Matematica Prima prova parziale
|
|
- Antonietta Giuliano
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Matematica Prima prova parziale Università di Verona - Laurea in Biotecnologie A.I. - A.A. 007/08 lunedì 9 novembre 007 Tema A () Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R; dire se sono sup./inf. itati; calcolarne sup, inf, ma, min; dire uali sono i loro punti di accumulazione in R; dire di uali loro punti essi sono intorni. (a) A = { R : + } {n N : + log n > 0} (b) A = { R : sin > } ], 7] () (a) Nel piano cartesiano sia r la retta passante per P (, ) e Q(3, ), e sia s la retta di euazione + 3y = 0. Disegnare r e s, esprimerle in forma parametrica e cartesiana, e dire uanto vale l angolo acuto compreso tra esse. (b) Nello spazio cartesiano tridimensionale determinare, in forma parametrica e cartesiana, il piano Π passante per P (,, 0) e Q(0,, 3) e parallelo al vettore v = (, 3, ), e la retta r passante per Q e parallela al vettore w = (0,, ). Determinare l area del parallelogramma individuato da v e w, e decomporre w = w + w con w parallelo e w ortogonale a v. (3) ia f α () = α. arctg (a) Calcolare i iti 0 + f α() e f α() e nei casi α = e α =. + (Facoltativo: discutere il caso di α ualunue.) (b) Trovare il dominio A di h() := f (); calcolare poi la fibra h (y) = { A : h() = y} per ogni y R, usando i risultati per dire se h è iniettiva e se è suriettiva esprimendo ove possibile la funzione inversa. Calcolare infine l antimmagine h (], ]). () (a) tudiare l andamento di f() = ( ) e, e tracciarne il grafico. (b) ia un prefissato numero positivo. Tra tutte le coppie di numeri reali positivi la cui somma dei uadrati dà, trovare uella la cui somma dei cubi è minima.
2 oluzioni. () (a) La diseuazione + dà < oppure, mentre +log n > 0 euivale a log n >, ovvero n > e = e, ovvero n < e, soddisfatta per n =,,..., 7: pertanto A =], [ [, ] {3,, 5, 6, 7} è itato solo superiormente, con ma A = 7. I punti di accumulazione in e R sono e tutti uelli di ], ] [, ], ed è intorno dei punti di ], [ ], [. (b) La diseuazione sin >, ovvero sin >, è soddisfatta negli infiniti intervalli ] π + kπ, 5π + kπ[ al 6 6 variare di k Z: intersecando con ], 7] si ottiene pertanto A =] π, 5π [ ] 3π, 7]. Dunue A è itato, con inf A = π e ma 6 A = 7; i punti di accumulazione in R e sono tutti uelli di [ π, 5π ] [ 3π, 7], ed è intorno dei punti di ] π, 5π [ ] 3π, 7[ () (a) Un vettore parallelo a r è v = (3, ) (, ) = (, ), dunue una forma parametrica è r = {(, ) + α(, ) : α R} = {( + α, + α) : α R}; da = + α si ottiene α =, che sostituita in y = + α dà la forma cartesiana y = 0 (ottenibile anche come det «y ( ) 3 ( ) = 0). Un vettore ortogonale a s è (, 3), dunue uno parallelo è w = (3, ); poiché il punto R(, 0) sta in s, una forma parametrica è s = {(, 0) + α(3, ) : α