CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

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1 CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 6 settembre 5

2 iv

3 Indice Numeri reali Ordine fra numeri reali Funzioni reali 4 Radici aritmetiche 7 4 Valore assoluto 9 5 Polinomi 6 Equazioni 7 Disequazioni 4 8 Dominio naturale di funzioni Numeri complessi 5 Parte reale, parte immaginaria, modulo 5 Rappresentazione di sottoinsiemi di C 6 Lo spazio euclideo R N 7 Composizione di funzioni 7 Componenti di una funzione vettoriale 8 Prodotto scalare e norma 8 4 Distanza 9 4 Topologia di R N 4 Intorni in R N 4 Gli spazi topologici R, R +) e R ) 4 Funzioni continue 44 Limiti 4 5 Confronto asintotico 9 5 Confronto asintotico 9 5 Principio di sostituzione 4 5 Asintoti 4 v

4 vi INDICE 6 Serie 4 6 Serie convergenti 4 6 Serie geometrica 4 6 Serie a termini positivi 5 64 Limiti di successioni 54 7 Serie di potenze 57 7 Serie di potenze 57 7 Esponenziale, seno, coseno 6 7 Limiti 6 74 Serie 66 8 Derivate 69 8 Derivate 69 8 Massimo, minimo 7 8 Teorema del valor medio 7 84 Derivabilità e derivata 7 85 Studio funzione Polinomio di Taylor 8 9 Funzioni elementari reali 85 9 Funzione esponenziale reale 85 9 Potenze di esponente reale 86 9 Funzioni esponenziali di base a Funzioni circolari 9 95 Funzioni elementari reali 9 96 Massimi e minimi di funzioni 9 97 Equazioni reali 9 98 Limiti 9 99 Serie 97 9 Derivabilità e derivate 9 Studio di funzione 7 Argomento di un numero complesso 7 Argomento di un numero complesso 7 Radici complesse 7 Logaritmi complessi Primitive ed integrali 5 Integrali di base 5 Integrali per decomposizione 7 Integrali immediati 7 4 Funzione integrale 9 5 Integrazione per sostituzione 9 6 Integrazione per parti 4 7 Integrazione delle funzioni razionali 44

5 INDICE vii 8 Integrazione di alcune funzioni irrazionali 47 9 Integrazione di alcune funzioni trascendenti 5 Integrali di vario tipo 56 Sviluppi in serie 6 Limiti 6 Asintoti 7 Serie 75 Integrali impropri 77 Integrali impropri 77 Valore di un integrale improprio 77 Convergenza di integrali impropri 78 4 Convergenza e valori di integrali impropri 8 5 Integrali impropri su intervalli aperti 89 6 Integrali impropri su intervalli privati di punti 94

6 viii INDICE

7 Capitolo Numeri reali Ordine fra numeri reali Esercizio Sia A = { n ; n N } a) Dire se A ammette massimo e in caso affermativo determinarlo b) Dire se A ammette minimo e in caso affermativo determinarlo c) Dire se A ammette estremo superiore in R e in caso affermativo determinarlo d) Dire se A ammette estremo inferiore in R e in caso affermativo determinarlo Risoluzione a) A ammette massimo e maa) = b) A non ammette minimo c) A ammette estremo superiore e supa) = d) A ammette estremo inferiore e infa) = Esercizio Per ciascuno dei seguenti insiemi a) A = { n n ; n N }, b) A = { n+ n ; n N }, { n + c) A = n ; n N }, { d) A = n + }, ; n N

8 CAPITOLO NUMERI REALI dire se A ammette massimo e se A ammette minimo; dire se A è limitato superiormente, se A è limitato inferiormente, se A è limitato; determinare l estremo superiore e l estremo inferiore di A rispetto a R, ) Risoluzione a) Per ogni n N si ha n n = n ; l insieme A è quindi formato da punti che al crescere di n si avvicinano crescendo a senza mai raggiungerlo; quindi si ha: A non ammette massimo; A ammette minimo e mina) = ; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; Aè limitato; si ha supa) = ; si ha infa) = b) n+ n = + n L insieme A è fatto di infiniti punti che al crescere di n si avvicinano decrescendo a senza mai raggiungerlo; quindi si ha: A ammette massimo e si ha maa) = ; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato; si ha supa) = ; si ha inf A = c) L insieme A è l immagine della successione n + n = + n ; quindi la successione n + n ha poi lim + n n = e A; si ha quindi: A ammette massimo e si ha maa) = 4; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato; si ha supa) = 4; si ha inf A = d) L insieme A è l immagine della successione ) La successione n + n )n N n + n )n N è decrescente; si n + ) n N n N è decrescente; al crescere di n i punti n + si avvicinano decrescendo a senza mai raggiungerlo; si ha quindi: A ammette massimo e si ha maa) = ; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato;

9 ORDINE FRA NUMERI REALI si ha supa) = ; si ha inf A = Esercizio Sia A = { ; ], [} ; dire se A ammette massimo e se A ammette minimo; determinare l estremo superiore e l estremo inferiore di A rispetto a R Risoluzione Posto f :], [ R,, si ha A = f], [) =], [ Quindi A non ammette massimo, A non ammette minimo, supa) =, infa) = 4 Esercizio Per ciascuno dei seguenti insiemi a) A = [, ] Q, b) A = [, ] Q, c) A = [, ] R Q), d) A =], ] Q, dire se A ammette massimo e se A ammette minimo; dire se A è limitato superiormente, se A è limitato inferiormente, se A è limitato; determinare l estremo superiore e l estremo inferiore di A rispetto a R, ) Risoluzione a) Per ogni A si ha < ; inoltre A; inoltre vi sono punti di A vicini come si vuole a ; quindi si ha: A ammette massimo e maa) = ; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato; si ha supa) = ; si ha infa) = b) Per ogni A si ha < < ; inoltre vi sono punti di A vicini come si vuole a e a ; quindi si ha: A non ammette massimo; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato; si ha supa) = ; si ha infa) =

