Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Def. della derivata Esercizi [301] 1) Applicando la definizione, trovare, se esiste, la derivata delle seguen

Transcript

1

2

3

4

5

6

7 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Def. della derivata Esercizi [301] 1) Applicando la definizione, trovare, se esiste, la derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 = 0. (a) La funzione costante y = 3; (b) 1 6x; (c) mx+q, dove m e q sono due costanti; (d) x 2 ; (e) senx; (f) cosx; (g) e x ; (h) log(x+1); (i) x; (j) x+1. 2) Per ciascuna delle funzioni dell esercizio precedente, trovare, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x 0 = 0.

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Regole di derivazione Esercizi [302] Stabilire in quali punti le seguenti funzioni sono derivabili, e scrivere le loro derivate: 1) x; 2) x 2 +x 1 ; 3) x 3 senx; 4) x 1 cosx; 5) tgx; 6) 1 x; 7) 1 x 2 ; 8) sen 2 x; 9) cos 2 x; 10) senx 2 ; 11) cosx 2 ; 12) e 1 2 x2 ; 13) log x+2. 3 x

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Punti stazionari Esercizi [303] 1) Trovare gli eventuali punti stazionari, detti anche punti critici, delle seguenti funzioni: x; x 2 +x 1 ; tgx; 1 x; 1 x2 ; sen 2 x; cos 2 x; e 1 2 x2 ; log x+2 ; arcsen x; arccos x; arctg x. 3 x 2) Trovare gli eventuali punti di massimo, e gli eventuali punti di minimo delle seguenti funzioni: x 2 ; x 3 ; x; 303 x; x ; sen x; cos x; tg x; e x ; logx; arcsen x; arccos x; arctg x.

40

41

42

43

44

45

46

47 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Teorema di Lagrange Esercizi [304] 1) Trovare il più grande intervallo aperto in cui la funzionef(x) = x logxècrescente, eilpiùgrandeintervallo aperto in cui f è decrescente. 2) Trovare gli eventuali punti di massimo, e gli eventuali punti di minimo della funzione f dell esercizio 1. 3) Trovare una funzione derivabile g che assume almeno due valori distinti e tale che g (x) = 0 per ogni x (,0) (0,+ ). 4) Trovare, se esiste, una funzione derivabile h che assuma tre o più valori a due a due distinti e tale che h (x) = 0 per ogni x (,0) (0,+ ).

48

49

50 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Regola di de l Hôpital Esercizi [305] 1) Calcolare i seguenti limiti: lim x ± lim x + e x x lim x 0 +x logx lim e x +senx 2 x 3 lim x + x + e x x logx x log(1+x senx) lim x 0 1 cosx 2) Dimostrare o confutare la seguente affermazione: se f e g sono due funzioni derivabili tali che il limite lim x + esiste, allora anche il limite lim x + f(x) g(x) f (x) g (x) esiste, e i due limiti hanno lo stesso valore.

51

52

53

54

55

56 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Studi di funzione Esercizi [306] 1) Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: f(x) = e 1 2 x2 g(x) = x 1 x h(x) = 1+x 2 2) Dimostrare o confutare la seguente affermazione: se una funzione f: R R è dispari, e la derivata seconda f (x) esiste per ogni x R, è positiva per ogni x > 0 ed è continua nel punto x 0 = 0, allora tale punto è un punto di flesso per f.

57

58

59

60

61

62

63 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Serie di Taylor Esercizi [307] Se f: (a,b) R è una funzione dotata delle derivate di tutti gli ordini, la serie + k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k si dice serie di Taylor associata alla funzione f con punto base x 0 (a,b). 1) Scrivere la serie di Taylor associata alla funzione f(x) = e x con punto base x 0 = 0. 2) Trovare la somma di tale serie (suggerimento: usare la formula di Taylor con il resto di Lagrange).

64

65

66 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Integrabilità Esercizi [308] Stabilire se le seguenti funzioni sono integrabili secondo Riemann sull intervallo [ 1, 1], ed in caso affermativo calcolarne l integrale: f(x) = g(x) = h(x) = 0, se x = 0; 1, se x 0. 1, se x > 0; 0, se x = 0; 1, se x < 0. 0, se x = 0; 1/x, se x 0.

67

68

69

70

71

72

73

74 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Proprietà dell integr. Esercizi [309] Utilizzando la monotonia dell integrale, stabilire quali delle seguenti disuguaglianze sono corrette: 3 0 e x2 dx < 3 e 2 1 logx dx > 3 5 π 2 0 senx x dx < 2

75

76

77

78

79

80

81

82

83 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Teorema fondament. Esercizi [310] 1) Trovare una primitiva delle seguenti funzioni: (a) la funzione costante f(x) = 0; (b) la funzione costante g(x) = 3; (c) la funzione h(x) = x; (d) x 2 ; (e) 1/x; (f) 1/ x; (g) e x ; (h) senx; (i) cosx; (j) cos2x (suggerimento: usare la regola di derivazione della funzione composta); (k) cos 2 x (suggerimento: usare le formule di duplicazione). 2) Calcolare i seguenti integrali: π dx; x 2 dx; senxdx; π/2 0 3dx; 1 x dx; cos2xdx; π/2 π/2 xdx. 1 x dx; cos 2 xdx. 3) Trovare (se esiste) un numero reale a tale che 0 a e x dx = ) Stabilire se è ben definito l integrale dx nel senso di Riemann, ed in caso affermativo determinarne il 1 x valore numerico. ( ε 1 1 5) Calcolare il limite lim ε x dx+ 1 ) ε/e x dx, dove con la lettera e si indica il numero di Nepero.

84

85

86

87

88 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Integraz. per sostituz. Esercizi [311] 1) Fra tutte le funzioni f: ( r,r) R, dispari e integrabili secondo Riemann sull intervallo ( r, r), r > 0, stabilire quali soddisfano l uguaglianza r r f(x)dx = 0 (suggerimento: effettuare la sostituzione x = t). 2) Stabilire se il seguente integrale è ben definito nel senso di Riemann, ed in caso affermativo calcolarne il valore numerico: 3 4 3) Calcolare i seguenti integrali: /3 2/3 1 2x+7 dx; 3 x 2x+1 dx; 1 2x+7 dx e 2 x/3 dx; 2 3+x 2 dx; 7+π 2 3x dx; cos(2x+7)dx. 7 π 4) Calcolare l area del semicerchio Ω individuato nel piano xy dalle seguenti disuguaglianze: x 2 +y 2 1, y 0.

89

90

91

92

93

94

95

96

97 Analisi Matematica I prof. Antonio Greco Integrazione per parti Esercizi [312] Calcolare i seguenti integrali: 1 1 xe x dx; π π x senxdx; 2π 0 senxcosxdx; π π e x senxdx; 1 1 x 2 e x dx; e 1 logxdx; 1 0 arctgxdx; 2π 0 sennxcoskxdx con n,k N.

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107