R} = {( + 3α, α) : α R}. L angolo θ tra i vettori v e w soddisfa v w cos θ = = v w 0 0 =, dunue θ = arccos (un po meno di π ) è l angolo acuto cercato tra r e s. 0 0 (b) Oltre a v = (, 3, ), un altro vettore parallelo al piano Π è dato da (,, 0) (0,, 3) = (, 3, 3), dunue si ha la forma parametrica Π = {(,, 0) + α(, 3, ) + β(, 3, 3) : α, β R} = {( + α + β, + 3α 3β, α 3β) : α, β R}; einando i parametri si ha poi 5 y + 6z 6 = 0. La retta r ha forma parametrica r = {(0,, 3) + α(0,, ) : α R} = {(0, + α, 3 + α) : α R}; einando α si ha la forma cartesiana { = 0, y z + 0 = 0}. Essendo v w = det 3 e e e 3 0 A = (,, ), l area del parallelogramma è v w = 38,7. Infine, w è la proiezione di w lungo v, dunue w = w v 0 v = (, 3, ) = ( 5, 5, 0 ), v v e così w = w w = (0,, ) ( 5, 5, 0 ) = ( 5, 3, 7 ) (si noti che w v = 0) (3) (a) e α = si ottiene f () =, e i iti 0 + arctg e + ( e ) sono entrambi in forma indeterminata: con de l Hôpital il primo diventa 0 +, pertanto si devono calcolare + =, e il secondo è + e 0 + arctg e = 0. e invece α = si ottiene f () = ( ) + e ; il primo è determinato e vale 0 +, il secondo è indeterminato ma, raccogliendo nella parentesi e ragionando come prima, si ottiene ancora 0 arctg. Nel caso di α ualsiasi, il ite vale 0 + α 0+ per α >, vale per α = e vale per α <. Invece il ite fα() + e vale 0 per α e vale 0 + per α <. (b) (Vedi Figura ) h() = ha dominio A = R \ {0}; la fibra su y R è h (y) = { : = y} = { : + y = 0} = { = y y +, = y+ y + }. Dunue h : A R è suriettiva ma non iniettiva; ad esempio, notando che y (y) = + e y + (y) = 0 +, si ha che restringendo il dominio a A =]0, + [ essa diventa biiettiva, con inversa = = h (y) = y+ y +. i ha infine h (], ]) = { A : < } = [ 3+, [ [ 3, [. () (a) (Vedi Figura ) La funzione f() = ( ) e ha dominio R, non è pari ne periodica, ed è continua ovunue; inoltre essa è infinitamente derivabile ovunue tranne che in = 0 ove (a causa del modulo) avrà probabilmente un punto angoloso. i ha f(0) =, f() = 0 per = e f() > 0 per < oppure >. I iti notevoli f() sono determinati, e valgono entrambi + ; non vi sono asintoti obliui. Derivando (per 0) si ottiene f () = (sign + ( )( )) e : per < 0 si ottiene f () = ( + ) e che è = 0 per = e > 0 per < < 0, mentre per > 0 si ha f () = ( 3 + ) e che è sempre > 0. Dunue f decresce per <, cresce in < < 0 e anche per > 0: ne ricaviamo che = è punto di minimo assoluto, con f( ) = e 3,. Inoltre vale f (0) = f () = 0 e f +(0) = f () =, il che conferma che = 0 è effettivamente un punto angoloso. Infine, il calcolo dà f () = ( ) e uando > 0, e f () = ( ) e uando < 0: notando che i due fattori cubici sono strettamente crescenti (basta calcolarne la derivata) si ricava facilmente, in base al Teorema degli Zeri, l esistenza di due flessi obliui tra e 0 e tra 0 e.