10 4 CAPITOLO NUMERI REALI c) Per ogni A si ha < ; inoltre A e vi sono punti di A vicini come si vuole a ; quindi si ha: A ammette massimo e si ha maf) = ; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A è limitato inferiormente; A è limitato; si ha supa) = ; si ha infa) = d) Per ogni A si ha < ; inoltre A e vi sono punti di A vicini come si vuole a e inferiori di un arbitrario numero reale; quindi si ha: A non ammette massimo; A non ammette minimo; A è limitato superiormente; A non è limitato inferiormente; A non è limitato; si ha supa) = ; si ha infa) = 5 Esercizio Dare un esempio di un sottoinsieme di { R; < } dotato di estremo superiore in R, ), ma non di massimo Risoluzione ], [ 6 Esercizio Determinare l insieme dei maggioranti di R rispetto all insieme ordinato R, ) Risoluzione L insieme dei maggioranti di R rispetto a R è {+ } 7 Esercizio Dare un esempio di una funzione definita su { R; } limitata inferiormente, ma non dotata di minimo Risoluzione f : [, + [ R, Funzioni reali Esercizio Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore in R della seguente funzione: f : R R, Risoluzione fr ) =], + [; quindi si ha supf) = +, inff) = Esercizio Disegnare approssimativamente in uno stesso sistema di assi i grafici di f : [, ] R, e di g : [, ] R, 4

11 FUNZIONI REALI 5 mettendo in evidenza il legame fra i grafici Risoluzione f g Esercizio Sia per f :], ] R, per < per < ; a) tracciare approssimativamente il grafico di f; b) determinare l immagine di f; c) dire se f ammette massimo e minimo e in caso affermativo determinarli; d) dire se f è limitata superiormente, limitata inferiormente, limitata; e) determinare l estremo superiore e l estremo inferiore di f rispetto a R, ) Risoluzione a) b) f], ]) =], ] ], ] c) f ammette massimo e maf) = ; f non ammette minimo d) f è limitata superiormente; f non è limitata inferiormente; f non è limitata e) supf) =, inff) = 4 Esercizio Sia f : [, ] R, ; determinare f[, ]), provare che f è iniettiva e trovare la funzione inversa di f Risoluzione f[, ]) = [, 4]

12 6 CAPITOLO NUMERI REALI Per y [, 4] e per ogni [, ] si ha f y) = se e solo se f) = y, cioè se e solo se = y; quindi si ha = ± y; poichè, si ha = y; ciò prova che f è iniettiva e che si ha f : [, 4] R, y y 5 Esercizio Sia f : [, [ R, ; determinare f[, [), provare che f è iniettiva e trovare la funzione inversa di f Risoluzione f[, [) = [, + [ Per y [, + [ e [, [ si ha f y) = se e solo se f) = y, cioè se e solo se = y; quindi si ha = ± y ; poichè <, si ha = y ; ciò prova che f è iniettiva e che si ha f : [, + [ R, y y 6 Esercizio Sia f : R R, + ; a) determinare l immagine di f; b) dire se f è iniettiva Risoluzione a) L immagine di f è l insieme delle y R tali che l equazione di incognita R, + + = y, ammette almeno una soluzione L equazione è equivalente a + y = ; tale equazione ha soluzioni se e solo se 9 4 y), cioè se e solo se y 4 ; l immagine di f è quindi [ 4, + [ b) La funzione f è iniettiva se e solo se per ogni y appartenente all immagine di f l equazione di incognita R, + = y ammette una ed una sola soluzione Sia y 4 ; l equazione sopra è equivalente a + y = ; tale equazione per y 4 ha due soluzioni; quindi f non è iniettiva 7 Esercizio Sia f : R { } R, + ; a) determinare l immagine di f; b) dire se f è iniettiva; c) in caso affermativo, determinare f Risoluzione a) L immagine di f è l insieme delle y R tali che l equazione di incognita R { }, = y, ammette almeno una soluzione + È quindi anche uguale all insieme delle y R tali che l equazione di incognita R { + = y,

13 RADICI ARITMETICHE 7 ammette almeno una soluzione L equazione è equivalente a { = + )y L equazione di incognita R, = )y, non ha la soluzione = ; quindi l equazione di incognita R { = + )y è equivalente all equazione di incognita R, = + )y, quindi a = y + y; quindi a )y y Tale equazione ha soluzioni R se e solo se y, cioè se e solo se y L immagine di f è quindi R { } b) La funzione f è iniettiva se e solo se per ogni y appartenente all immagine di f l equazione di incognita R { }, + = y, ammette una ed una sola soluzione Sia y R { }; l equazione sopra è equivalente all equazione di incognita R, y) = y; tale equazione ha una ed una sola soluzione = quindi f è iniettiva y y c) f : R { } R { }, y y Radici aritmetiche Esercizio Trovare un m R per cui m + m + y sia un numero razionale Risoluzione Per m = si ha m+ m = m+ = 4 = ; è quindi sufficiente scegliere Esercizio Disegnare approssimativamente il grafico di per < f : R R, per per > Risoluzione

14 8 CAPITOLO NUMERI REALI Esercizio Sia f : [, + [ R, + ; a) disegnare approssimativamente il grafico di f; b) determinare l immagine di f si può rispondere utilizzando il grafico di f); c) provare che f è iniettiva; d) determinare f ; e) disegnare approssimativamente il grafico di f Risoluzione a) b) La proiezione del grafico sull asse y è [, + [; si ha quindi f[, + [) = [, + [ Precisamente, se y R, y appartiene all immagine di f se e solo se l equazione di incognita R + + = y ammette almeno una soluzione Tale equazione è equivalente all equazione = y Per y < l equazione non ha soluzioni; per y l equazione è equivalente a = y ) ; quindi ha soluzioni Quindi l equazione ha soluzioni se e solo se y, cioè se e solo se y ; si ha quindi f[, + [) = [, + [

15 4 VALORE ASSOLUTO 9 c) Supposto y l equazione = y ha un unica soluzione data da = y ) Quindi f è iniettiva d) f : [, + [ [, + [, y y ) e) 4 Valore assoluto Esercizio Determinare i t R per i quali ammette reciproco t ) Risoluzione Il numero reale t ) ammette reciproco se e solo se t ), cioè se e solo se t, cioè se e solo se t =, cioè se e solo se t e t Esercizio Trovare un m N in modo che sia una funzione pari f : R R, + m+ m + Risoluzione Affinchè f sia una funzione pari, è sufficiente che m + sia un numero pari; è allora sufficiente scegliere m = ; dunque f : R R, è una funzione pari

