x operando la sostituzione x = t. 2 xlog( x) 2 x + k Esercizio. ) eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x,y) = xy + x 2 + y ) eterminare e disegnare il dominio della funzione dx f(x,y) = x y. ire, giustificando la risposta, se la funzione ha punti critici. a)(0,0) P.to di minimo b)non ha punti critici B Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II gennaio 2009 Teoria: Enunciare ed illustrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Esercizio. Calcolare l area della regione piana delimitata dalle curve y = x 2 e y = 2x +x 2. 6 Esercizio 2. Calcolare log(5 x) x operando la sostituzione x = t. 2 xlog(5 x) 2 x + k dx

2 Esercizio. ) eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x,y) = xy x 2 y ) eterminare e disegnare il dominio della funzione f(x,y) = y x 2. ire, giustificando la risposta, se la funzione ha punti critici. a)(0,0) P.to di massimo b)non ha punti critici

3 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 6 gennaio 2009 Teoria: Integrale indefinito di una funzione f(x): definizione e proprietà. Esercizio. eterminare tutte le primitive della funzione f(x) = x e x2, utilizzando la sostituzione x 2 = t. 2 x2 e x2 2 ex2 + k Esercizio 2. Calcolare l area della regione = {(x,y) : x 2 y 4 x2, x 0,y 0} 2 Esercizio. Calcolare l integrale doppio y dx dy ex dove è la porzione di piano (limitata) del primo quadrante contenuta tra y = e x e la retta x =. 2 e 2 B Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 6 gennaio 2009 Teoria: Integrale indefinito di una funzione f(x): definizione e proprietà. Esercizio. eterminare tutte le primitive della funzione f(x) = x 5 e x, utilizzando la sostituzione x = t. ex (x ) + k Esercizio 2. Calcolare l area della regione = {(x,y) : x 2 y 4 x2, x 0,y 0} 2

4 Esercizio. Calcolare l integrale doppio y dx dy ex dove è la porzione di piano (limitata) del terzo quadrante contenuta tra y = e x e la retta x =. 2 2 e

5 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II febbraio 2009 Teoria: efinizione di media integrale di una funzione f(x) e relativo teorema. Esercizio. ) Calcolare cosx sin(sin x) dx, utilizzando la sostituzione sinx = t; 2) determinare la primitiva F(x) di f(x) = cos x sin(sin x), tale che F(0) = 0. a) cos(sinx) + k b) cos(sinx) + Esercizio 2. ) eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x,y) = x + 2 x2 y y2 2 x2. 2) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie grafico di f(x,y) nel punto P(,0, 2 ). (0,0) P.to di sella (,0) P.to di minimo Esercizio. Calcolare l integrale doppio dove = {(x,y) R 2 : x 0, y 0, y x}. ( + x + 2y) dx dy, B Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II febbraio 2009 Teoria: efinizione di media integrale di una funzione f(x) e relativo teorema. Esercizio. ) Calcolare sin x cos(cosx) dx, utilizzando la sostituzione cosx = t; 2) determinare la primitiva F(x) di f(x) = sin x cos(cosx), tale che F( π 2 ) =.

6 a) sin(cosx) + k b) sin(cosx) + Esercizio 2. ) eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x,y) = x 2 x2 y 2 2 y2 + 2 x2. 2) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie grafico di f(x,y) nel punto P(,0, 2 ). (0,0) P.to di sella (,0) P.to di massimo Esercizio. Calcolare l integrale doppio dove = {(x,y) R 2 : x 0, y 0, y x }. ( + x + 2y) dx dy,

7 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 7 aprile 2009 Teoria: Metodi di calcolo degli integrali doppi Esercizio. a) eterminare le primitive della funzione f(x) = x 2 e 2x. b) Verificare il risultato ottenuto. 2 x2 e 2x 2 xe 2x 4 e 2x + k Esercizio 2. Calcolare l area dell insieme = {(x,y) : x y 2 x, x 0} 2 Esercizio. Calcolare il seguente integrale doppio y dx dy x dove il dominio definito da = {(x,y) : x 2, 0 y x} 4 B Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 7 aprile 2009 Teoria: Metodi di calcolo degli integrali doppi. Esercizio. a) eterminare le primitive della funzione f(x) = x 2 sin 2x. b) Verificare il risultato ottenuto. 2 xsin(2x) + 4 cos(2x) + k

8 Esercizio 2. Calcolare l area dell insieme = {(x,y) : x 2 y x, x 0} 2 Esercizio.Calcolare il seguente integrale doppio y dx dy x dove il dominio definito da = {(x,y) : 2 x, x y 0} 2

9 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 2 giugno 2009 Teoria: Teorema di caratterizzazione delle primitive di una funzione f(x). Esercizio. log(log x) ata la funzione f(x) =, x ) calcolare f(x) dx, con la sostituzione y = log x; 2) verificare il risultato ottenuto; ) calcolare la media di f(x) in [e,e 2 ]. a)logxlog(logx) logx + k c)2log2 2 Esercizio 2. ate le funzioni f(x) = e x e g(x) = log x, ) tracciare il grafico di f(x); 2) tracciare il grafico di g(x); ) determinare l area della regione di piano individuata dalle curve y = e x, y = log x, x = 2. e + 2log2 Esercizio. Calcolare e 2x+y dxdy essendo il dominio individuato dalle curve y = x, y = 2 x, y = 0. e 2 e2 + 2 Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II luglio 2009 Teoria: efinizione e significato della derivata direzionale.

10 Esercizio. ata la funzione f(x) = x log x, a) determinarne la primitiva che si annulla per x = ; b) discutere la convergenza dell integrale f(x) dx, per a = 0,b = e per a =,b = +. a) 2 x xlogx 4 9 x x b)iverge Esercizio 2. Calcolare il baricentro dell insieme = {(x,y) : x, x 2 y }. (0, 5 ) Esercizio. Studiare i punti critici della funzione determinandone la natura. (,) P.to di minimo (, ) P.to di massimo (,) P.to di sella (, ) P.to di sella f(x) = x + y x y, Politecnico di Torino II Facoltà di rchitettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 0 Settembre 2009 Teoria: Massimi e minimi di una funzione reale di due variabili reali. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata da y = sin x, y =, x = π e x = π 2. π 2 Esercizio 2. ata la funzione f(x) = 2 sin xcosx cosx sin 2, x

11 calcolare f(x) dx mediante la sostituzione y = sin x. 2log sinx + sinx + k Esercizio. a) Verificare se la funzione ha punti critici. b) Calcolare l integrale doppio dove = [0,2] [0,]. a) Non esistono punti critici b) 25 6 f(x,y) = x 2 xy + y + 2y f(x,y) dxdy,