Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.

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1 Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire se A è aperto, chiuso, limitato. Risp. a) Poichè A =]0, 1[\ 1 n, n IN}, si ha DA = [0, 1] e inta = A; b) dato che inta = A, A è aperto ed essendo A [0, 1], A è anche limitato.. Dato l insieme A = 3( 1) n + n + 5 n }, n IN. a) Dire se A è limitato e calcolarne l estremo superiore e l estremo inferiore. b) Precisare se A ha massimo e/o minimo. Risp. a) n IN si ha 1 < 3( 1) n + n+5 n sup A = 15. b) Non esiste minimo, maxa = sup A = Inoltre, inf A = 1 e 3. Calcolare i seguenti limiti: e n! + e n 1 n n 5 a) lim, lim n + 3 n + n n( n + 3 n) 6 n + b) lim x 0 ln(1 + 6x 5 ) (sin 3x) arctan8x 3, Risp. a) +, 3 ; b) 1 1, 1. lim x + ( ln ( x x + 1 )) 1/x. 4. Disegnare il grafico della funzione f(x) = 1 + x 3 8 utilizzando trasformazioni geometriche (simmetrie, traslazioni,...). Rispondere poi alle seguenti domande motivando la risposta:

2 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica ed Informatica a) f è una funzione monotona nel suo insieme di definizione? b) f ha massimi/minimi relativi o assoluti e, in caso affermativo, quali sono? c) f ha punti di flesso e, in caso affermativo, quali sono? d) f è derivabile nel suo insieme di definizione? Risp. Il grafico di f si ottiene da quello di y = x 3 operando prima una traslazione di 8 unità verso il semiasse y negativo, poi un ribaltamento rispetto all asse x della parte di grafico negativa e infine una traslazione di 1 unità nella direzione del semiasse y positivo. a) f non è una funzione monotona Figura 1: Grafico di f(x) = 1 + x 3 8 nel suo insieme di definizione in quanto è decrescente per x < e crescente per x >. b) f non ha massimi assoluti nè relativi; l unico minimo relativo è anche assoluto e vale 1, assunto in x =.

3 Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 3 c) f ha un solo punto di flesso per x = 0. d) f non è derivabile in x =, dove presenta un punto angoloso. 5. Si verifichi che la funzione f(x) = sin x ln(x π ) + π x è invertibile nel suo insieme di definizione e si calcoli la derivata della funzione inversa f 1 (y) nel punto y 0 = + π ln( π). 4 Risp. ] ] f è somma di funzioni strettamenti crescenti in A =Domf(x) = π, π quindi è invertibile nel suo insieme di definizione. Dato che sono verificate le ipotesi del Teorema di derivazione della funzione inversa, si ha (f 1 ) (y 0 ) = 1 = f ( 3π 4 ) π+8π+ π. 6. Sia f(x) = ln x arctan(x 1). a) Studiare la funzione 1 e tracciarne un grafico qualitativo; b) Determinare il numero di zeri di f(x). Risp. a) Si veda Figura. b) f ha solo due zeri, x = 1 e x = x 0 > in quanto per x > f è strettamente crescente. 7. Sia f(x) = 1 + ln( x ). a) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo; b) Mostrare che f è invertibile in Domf ], 1[ e determinare l espressione esplicita dell inversa precisando dominio e immagine. Risp. a) Si veda Figura 3. 1 I punti richiesti per lo studio di funzione sono: 1) dominio; ) limiti agli estremi del dominio; 3) ricerca di eventuali asintoti; 4) monotonia ed eventuali punti di max e min relativo; 5) (facoltativo) concavità, convessità ed eventuali punti di flesso.