16 CAPITOLO NUMERI REALI 5 Polinomi Esercizio Determinare il quoziente ed il resto della divisione fra polinomi: a) ) : + + ); b) ) : ); c) ) : + ) Risoluzione a) Quindi se Q) è il quoziente e R) è il resto, si ha Q) = e R) = b) Quindi se Q) è il quoziente e R) è il resto, si ha Q) = 5 + e R) = c) Quindi, indicato con Q) il quoziente e con R) il resto, si ha Q) = e R) = 5 Esercizio Determinare il quoziente ed il resto della divisione fra polinomi utilizzando la regola di Ruffini: a) ) : ); b) 4 + ) : + )

17 6 EQUAZIONI Risoluzione a) : Quindi se Q) è il quoziente e R) è il resto, si ha Q) = + 4 e R) = b) : Quindi se Q) è il quoziente e R) è il resto, si ha Q) = + 5 e R) = 6 Equazioni Esercizio Risolvere le seguenti equazioni polinomiali e determinare la molteplicità delle radici del polinomio: a) + 4 = ; b) = ; c) = Risoluzione a) + 4 = ) + ) Quindi le radici sono = e = ; = è radice semplice, = è radice doppia b) Sia A) = Le radici razionali di A) sono fra i numeri razionali p q con p divisore intero di e q divisore intero di I divisori interi di sono ± e ±; i divisori interi di sono ±, ±, ±, ±5, ±6, ±, ±5, ± Si trova A ) = ; quindi è radice di A) Il quoziente della divisione A) : + ) è + 4 A) = + 4) + ) = 5 + ) + ) L equazione 5 + = ha soluzioni = e = 5 ; si ha quindi 5 + = 5 ) 5 ) = )5 ) A) = 5 + ) + ) = )5 ) ) Le radici dell equazione sono quindi e, 5 Le tre del polinomio sono tutte semplici

18 CAPITOLO NUMERI REALI c) = ± = ± 5 = ±5 ; quindi si ha = 9 o = 4; quindi si ha = ± o = ± Le radici del polinomio sono tutte semplici Esercizio Risolvere le seguenti equazioni irrazionali a) + = ; b) = ; c) + = Risoluzione a) Il dominio dell equazione è R : { { + = se e solo se + = + = o < { + = Risolviamo Il sistema è equivalente a { { + = ), cioè a + = 9 6 +, cioè a { { 8 6 = = o =, cioè a 4, cioè a = 4 { + = Il sistema non ammette soluzioni < Quindi per l equazione assegnata si trova = 4 { = b) L equazione si scrive ; quindi equivale a = = o < = Il sistema non ammette soluzioni; quindi l equazione equivale a, cioè a, cioè a < = = { { = = 5± { 9, cioè a = o = 4, cioè a, cioè a = 4 { + = c) L equazione si scrive ed è equivalente a + + = + o + = + <

19 6 EQUAZIONI + = Il sistema + non ammette alcuna soluzione < L equazione assegnata è quindi equivalente a + = + = { +, cioè a, cioè a =, cioè a { = ± 5, cioè a = + 5 Si trova quindi = + 5 Esercizio Risolvere le seguenti equazioni: a) + + = ; b) + = ; c) + = ; d) = + ; e) + = Risoluzione a) L equazione equivale a { + + = o { + + = < Si { ha { + + = se e solo se + + ) = { + + = cioè = Si { ha { + + = se e solo se + ) = < < { { cioè = = ± + = ± cioè cioè < { < = o = e quindi mai < Quindi l equazione ha una sola soluzione data da = b) + = se e solo se + = ±, cioè = 4 o = c) L equazione è equivalente a + = ± cioè L equazione + = è equivalente a + 4 =, cioè a = ± 7

20 4 CAPITOLO NUMERI REALI L equazione + = è equivalente a + + = ; il polinomio + ha discriminante = 7 < ; quindi l equazione + + = non ha soluzioni Quindi l equazione assegnata ha soluzioni = ± 7 d) L equazione è assegnata per L equazione è equivalente a = + Il sistema { = o Il sistema + = < < cioè a o = + = + <, cioè a = = + < = o = < <, cioè a è equivalente a è equivalente a + = < <, cioè a = { = + o = + < <, cioè a L equazione assegnata è quindi equivalente a = o =, cioè a, cioè a = ± 4 < < e) L equazione { è equivalente { a + = + = o + + < { { + = + = Il sistema è equivalente a + +, cioè a { = ; poichè = è falsa, tale sistema non ammette soluzioni + { { + = = Il sistema è equivalente a, cioè a + < < { { = =, cioè a < < ; poichè non è <, tale sistema non ammette alcuna soluzione Quindi l equazione assegnata non ammette soluzioni 7 Disequazioni Esercizio Risolvere le seguenti disequazioni polinomiali: a) + 5 < 4 + ;,

21 7 DISEQUAZIONI 5 b) + > ; + > c) + + > > ; Risoluzione a) Il dominio della disequazione è R : + 5 < 4 + se e solo se <, se e solo se > b) Il polinomio + ha discriminante = < ; quindi la disequazione è soddisfatta per ogni R { < < c) Il sistema di disequazioni equivale a Quindi si ha < < o > < Esercizio Risolvere le seguenti disequazioni fratte: a) +4 < ; b) +5 > 4 Risoluzione a) Il dominio della disequazione è R {} Sia : +4 < se e solo se +4 < se e solo se < se e solo se + < se e solo se < o > b) Il dominio della disequazione è R { } Sia : +5 > 4 se e solo se +5 4 > se e solo se > se e solo se +9 4 > se e solo se < < 9 Esercizio Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali: a) + > b) + > ; c) + > ; d) 9 > ; e) < + ; f) + > ;