3 (b) e è uno di uesti due numeri, l altro sarà y = (dunue deve essere 0 < < ); si tratta di rendere minima la funzione f() = 3 + ( ) 3 = 3 + ( ) 3. Derivando si ha f () = ( )( ) = 3( ), dunue uando 0 < < si ha f () 0 per 0, ovvero per f() decresce per 0 < < e cresce per < <, assumendo un minimo uando = anche y =, dunue i due numeri sono uguali.. Pertanto : in tal caso (a) Grafico di ; (b) Grafico di ( )e. 3
4 Matematica Prima prova parziale Università di Verona - Laurea in Biotecnologie A.I. - A.A. 007/08 lunedì 9 novembre 007 Tema B () Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R; dire se sono sup./inf. itati; calcolarne sup, inf, ma, min; dire uali sono i loro punti di accumulazione in R; dire di uali loro punti essi sono intorni. (a) A = { R : +8 3} {n N : log( n ) + > 0} (b) A = { R : cos > } ], 6] () (a) Nel piano cartesiano sia r la retta di euazione + 3y = 0, e sia s la retta passante per P (, ) e Q(3, ). Disegnare r e s, esprimerle in forma parametrica e cartesiana, e dire uanto vale l angolo acuto compreso tra esse. (b) Nello spazio cartesiano tridimensionale determinare, in forma parametrica e cartesiana, il piano Π passante per P (,, 0) e Q(0,, 3) e parallelo al vettore v = (, 3, ), e la retta r passante per Q e parallela al vettore w = (0,, ). Determinare l area del parallelogramma individuato da v e w, e decomporre w = w + w con w parallelo e w ortogonale a v. (3) ia f α () = α. (a) Calcolare i iti f α() e e + f α() nei casi α = e α =. (Facoltativo: discutere il caso di α ualunue.) 0 + arctg (b) Trovare il dominio A di h() := f (); calcolare poi la fibra h (y) = { A : h() = y} per ogni y R, usando i risultati per dire se h è iniettiva e se è suriettiva esprimendo ove possibile la funzione inversa. Calcolare infine l antimmagine h (], ]). () (a) tudiare l andamento di f() = ( ) e +, e tracciarne il grafico. (b) ia V un prefissato numero positivo. Tra tutte le coppie di numeri reali positivi la cui somma dei cubi dà V, trovare uella la cui somma dei uadrati è massima.
5 oluzioni. () (a) La diseuazione +8 3 dà oppure <, mentre log( )+ > 0 euivale a log >, ovvero n n > n e =, ovvero n < e, soddisfatta per n =,,..., 7: pertanto A e =], ] [, [ {, 3,, 5, 6, 7} è itato solo superiormente, con ma A = 7. I punti di accumulazione in R e sono e tutti uelli di ], ] [, ], ed è intorno dei punti di ], [ ], [. (b) La diseuazione cos >, ovvero cos >, è soddisfatta negli infiniti intervalli ] π + kπ, π + kπ[ al 3 3 variare di k Z: intersecando con ], 6] si ottiene pertanto A =] π, π [ ] 5π, 6]. Dunue A è itato, con inf A = π e ma 3 A = 6; i punti di accumulazione in R e sono tutti uelli di [ π, π ] [ 5π, 6], ed è intorno dei punti di ] π, π [ ] 5π, 6[ () (a) Un vettore ortogonale a r è (, 3), dunue uno parallelo è w = (3, ); poiché il punto R(, 0) sta in r, una forma parametrica è r = {(, 0)+α(3, ) : α R} = {(+3α, α) : α R}. Un vettore parallelo a s è v = (3, ) (, ) = (, ), dunue una forma parametrica è s = {(, ) + α(, ) : α R} = {( + α, + α) : α R}; da = + α si ottiene α =, che sostituita in y = + α dà la forma cartesiana y = 0 (ottenibile anche come det y ( ) 3 ( ) «= 0). L angolo θ tra i vettori v e w soddisfa cos θ = v w v w = 0 0 = 0, dunue θ = arccos (un po meno di π ) è l angolo acuto cercato tra r e s. 0 (b) Oltre a v = (, 3, ), un altro vettore parallelo al piano Π è dato da (,, 0) (0,, 3) = (, 3, 3), dunue si ha la forma parametrica Π = {(,, 0) + α(, 3, ) + β(, 3, 3) : α, β R} = {( + α + β, + 3α 3β, α 3β) : α, β R}; einando i parametri si ha poi 5 y + 6z 6 = 0. La retta r ha forma parametrica r = {(0,, 3) + α(0,, ) : α R} = {(0, + α, 3 + α) : α R}; einando α si ha la forma