2x x2 x 2 1 < 0 ; x x ; x + 3 > 3x x + 3 ; x4 + 17x 2 16 > 1 ; (x 1)(x 2) 4x2 + 7x 2 2x 3 ; > 0 ; x 2 5 x2 + x + x 2 1

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Bernadetta Raffaela De Marco
4 anni fa
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1 Registro delle lezioni di Analisi Matematica tenute dalla Prof.ssa Emma Bardelli Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica e Ingegneria Gestionale a.a. 2007/2008 Lezione del Risolvere le seguenti disequazioni: 4 < ; 2 2 > ; < 5 ; ; < 0 ; ; + 3 > ; > ; ( )( 2) ; > 0 ; >. 2. Grafico di a e studio di disequazioni del tipo a f() a g()

2 Lezione del Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali o logaritmiche: ; (/2) ; log 2 ( 2) 0 ; log /2 ( ) ; log a ( ) + log a ( + ) log a (5 + 3). 2. Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche: 2 < sen < 3 2 ; tang > 3 ; cotang < Dominio di una funzione composta. Siano f() = sen e g() =. Determinare il dominio di g f e di f g. 4. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: f() = tang log + ; f() = π arcsen log ; 6 f() = sen 4 + e /( ) ; f() = ( 2 sen ) ; 3 tang f() = 2 sen 3. 2

3 Lezione del Determinare estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e stabilire se sono rispettivamente massimo e minimo: A = { R = 2, n N, n 0} n A = { R = ( ) n 5 n +, n N} n n 3 + A = { R = ( ), n N, n 4} n 4 2. Disegnare il grafico di 2 +3 se 0 f() = e 2 se > 0 3 e determinare 3. Calcolare i seguenti iti sup{ R f() 2 } 2 2 ; 3 2 arccos ; ; ; ( ) sen(2 2) ; ( ) ; ± + (sen + sen ) ; + log a log a ( + ). 3

4 Lezione del Sia Stabilire f() = a) il dominio di f e se f è pari o dispari; b) se f è itata nel suo dominio; c) se f è itata in [4, + ); d) se esiste il minimo di f in [0, + ) domf. 2. Determinare le soluzioni dell equazione log( ) = Verificare con la definizione di ite che log( ) = 0 ; 0 = + 4. Verificare con la definizione di ite che se 0 + f() = +, allora f() 0 + = Studiare la continuità delle seguenti funzioni: a) f() = ( 2 2) sgn( 2 4) ; b) 2 + se < 0 f() = cos se 0 < (3/2)π 3π 2 se (3/2)π 6. Determinare l area della parte comune a due quadrati di lato e rispettivamente. 4

5 Lezione del Provare che f() = 2 è derivabile in R. 2. Usando la definizione calcolare la derivata di f() = cos e scrivere l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa 0 = π/4. 3. Studiare continuità e derivabilità di se 0 f() = 2 se 0 < < log se 4. Stabilire per quali valori dei parametri a e b la funzione { 2 + a + b se < 0 f() = e se 0 è continua e derivabile. 5. Sia f() = { α se > 0 0 se 0 Verificare che f è derivabile per α = 2 ma la derivata prima non è continua in 0 = Provare che la la funzione f() = tang è derivabile nel suo dominio per > 0 e calcolarne la derivata. 7. Provare che la la funzione f() = sen 3 è derivabile per 0 e calcolarne la derivata. 8. Usando il teorema di derivazione della funzione inversa calcolare la derivata della funzione f() = arccos. 9. Stabilire che la funzione f() = e è invertibile e determinare la derivata dell inversa in 0 = 0. 5

6 0. Calcolare la derivata di y = f() = log( ) e verificare che la funzione g(y) = senh y è l inversa di f().. Calcolare la derivata di f() = (sen ) e dif() = 2 2 +sen 3 senh( ). 2. Calcolare i iti delle seguenti forme indeterminate: 0 +(cotang ) log sen ; )cotang 0 +(cos 0 +(sen ) ; 0 +( sen2 3) cotang2 Lezione del Studiare le seguenti funzioni (usare il modello per lo studio di funzione che si può scaricare all indirizzo: pera/modello.pdf ). f() = 3 (log ) 2 2. f() = arcsen 2 3. f() = arctang 4. f() = ( 2) e 5. f() = log( ) 6. f() = log 7. f() =

7 Lezione del Ripasso sull integrazione di funzioni razionali e calcolo dei seguenti integrali indefiniti: α d ; + a d ; 2 + d ; 2 + a d ; d ; d ; d ; d ; d ; 4 d ; 4 + d; a + b 2 + p + q d ; 2. Calcolare log( ) d ; arctang d. Lezione del Calcolo dei seguenti integrali indefiniti: d ; + d ; d ; 2 + α d ; d ; sen sen + cos d ; ( + ) 2 d. 2. Provare che + n= n(n + ) = 7

8 3. Stabilire il carattere delle seguenti serie + n= log n n, α > 0, + log n α n2 + n ; n= + n= 3 n n2 + n Stabilire per quali valori di > 0 sono convergenti le serie + ( log + ) n + + n ; + n + 2 n. 2 n= n= Lezione del Stabilire quali dei seguenti insiemi sono aperti, chiusi, itati e determinarne i punti di accumulazione: E = {(, y) R 2 : 2 + y 2 4} ; E = {(, y) R 2 : + y < } ; E = {(, y) R 2 : 0 < 2 + y 2 } {(, y) : 2 < < 3 y = 0} ; E = {(, y) R 2 : < y 2 ; y 2}. 2. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e stabilire se è un insieme aperto, chiuso, itato, ecc. f(, y) = ; f(, y) = arcsen(y y 2) ; sen( y) f(, y) = (2 2 y)( y) (2 3) 2 + (2y ) 2 + log Usando la definizione di ite, verificare che 3 + y 2 2 y 2 (,y) (,2) = 5 4. Verificare che non esiste (,y) (,2) 2 y y 2 ; (,y) (0,0) y y 4 8

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