22 6 CAPITOLO NUMERI REALI g) + > ; h) > ; Risoluzione a) Tenendo conto della condizione { sul dominio della disequazione, la disequazione è soddisfatta se e solo se, cioè se e solo se + > + + > + o + > + < + > + > + se e solo se + { { + >, cioè se e solo se <, cioè se e solo se Il polinomio ha discriminante = + 8 = 9 > ; il polinomio ammette quindi le radici = ±, cioè = o = { { < < < se e solo se, cioè se e solo se < + > { + + se e solo se, cioè se e solo se < < < La disequazione assegnata è quindi soddisfatta se e solo se < b) La disequazione equivale a + > + o + > + < Il sistema equivale a + > ) + + > + {, cioè a + > ), cioè a

23 7 DISEQUAZIONI 7 { { + > + + > +, cioè a { < ; quindi non ammette alcuna soluzione Il sistema + > + <, cioè a equivale a { + < { o, cioè a < Quindi la disequazione data equivale a < c) La disequazione equivale a + > + o + > + < cioè a < Il sistema + > + equivale a + > ) { +, cioè a + > ), cioè a { { { + > > 7 > 7, cioè a,, cioè a Il sistema equivale a { + < + > + < { o, cioè a, cioè a o < < Quindi la disequazione data equivale a o d) La disequazione è equivalente a 9 > 9 > 9 o 9 <

24 8 CAPITOLO NUMERI REALI Risolviamo 9 > 9 9 > 9, cioè a Il sistema è equivalente a { 9 > quindi nessuna soluzione 9 > Risolviamo 9 Il sistema è equivalente a { < { 9 o, cioè a, cioè a < < Quindi la disequazione assegnata è equivalente a { < + e) La disequazione si scrive ed è equivalente a + < + + o < + + < Il sistema < + + è equivalente a { { < < <, cioè a < + + { < < è equivalente a, cioè a < ; < + +, cioè a, cioè a < < { + <, cioè a La disequazione assegnata è quindi equivalente a < { + > f) La disequazione si scrive ed è equivalente a + > + > o + + < Il sistema + > > > è equivalente a, cioè a + ) > > >, cioè a, cioè a

25 7 DISEQUAZIONI 9 < o > + > Il sistema + > + <, cioè a + < non ammette soluzioni La disequazione assegnata è quindi equivalente a + < g) La disequazione è assegnata per R tale che + +, cioè tale che + + quindi per < < o > Per < < la disequazione è soddisfatta Supponiamo > La disequazione è equivalente a + <, quindi a + < ; quindi a > Il polinomio ha discriminante = + 4 = 5 > ; il polinomio ammette quindi le radici = ± 5 La disequazione > è quindi soddisfatta per < 5 o > + 5 ; quindi, essendo >, se e solo se > + 5 La disequazione assegnata è quindi soddisfatta se e solo se < < o > + 5 h) La disequazione è assegnata per { >, cioè per, cioè per < < o > Supponiamo < < ; si ha > e > ; l equazione è quindi equivalente { a > { { < > < <, cioè a, cioè a, cioè a < < < < { { { > ) > +, cioè a, cioè a + <, < < < < < < cioè a { 5 < < + 5 < <, cioè a 5 < < Per > si ha < ; quindi la disequazione non è soddisfatta in quanto < e > Quindi la disequazione assegnata è equivalente a 5 < < ;

26 CAPITOLO NUMERI REALI 4 Esercizio Risolvere le seguenti disequazioni: a) + > + ; b) + > + ; c) < ; d) + > ; e) > ; f) > Risoluzione a) La { disequazione è equivalente { a + > + + > + o + + < { + > + Risolviamo Il sistema è equivalente a { + { + > + <, cioè a ; quindi il sistema non ammette alcuna soluzione { + > + Risolviamo Il sistema è equivalente a { + < { + ) > + ) > +, cioè a, cioè a < < { < 4 cioè a <, cioè a < 4 Quindi la disequazione assegnata è equivalente a < 4 b) { < 4 < La disequazione equivale a + + ) >, cioè a + ) >, cioè a + + >, cioè a { + + > { + + Il sistema > equivale a { < o < <, cioè a < < { + + Il sistema > equivale a < { <, cioè a < < o { + + > < { ++ > { + > <,, cioè a, cioè a

27 7 DISEQUAZIONI Quindi la disequazione assegnata è equivalente a < o < < c) La disequazione equivale a < <, cioè a < < 5 d) La { disequazione equivale { a + > + > o + + < { { + > + ) > Il sistema equivale a, cioè a { + { { + + >, cioè a > + +, cioè a, cioè a < o > { { + > ) > Il sistema equivale a, cioè a { + < { < { >, cioè a + < < <, cioè a, cioè a < < < < < Quindi la disequazione assegnata equivale a < < o > { e) La disequazione è assegnata per ; si scrive dunque > ; { { < < < essa è equivalente a, cioè a, cioè a { < <, cioè a < < o < < f) La disequazione è assegnata per ; supposto R e risolviamo la disequazione in due modi i Modo se e solo se { > > > o { > < { > > se e solo se { > > se e solo se { + > > se e solo se { 5+4 < > { +4 4 > > se e solo se

28 CAPITOLO NUMERI REALI Tenendo conto della condizione >, se e solo se { < > se e solo se { < < 4 > se e solo se { > < se e solo se < < 4 { > + < se e solo se { + > < se e solo se { +4 > < { > < se e solo se Tenendo conto della condizione <, se e solo se { + 4 < < Il polinomio + 4 ha discriminante = 9 6 = 7 < ; quindi la disequazione + 4 < non è mai soddisfatta Quindi il sistema 8 { + 4 < < non ha soluzioni La disequazione assegnata è quindi equivalente a < < 4 ii Modo > se e solo se < { < { > se e solo se + { ) < se e solo se ) + > se e solo se >< > { 5+4 < +4 > se e solo se Il polinomio ha radici e 4; quindi > se e solo se < o > 4; si ha quindi 5+4 < se e solo se < o < < 4 Il polinomio + 4 ha discriminante = 9 6 = 7 < ; quindi + 4 > per ogni R; si ha quindi +4 > se e solo se >