cartesiana { = 0, y z + 0 = 0}. Essendo v w = det 3 e e e 3 0 A = (,, ), l area del parallelogramma è v w = 38,7. Infine, w è la proiezione di w lungo v, dunue w = w v 0 v = (, 3, ) = ( 5, 5, 0 ), v v e così w = w w = (0,, ) ( 5, 5, 0 ) = ( 5, 3, 7 ) (si noti che w v = 0) arctg (3) (a) e α = si ottiene f () =, e i iti e e sono entrambi in forma indeterminata: con de l Hôpital il primo diventa 0 +, pertanto si devono calcolare + =, e il secondo è + e arctg 0 + e = 0 +. e invece α = si ottiene f () = ( ) + e ; il primo è determinato e vale 0, il secondo è indeterminato ma, raccogliendo nella parentesi e ragionando come prima, si ottiene ancora 0 +. Nel caso di α ualsiasi, il ite il ite 0 + arctg α fα() + e vale 0 + per α e vale 0 per α <. vale 0 per α >, vale per α = e vale per α <. Invece (b) (Vedi Figura ) h() = ha dominio A = R \ {0}; la fibra su y R è h (y) = { : = y} = { : + y = 0} = { = y y +, = y+ y + }. Dunue h : A R è suriettiva ma non iniettiva; ad esempio, notando che y (y) = + e y + (y) = 0 +, si ha che restringendo il dominio a A =]0, + [ essa diventa biiettiva, con inversa = = h (y) = y+ y +. i ha infine h (], ]) = { A : < } = [ 3+, [ [ 3, [. () (a) (Vedi Figura ) La funzione f() = ( ) e + ha dominio R, non è pari ne periodica, ed è continua ovunue; inoltre essa è infinitamente derivabile ovunue tranne che in = 0 ove (a causa del modulo) avrà probabilmente un punto angoloso. i ha f(0) =, f() = 0 per = e f() > 0 per < oppure >. I iti notevoli f() sono determinati, e valgono entrambi + ; non vi sono asintoti obliui. Derivando (per 0) si ottiene f () = (sign + ( )( + )) e + : per < 0 si ottiene f () = ( ) e +, che è sempre < 0, mentre per > 0 si ha f () = ( ) e +, che è = 0 per = e > 0 per >. Dunue f decresce per < 0 e per 0 < <, e poi cresce in > : ne ricaviamo che = è punto di minimo assoluto, con f( ) = e 3,. Inoltre vale f (0) = f () = e f +(0) = f () = 0, il che conferma che = 0 è effettivamente un punto angoloso. Infine, il calcolo dà f () = ( ) e + uando > 0, e f () = ( ) e + uando < 0: notando che i due fattori cubici sono strettamente crescenti (basta calcolarne la derivata) si ricava facilmente, in base al Teorema degli Zeri, l esistenza di due flessi obliui tra e 0 e tra 0 e. 5
6 (b) e è uno di uesti due numeri, l altro sarà y = 3 V 3 (dunue deve essere 0 < < 3 V ); si tratta di rendere massima la funzione f() = +( 3 V 3 ) = +(V 3 ) 3. Derivando si ha f () = + 3 ( 3 )(V 3 ) 3 = ( 3V ), dunue uando 0 < < 3 V si ha f () 0 per 3 e decresce per 3 V f() cresce per 0 < < 3 V caso anche y = 3 V, dunue i due numeri sono uguali. 3 V 3 0, ovvero per 3 V. Pertanto < < 3 V, assumendo un massimo uando = 3 V : in tal (a) Grafico di ; (b) Grafico di ( )e +. 6
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliEsercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.
Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire
DettagliArgomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate
6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)
DettagliANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte
ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
Dettaglix log(x) + 3. f(x) =
Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I. Andrea Corli e Alessia Ascanelli
Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli 6 settembre 5 ii Indice Introduzione v Nozioni preinari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................
DettagliLaurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliAnalisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1
Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)
DettagliLezioni sullo studio di funzione.