4 4 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica ed Informatica Figura : Grafico di f(x) = ln x arctan(x 1) b) f ristretta a Domf ], 1[= [ e 1, 1[ è strettamente crescente quindi invertibile. Pertanto f 1 : [ e 1, 1[ [0, 1[ e f 1 (y) = e y Sia f(x) = Imf. x. Dire se f è invertibile e determinare l insieme 1 3x x x Risp. Poichè f non è iniettiva in Dom f(x)= lr\ 13 3}, f non è invertibile. Inoltre f ha una discontinuità di seconda specie in x = 13 3, quindi Im f(x)=], 4 [ [0, + [ Studiare la continuità e la derivabilità della funzione e f(x) = 3 x cos(x 3) se x < x x + 3 sin(x 3) se x 3 Risp. f è continua in ], 3[ e in ]3, + [ perchè composizione di funzioni

5 Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 5 Figura 3: Grafico di f(x) = 1 + ln( x ) continue. Inoltre, essendo lim cos(x 3)) = 0 = f(3), f è continua x 3 (e3 x anche in x = 3. f è derivabile in ], 3[ e in ]3, + [ perchè composizione di funzioni derivabili e e f (x) = 3 x + sin(x 3) se x < 3 x cos(x 3) se x > 3 3 Inoltre, lim + sin(x 3)) = 1 = lim x 3 ( e3 x x 3 +( x cos(x 3)), quindi 3 f è derivabile anche in x = Sia f(x) = e 1 (x 1). a) Determinare il dominio di f; b) Stabilire se la funzione f è prolungabile per continuità su lr. c) Stabilire se la funzione f è prolungabile per continuità su lr.

6 6 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica ed Informatica Risp. a) Dom f(x) = lr \ 1}; b) Si ha lim x 1 f(x) = quindi la funzione f (x) = f(x) se x 1 se x = 1 è il prolungamento per continuità di f su lr; c) per ogni x Domf, f (x) = e 1 (x 1) 3 (x 1) ; essendo lim f (x) = 0 la x 1 funzione f g(x) = (x) se x 1 0 se x = 1 è il prolungamento per continuità di f su lr, pertanto f è di classe C 1 (lr). 11. Verificare che le funzioni f(x) = e 1 x e g(x) = arctan(x4 x ) x sono prolungabili con continuità in x = 0. Dire se tali prolungamenti sono derivabili in x = 0. Risp. f e g sono funzioni continue nel loro dominio, Dom f(x) =Dom g(x) = lr\0}, in quanto composizione di funzioni continue; si ha lim f(x) = x 0 0 quindi la funzione f(x) se x 0 f (x) = 0 se x = 0 è il prolungamento per continuità di f su lr; analogamente, lim g(x) = 0 x 0 quindi la funzione g(x) se x 0 g (x) = 0 se x = 0 è il prolungamento per continuità di g su lr. f (x) f(0) f(x) Per x = 0, lim = lim x 0 x 0 x 0 x g (x) g(0) in x = 0. Analogamente, lim x 0 x 0 derivabile anche in x = Sia f(x) = ( x + 4x 1)e x. = 0 quindi f è derivabile anche g(x) = lim x 0 x = 1 quindi g è

7 Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 7 a) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo; b) Determinare l insieme Imf; c) Disegnare un grafico qualitativo della funzione g(x) = f( x ). d) Dire se si può applicare il Teorema di Rolle alla funzione g(x) nell intervallo [ 1, 1]. Risp. a) Figura 4: Grafico di f(x) = ( x + 4x 1)e x b) f è continua in lr quindi Im f = f(lr) =] inf lr f, sup lr f[=], e ]. La funzione g(x) = f( x ) è uguale a f(x) se x 0 ed è uguale a f( x) se x < 0. Pertanto il grafico di g(x) coincide con il grafico di f(x) per x 0 mentre diventa il suo simmetrico rispetto all asse y per x < 0. c) g è continua in lr quindi anche in [ 1, 1], g(11) = g(1) ma non si può applicare il Teorema di Rolle alla funzione g(x) nell intervallo [ 1, 1] perchè g non è derivabile in x = 0.

8 8 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica ed Informatica Figura 5: Grafico di f(x) = ( x + 4 x x 1)e x