29 8 DOMINIO NATURALE DI FUNZIONI Quindi si ha { 5+4 < +4 > se e solo se { < o < < 4 > se e solo se < < 4 8 Dominio naturale di funzioni Esercizio Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni reali di variabile reale: a) f) = b) f) = ; ; c) f) = ; d) f) = Risoluzione a) Il dominio naturale di f è dato dalle soluzioni del seguente sistema Il sistema equivale a o { {, cioè a ± 5, cioè a, cioè a {, cioè a < + 5 o > + 5 Quindi si ha domf) = [, + 5 [ ] + 5, + [ b) Il dominio naturale di f è dato dalle soluzioni del seguente sistema

30 4 CAPITOLO NUMERI REALI Il sistema equivale a o, cioè a {, cioè a {, cioè a Quindi si ha domf) = [, [ ], + [ { e, cioè a < o > c) Il dominio naturale di f è dato dalle R tali che, cioè tali che, cioè tali che o Quindi si ha domf) =], ] [, + [ d) Il dominio naturale di f è dato dalle R tali che, cioè tali che =, cioè tali che e Quindi si ha domf) =], [ ], [ ], + [

31 Capitolo Numeri complessi Parte reale, parte immaginaria, modulo Esercizio Determinare la parte reale e la parte immaginaria dei seguenti numeri complessi: a) i ; b) i ; c) i +7i 5i; d) i ; e) i i Risoluzione a) i = i; quindi si ha R i ) =, I i ) = b) i = i; quindi si ha R i ) =, I i ) = c) i +7i 5i = i) 7i) +7i) 7i) i R i +7i 5i) = 5 d) i = + i R ) ) i = e I i = e) i i = i + i = i R ) ) i i = e I i i = 5i = 7i i i = 6 8i 5 5i = i = i 9 e I +7i 5i) 5 Esercizio Determinare la parte reale, la parte immaginaria e il modulo dei seguenti numeri complessi: a) i ; 5

32 6 CAPITOLO NUMERI COMPLESSI b) +i +i Risoluzione a) i = +i i)+i) = +i = + i Quindi si ha Rz =, Iz =, z = b) +i +i = +i) i) +i) i) = 6 i+i+ 9+ = 7+i = 7 + i R +i +i ) = 7 +i 5, I +i ) = e +i +i = 49 + = 5 = Rappresentazione di sottoinsiemi di C Esercizio Disegnare Risoluzione A = {z C; z <, Rz < }

33 Capitolo Lo spazio euclideo R N Composizione di funzioni Esercizio Sia f : N R +, n n! + e g : R + R, + ; determinare g f, esprimendola nella forma esplicitando A, B e T {u} Risoluzione Sia n N; si ha gfn)) = gn! + ) = n! + + g f : A B, u T {u}, g f : N R, n n! + + Sia e f : R R, g : R R, ; a) determinare f g; b) determinare g f; c) dimostrare che g è biettiva e determinare g Risoluzione a) Per ogni R si ha f g)) = fg)) = f ) = f g : R R, 7

34 8 CAPITOLO LO SPAZIO EUCLIDEO R N b) Per ogni R si ha g f)) = gf)) = g ) = g f : R R, c) Sia R; consideriamo l equazione di incognita ]inr, = y L equazione ammette una ed una sola soluzione, Quindi g è biettiva e si ha = y + g : R R, y y + Componenti di una funzione vettoriale Esercizio Determinare le componenti della funzione f : R R che a t R fa corrispondere il punto intersezione della retta di equazione 5 + 7y = con la retta di equazione y = t { 5 + y = Risoluzione Il valore ft) è la soluzione del sistema y = t sistema { è equivalente a { y = t y = t 5 = 7t, cioè a = 7t 5 Quindi si ha ft) = 7t 5, t) ; quindi f : R R, t 7t 5 f : R R, t t, Il Prodotto scalare e norma Esercizio Calcolare: a), 4,, ),,, ) ) ; b),,, 4) 5,,, ) ) ;

35 4 DISTANZA 9 c) ) 5,,, 4),,, 4) Risoluzione a), 4,, ),,, ) ) = = b),,, ) 4,, 5, 6) ) = = 9 c) Si ha ) ) 5,,, 4),,, 4) = 5, 6,, ),,, 4) = = 9 Esercizio Determinare il valore della seguente espressione: 4,,, ) + 5, 7,, ) Risoluzione 4,,, ) + 5, 7,, ) = 8,, 4, 6) + 5, 7,, ) =, 9, 5, 4) = = 9 Esercizio Dire quali delle seguenti espressioni hanno significato; di queste calcolarne il valore: a),, ) +,, ) ; b) 7,, );,, 4) c) 4, 5, ) Risoluzione a) L espressione,, ) +,, ) ha significato e si ha,, ) +,, ) = = 4+ 4 = 4 b) L espressione 7,, ) non ha significato c) L espressione,,4) 4,5,) 4 Distanza Esercizio Calcolare la distanza ) a) d, 5,, 4),,,, 6) ; b) d ),, 4, 5),,, 4, ) Risoluzione non ha significato a) d, 5,, 4),,,, 6)) =, 5,, 4),,, 6) =,,, ) = = 8 =

36 CAPITOLO LO SPAZIO EUCLIDEO R N b) d,, 4, 5),,, 4, )) =,, 4, 5),, 4, ) =,,, ) = + 9 =

37 Capitolo 4 Topologia di R N 4 Intorni in R N Esercizio Dare un esempio di un intorno U in R di tale che + U Risoluzione U =], [ Esercizio Sia A = { n + ; n N } ; a) determinare A e dire se A è aperto; b) determinare A e dire se A è chiuso; c) determinare Fr A); d) determinare l insieme dei punti isolati di A Risoluzione a) A= ; quindi A non è aperto b) A = A {}; poichè A, A non è chiuso c) Fr A) = A {} d) Ogni punto di A è punto isolato Esercizio Disegnare nel piano l insieme A = {, y) R ; + y, + y > } ; dire se A è aperto; dire se A è chiuso; determinare A, A, Fr A) e l insieme dei punti isolati di A Risoluzione :