Lezioni sullo studio di funzione. Schema. 1. Calcolare il dominio della funzione D(f).. Comportamento della funzione agli estremi del dominio. Ad esempio se D(f) = [a, b] si dovrà calcolare f(a) e f(b),
DettagliEsercizi su: insiemi, intervalli, intorni. 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, a) A C d) C (A B)
Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di N determinare A B, A B, A c e B c. a) A = { N + = 0}, B = { N = 6}, b) A = { N < 5}, B = { N < },
DettagliInfiniti e Infinitesimi
Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi
DettagliFunzioni Monotone. una funzione f : A B. si dice
Funzioni Monotone una funzione f : A B si dice strettamente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). strettamente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). decrescente:
Dettagli{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.
0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere
DettagliArgomento 6 Derivate
Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =
DettagliAnalisi Matematica e Geometria 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
DettagliAnalisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I Università degli Studi di Tor Vergata - Roma Facoltà di Ingegneria Corsi di Laurea: Ingegneria Civile, Medica, dei Modelli e dei Sistemi a cura di Ciolli Fabio I testi
DettagliDERIVATE E LORO APPLICAZIONE
DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x
DettagliUniversità di Milano Bicocca - Facoltà di Economia Esame di Matematica Generale I 7 luglio 2010
Università di Milano Bicocca - Facoltà di Economia Esame di Matematica Generale I 7 luglio 1 Esercizio 1 Doo avere raresentato gra camente la seguente funzione, trovare gli intervalli del dominio in cui
DettagliEsercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione
Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti
DettagliA.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1
A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 Argomenti svolti, libro di testo di riferimento: P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi Calcolo. Liguori Editore. O. Bernardi: Temi d esame senza tema. Ed. Libreria Progetto.
DettagliPrimo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali
Dettagliy (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni
DettagliScritto d esame di Analisi Matematica I
Capitolo 2: Scritti d esame 07 Pisa, 8 Gennaio 999. Studiare il comportamento della serie al variare del parametro α > /2. ( ) n n sin α n 2α 2. Sia ( ) f(x) = log + sin3 x. 2 (a) Determinare la derivata
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliCorso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona
Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliDefinizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.
Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti
Dettagli2. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, delimitata dalle seguenti curve. : y = x 2 + x γ 2 : y = x 2 γ 3 : y = 1 x 2.
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Esercizi sul calcolo integrale. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, deitata dalle seguenti curve γ : y + γ :
DettagliSYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III
SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado e la loro risoluzione. La formula ridotta. Equazioni pure, spurie e monomie. Le relazioni
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1
Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 206-7 Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) 2. 2. Dire se esistono
DettagliFunzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo
Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
Dettagli1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere
) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere +
DettagliLIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.
55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino
DettagliUniversità degli Studi di Ancona Corso di Laurea in SS.FF.NN. Corso di MATEMATICA (A.A. 2002/2003) Docente: Prof. Piero MONTECCHIARI
Università degli Studi di Ancona Corso di Laurea in SS.FF.NN. Corso di MATEMATICA (A.A. /3) Docente: Prof. Piero MONTECCHIARI STUDIO DI FUNZIONI Scritti dal tutore Dario GENOVESE 1 Dominio La prima cosa
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +
DettagliPARTE 1: Elementi di base. Simboli e operazioni sugli insiemi. Simboli logici. Prodotto cartesiano.
PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A. 2008-2009, canale 1, prof.: Francesca Albertini, Claudio Marchi Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.
DettagliESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A
ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 4 GIUGNO 206 FILA A Durata della prova: 2 ore e mezza. NOTA: Spiegare con molta cura le risposte. NOTAZIONE: log = ln = log e. Esercizio 5 punti) Sia
DettagliLIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione
LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine
DettagliDerivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =
Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore
DettagliFUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE
FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
DettagliCompito del 27 Gennaio Esercizio 1 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 4, 2), nonché le matrici
Compito del 27 Gennaio 2015 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 4, 2), nonché le matrici 0 1 2 0 1 1, B = 1 0 1 2 0 2. 1 2 0 0 3 1 a) Calcolare det(a B T ) b) Calcolare un vettore perpendicolare
DettagliEsercizi sulle Funzioni
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
Dettaglivuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim
AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno
Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad
DettagliAnalisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A
Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE
DettagliTemi d esame di Analisi Matematica 1
Temi d esame di Analisi Matematica 1 Area di Ingegneria dell Informazione - a cura di M. Bardi 31.1.95 f(x) = xe arctan 1 x (insieme di definizione, segno, iti ed asintoti, continuità e derivabilità, crescenza
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliEsercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)
Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0
DettagliLICEO SCIENTIFICO QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it LICEO SCIENTIFICO 7 - QUESTIONARIO QUESITO Definito il numero E come: E = e d, dimostrare che risulta: e d = e E esprimere e d in termini di e ed E. Cerchiamo una primitiva di e integrando
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto
DettagliVerso il concetto di funzione
Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche
DettagliQuando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).
Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. x2 4 1 x
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Disequazioni e proprietà degli insiemi - ese - Risolvere le seguenti disequazioni: ( + )( 2) < ( + 5)( 5) + 2 3 > 2 + 3 > + 3 2 < ( + )( ) > 2 ( 2)( + ) < 2 ( ) + 7 ( 7)
DettagliDERIVATE. 1.Definizione di derivata.
DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
Dettaglivariabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.
Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliAlcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
DettagliEsame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s
Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =
STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliESERCIZI INTRODUTTIVI
ESERCIZI INTRODUTTIVI () Data la proposizione p: Tutti gli uomini hanno la coda, discutere la validità delle seguenti proposte di negazione di p: (i) non tutti gli uomini hanno la coda; (ii) nessun uomo
DettagliCorso di Geometria III - A.A. 2016/17 Esercizi
Corso di Geometria III - A.A. 216/17 Esercizi (ultimo aggiornamento del file: 2 ottobre 215) Esercizio 1. Calcolare (1 + 2i) 3, ( ) 2 + i 2, (1 + i) n + (1 i) n. 3 2i Esercizio 2. Sia z = x + iy. Determinare
DettagliLezione 3 (2/10/2014)
Lezione 3 (2/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. Tracciando un grafico approssimativo, discutere qualitativamente l esistenza di radici reali dei seguenti polinomi, al variare del parametro
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
Dettagli(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.
5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliForme indeterminate e limiti notevoli
Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
DettagliEsercizi di Geometria Affine
Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione
DettagliSTUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1
STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo
DettagliTempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti
DettagliESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte).
ESERCIZI SU FUNZIONI. 1) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita y = f(x)= x +1 se x 0 -x 2 +1 se x < 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile
DettagliPER LA COMMISSIONE D ESAME 1E 2E 3E 4E 5E Totale
Esame di Analisi Matematica Uno 31 Gennaio 2014 Fila: A 1 Università di Padova - Scuola di Ingegneria - Esame di Analisi Matematica Uno Lauree: Chimica e Materiali 31 Gennaio 2014 (Primo appello, a.a.
DettagliEsercizi sulle funzioni di due variabili: parte II
ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso
Dettagli1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007
Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 6//7 ) Data la funzione ( ) = f e Calcolare il campo di esistenza e il suo comportamento agli estremi ) Definizione di derivata prima di una funzione f()
Dettagli1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.
D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di
DettagliESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,
ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,
DettagliSTUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO 2 di 35 Indice 1 SCHEMA PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONE... 4 2 ESEMPI... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 FUNZIONE ESPONENZIALE... 11 FUNZIONE
DettagliProgramma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini.
Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini. 1. Generalità sul corso e sulle modalità di esame. Insiemi ed operazioni sugli insiemi. Applicazioni
Dettagli