38 CAPITOLO 4 TOPOLOGIA DI R N A L insieme A non è aperto; l insieme A non è chiuso; si ha: A = {, y) R ; + y, + y }, A= {, y) R ; + y <, + y > }, Fr A) = {, y) R ; + y =, + y } {, y) R ; + y, + y = }; l insieme dei punti isolati di A è l insieme vuoto 4 Esercizio Sia A = { ) n ; n N}; consideriamo A come sottoinsieme dello spazio topologico R; determinare A, A, Fr A) e l insieme dei punti isolati di A; dire se A è aperto e se A è chiuso è sufficiente rispondere direttamente, avendo presente la posizione dei punti di A sulla retta) Risoluzione L insieme A è formato da infiniti punti fra loro separati a) A= ; b) A = A; c) Fr A) = A; d) ogni punto di A è isolato; e) A non è aperto, in quanto A A; f) A è chiuso, in quanto A = A 4 Gli spazi topologici R, R +) e R ) Esercizio Trovare, per lo spazio topologico R, un intorno di + diverso da R e contenente N Risoluzione Un intorno di +, diverso da R e contenente N è [, + [

39 4 FUNZIONI CONTINUE 4 Funzioni continue Esercizio Sia f : R R, sgn ) ; a) disegnare il grafico di f; b) determinare l insieme dei punti ove f è continua Risoluzione a) Per ogni R si ha per > f) = per = per quindi f è la funzione valore assoluto; il grafico di f è quindi b) La funzione è continua in ogni R Esercizio Dire se f : [, 7] R, ammette massimo e se ammette minimo, spiegandone il motivo Risoluzione Poichè f è continua e poichè domf) è compatto, per il teorema di Weierstrass, f ammette massimo e minimo Esercizio Assegnate le funzioni a) f : R R, + 5 +, b) f : R R, , dire se l equazione di incognita f) = ammette almeno una soluzione; in tal caso determinare a, b R, con a < b tali che nell intervallo ]a, b[ vi sia almeno una soluzione dell equazione Risoluzione

40 4 CAPITOLO 4 TOPOLOGIA DI R N a) f) = >, f ) = = < ; quindi per il teorema del valor intermedio esiste ], [ tale che f) = b) f ) = > e f ) = 7 < ; per il teorema degli zeri di una funzione continua, esiste ], [ tale che f) = 44 Limiti a) Esercizio Calcolare i seguenti limiti: i lim ; ii lim + + ); iii lim ); iv lim ); v lim + + ); vi lim 5+ ; vii lim + 5+ Risoluzione i lim = lim = ii lim + + ) = lim + ) ++ ) + ++ = lim + ++ = lim lim ) = = = iii lim ) = lim ++ ) +++) + = +++ lim ++ + = lim + = lim ) + ) = lim + = iv lim ) = lim ++ ) +++ ) = lim =

41 44 LIMITI 5 + lim = + lim ) + ) = lim + = v lim + + ) = lim + ) +) + ++ ) + +) + ++ ) lim + + +) + = ++ ) lim + + +) + ++ ) = lim + +) + ++ ) = vi 5+ lim = + lim 5 + ) = 8; per il teorema della permanenza del segno la funzione 5 + è positiva in un intorno sinistro di > se e solo < o > e < se e solo se < < ; quindi la funzione è negativa in un intorno sinistro di Quindi la funzione 5+ è negativa in un intorno sinistro di 5+ lim = vii 5+ lim + = + lim ) = 8; per il teorema della permanenza del segno la funzione 5 + è positiva in un intorno destro di > se e solo < o > e < se e solo se < < ; quindi la funzione è positiva in un intorno destro di Quindi la funzione 5+ è positiva in un intorno destro di 5+ lim + = + = 4 Esercizio Sia per f :], ] R, per < per < ; a) tracciare approssimativamente il grafico di f; b) determinare l insieme dei punti ove f è continua Risoluzione a)

42 6 CAPITOLO 4 TOPOLOGIA DI R N b) Per il carattere locale della continuità f è continua su ], [ ], [ ], ] Consideriamo il punto lim, f) = lim, ], [ = e lim +, f) = lim +, ],] = lim, f) = f ) = Quindi f è continua in Consideriamo il punto lim, f) = lim, ],[ = e lim +, f) = lim +, ],] = Quindi f ], ] {}) non è convergente; Quindi f non è continua in L insieme dei punti ove f è continua è quindi ], [ ], ] 5 Esercizio Assegnata la funzione per f : R R, per < < per a) tracciare approssimativamente il grafico di f; b) determinare l insieme dei punti ove f è continua Risoluzione a),

43 44 LIMITI 7 b) Per il carattere locale della continuità f è continua su ], [ ], [ ], ] Consideriamo il punto lim, f) = lim, ], [ = e lim +, f) = lim +, ],] = lim, f) = f ) = Quindi f è continua in Consideriamo il punto lim, f) = lim, ],[ = e lim +, f) = lim +, ],+ [ = lim, f) = f) = Quindi f è continua in L insieme dei punti ove f è continua è quindi R

44 8 CAPITOLO 4 TOPOLOGIA DI R N

45 Capitolo 5 Confronto asintotico 5 Confronto asintotico Esercizio Trovare un p Z tale che: a) + p 4 ; b) 4p+ ; giustificare il risultato Risoluzione a) + p 4 se e solo se < p 4, cioè se e solo se p > 7 Si può quindi scegliere p = 8 b) 4p+ se e solo se 4p+), cioè se e solo se 4p >, cioè se e solo se 4p >, cioè se e solo se p < Si può quindi scegliere p = Esercizio Determinare i p Z tale che: a) p ; b) 5 + p ; c) 4 p 4 ; giustificare il risultato Risoluzione a) ; quindi si ha p se e solo se 5 + p, cioè se e solo se 5 < p, cioè se e solo se 6 < p, cioè se e solo se p > b) 5 + ; quindi si ha 5 + p se e solo se p, cioè se e solo se > p, cio`se e solo se 4 > p, cioè se e solo se p < 4 9

46 4 CAPITOLO 5 CONFRONTO ASINTOTICO c) 4 4 ; quindi si ha 4 p 4 se e solo se 4 p 4, cioè se e solo se 4 < p 4, cioè se e solo se p > 8, cioè se e solo se p > 4 Esercizio Determinare gli a R e i p Z tali che a) + + a ) p+, b) a + ) p + a + Risoluzione a) + + ; quindi si ha + + a ) p+ se e solo se a ) p+, cioè se e solo se p + = e a =, cioè se e solo se p = e a = b) ; quindi si ha a + ) p + a + se e solo se + a + ) p + a + Perchè ciò accada deve essere p =, cioè p = ; deve inoltre essere a +, cioè a Supponiamo p = e a ; si ha allora a + ) p + a + + a + ) ; si ha quindi + a + ) p + a + se e solo se + a + ), cioè se e solo se a + =, cioè se e solo se a = Si trova dunque p = e a = 5 Principio di sostituzione Esercizio Calcolare i seguenti limiti a) lim b) lim Risoluzione + ; + a) lim = lim + = b) 5 Asintoti + = Quindi si ha lim + = Esercizio Dire se le seguenti funzioni ammettono sviluppo asintotico affine per + ; in caso affermativo determinare l asintoto: a) f) = ++ ; b) f) = + Risoluzione

47 5 ASINTOTI 4 a) f) lim + = lim ++ + = ) lim + f) = lim ++ + lim = lim + 7+ = 7 Quindi f ammette sviluppo asintotico affine per + e l asintoto a f per è la retta y = + 7 b) + + ; quindi si ha lim + + = Si ha + = + ) ++) ++ = = Quindi f ammette sviluppo asintotico affine per + e l asintoto di f per + è la retta y = Esercizio Dire se le seguenti funzioni ammettono sviluppo asintotico affine per ; in caso affermativo determinare l asintoto: a) f) = ; b) f) = ; c) f) = Risoluzione a) f) lim lim = lim = lim = lim = lim f) + ) = lim + ) = lim +) ) = = lim = lim = Quindi f ammette asintoto per e l asintoto di f per è la retta di equazione y = + b) Nell equivalenza che segue possiamo supporre < ; si ha = ) = = = e 6 ) + lim f) + = lim lim = = = =

48 4 CAPITOLO 5 CONFRONTO ASINTOTICO lim = lim ) = lim ) = lim 5 = 5 Quindi f ammette asintoto per e l asintoto di f per è la retta di equazione y = c) = e lim f) = lim ) = lim + ++ ) + ++) ) + ++) = lim ) = lim = Quindi f ammette asintoto per e l asintoto di f per è la retta di equazione y = +

49 Capitolo 6 Serie 6 Serie convergenti Esercizio Data la serie n= n + n + 4, e indicata con s la successione delle somme parziali, calcolare s, esprimendo tale numero razionale nella forma p q Risoluzione Indicata con a la successione dei termini della serie, si ha a = 4, a = 4 5, a = 5 6 ; quindi si ha 6 Serie geometrica s = = 4 6 Esercizio Dire se le seguenti serie sono convergenti e in caso affermativo, determinare la loro somma a) n= )n n n+ n ; b) n= )n n n+ n ; c) n= )n n n+ n ; d) n= )n n 4 n+4 n ; giustificare la risposta Risoluzione 4

50 44 CAPITOLO 6 SERIE a) ) n n n+ = ) n n n n 9 n = 6 9 )n = )n Quindi la serie data è una serie geometrica di ragione ; quindi la serie è convergente e ha per somma = 9 + b) ) n n n+ = ) n n n 9 n 9n 4 = 6 9 )n 9 4 = )n 9 4 Quindi la serie data è una serie geometrica di ragione ; quindi la serie è convergente e ha per somma 9 4 = 7 + c) ) n n n+ = ) n n n 7 n 9n 8 = )n 8 = 7 )n 8 Quindi la serie data è una serie geometrica di ragione è convergente e ha per somma = 8 4 ; quindi la serie d) ) n n 4 n+4 = ) n n n 8 n 9n 6 = )n 6 = 8 )n 6 Quindi la serie data è una serie geometrica di ragione ; quindi la serie è convergente e ha per somma 8 6 = 4 8 Esercizio Determinare, attraverso le serie, la frazione generatrice del seguente numero periodico 5 + Risoluzione 5 = = 5 + = Esercizio Determinare se esiste) la serie geometrica di primo termine e avente per somma Risoluzione Se q è la ragione della serie geometrica, deve essere q =, cioè q =, cioè q = = ; la serie geometrica è quindi n n= ) 4 Esercizio Determinare gli R per i quali le seguenti serie sono convergenti: a) n= )n ; b) n= + ) n ; per tali determinare la somma della serie Risoluzione a) Si tratta di una serie geometrica di ragione La serie è convergente se { e solo se < <, cioè se e solo se < <, cioè se e solo se < ; il sistema è equivalente a < { { > > <, cioè a < o >, cioè a > ;

51 6 SERIE GEOMETRICA 45 quindi la serie è convergente per > Per >, la somma della serie è = ) = b) La serie è convergente se e solo se + <, cioè se e solo se + <, cioè se e solo se + <, cioè se e solo se < Quindi la serie non è convergente per alcun 5 Esercizio Dire per quali R le seguenti seguente serie sono convergenti: a) n= + )n ; b) n= + )n ; c) n= + )n ; d) n= + )n ; e) n= ) n ; f) n= )n ; per tali determinare la somma della serie Risoluzione a) Sia R; la serie n= + )n è una serie geometrica di ragione + La serie è convergente se e solo se + <, cioè se e solo se + <, cioè se e solo se + >, cioè se e solo se > ; quindi per ogni R Per R si ha + )n = + n= = + + b) Sia R; la serie n= + )n è una serie geometrica di ragione + + ; quindi la serie è divergente positivamente Quindi per ogni R la serie assegnata non è convergente c) Sia R; la serie n= + )n è una serie geometrica di ragione La serie è convergente se e solo se <, cioè se e solo se <, cioè se e solo se < +, cioè se e solo se < ; quindi per ogni R Per R si ha + )n = n= + = + + = +

52 46 CAPITOLO 6 SERIE d) Sia R; la serie n= + )n è una serie geometrica di ragione + Supponiamo > ; si ha la serie n= + )n ; tale serie è convergente se { < e solo se < + <, cioè se e solo se + { <, cioè se e solo se < + poichè < la serie n= Supponiamo ; si ha la serie n= { < < + )n è convergente + <, cioè se e solo se, cioè se e solo se < ; che è divergente positivamente Quindi la serie assegnata è convergente se e solo se > Sia > ; si ha n= + )n = + = + + = + e) Si tratta di un serie geometrica di ragione { ; la serie è convergente se e solo se < <, cioè < ; tale sistema > è equivalente a < < > o > < < < Il sistema > è equivalente a >, cioè a + > < Il polinomio + ha discriminante = 8 = 7 < ; per ogni R + > si ha quindi + > ; quindi il sistema < è equivalente a < < < { {, cioè a ; tale sistema non ammette alcuna soluzione < < Il sistema > è equivalente a >, cioè < < + > < o > a + <, cioè a < <, cioè a < < o < < < < La serie è quindi convergente se e solo se < < o < < ; per tali si ha n= ) n = + = + + = +

53 6 SERIE GEOMETRICA 47 f) Si tratta di una serie geometrica di ragione { La serie è convergente < se e solo se < <, cioè se e solo se > { < Il sistema > è equivalente a < < > o > < < < Il sistema > è equivalente a >, cioè a < > ; poichè > è falsa il sistema non è mai verificato < Il sistema > è equivalente a a < > < <, cioè a > < <, cioè a < < + < + > <, cioè Quindi la serie è convergente se e solo se < < ; per tali la somma della serie è + = + + = 6 Esercizio Determinare gli del dominio naturale per i quali le seguenti serie sono convergenti: a) n= ) n, b) n= ) n, c) n= )n ; per tali determinare la somma della serie Risoluzione a) La serie è assegnata per Si tratta di una serie geometrica di ragione La serie è convergente se e solo se < <, cioè < < + se e solo se >, cioè, se e solo se >, < + ) cioè, essendo anche +, se e solo se > ), cioè se e

54 48 CAPITOLO 6 SERIE < + + solo se > + { se e solo se + < solo se < <, cioè se e solo se, cioè se e solo se + + > + < { < <, cioè, cioè se e Quindi la serie è convergente se e solo se < < ; per tali la somma della serie è + b) o modo Il dominio naturale della funzione definita da è dato dalle soddisfacenti La serie assegnata è una serie geometrica di ragione ; la serie è quindi convergente se e solo se < < Si ottiene quindi il sistema < < Risolviamo { > Il sistema è equivalente a > o > < > Il sistema è equivalente a > ) {, cioè a > ), cioè a { { > + +, cioè + >, cioè a { < o > +, cioè a > Il sistema è equivalente a < { o <, cioè a o < { < cioè a

55 6 SERIE GEOMETRICA 49 La disequazione { > o { < + Risolviamo Il sistema è equivalente a < + + < + Il sistema + < + + o o è quindi equivalente a < + + < è equivalente a <, cioè a o < < + o < + Il sistema non ammette soluzioni + < La disequazione o < < + Il sistema, cioè a, cioè a < o < < + { < + < < è quindi equivalente a < è quindi equivalente a { o < o < < +, cioè a < o < < + Quindi la serie è convergente per per tali si ha n= ], ] [, + [ ; ) n = +

56 5 CAPITOLO 6 SERIE o modo Il dominio naturale della funzione definita da è dato dalle soddisfacenti La serie assegnata è una serie geometrica di ragione ; la serie è quindi convergente se e solo se < < Si ottiene quindi il sistema < < Il sistema è equivalente a > < +, cioè a > < + < Risolviamo il sistema o > < + > < + > > < + < ; o si ha + < ; quindi l equazione < + non è mai soddisfatta; quindi il sistema non ha soluzioni Risolviamo il sistema > < + ; il sistema è equivalente a < + ),

57 6 SERIE GEOMETRICA 5 cioè a cioè a cioè a cioè a o < + + { o < { o < < + < o,,, Risolviamo il sistema > < + > ; il sistema è equivalente a cioè a cioè a cioè a > > ) < + ), > > + < + +, > < o > + < < + < < +, Quindi il sistema da cui siamo partiti è equivalente a < o < + Quindi la serie è convergente per ], ] [, + [ ;

58 5 CAPITOLO 6 SERIE per tali si ha ) n = + n= c) La serie è assegnata per, cioè per Si tratta di una serie geometrica di ragione La serie è convergente se e solo se < <, cioè se e solo se < <, cioè se e solo se <, cioè se e solo se >, cioè se e solo se < o >, cioè se e solo se < o > Per tali la somma della serie è = = + 6 Serie a termini positivi Esercizio Studiare la convergenza delle seguenti serie: a) n= 5n +n+ n + ; b) n= n +7n+ n 5 +n+ ; c) n= n +5n+ n +n+ ; d) n= n + e) f) n= n + ; n4 +n n n= n 5 + ; g) n= n ; n + n +n+ ; h) n+ n n n= ; n5 + giustificare la risposta Risoluzione a) 5n +n+ b) 5 n + n n quindi la serie è convergente c) ; quindi la serie data è divergente positivamente n + 7n + n 5 + n + n n n 5 = n ; n + 5n + n + n + n n n = n ; quindi la serie è divergente positivamente

59 6 SERIE A TERMINI POSITIVI 5 d) n + n + n ; quindi la serie è divergente positivamente e) n 4 +n n n n 5 + n n = 5 n ; quindi la serie è convergente f) Si ha n + n +n+ n n n = n n n Quindi la serie assegnata è divergente positivamente g) lim n n = + ; quindi la serie è divergente positivamente h) n+ n n n5 + n n n 5 quindi la serie è divergente negativamente Esercizio Studiare la convergenza delle seguenti serie: a) n= n + n n + n ; b) n= 4n+5n 4n+4 n ; c) n= n n +n n +n 4 ; d) n= n +7n+ n!+ n + ; e) n= n + n n!+n ; f) n= n n! n +n! ; g) n= n5 +n+ n! n+ ; giustificare la risposta Risoluzione a) n + n n + n n n = n )n Quindi la serie assegnata è convergente = n n n = n n ; si ha lim n n n = ; b) 4n+5n 4n+4 n n 5 n 4 n = 5 4) n; quindi la serie è divergente positivamente c) n n +n n +n 4 n n n n = n ) n; quindi la serie è convergente d) n +7n+ n!+ n + n n n! e) n + n n!+n n n n! ; quindi la serie è convergente ; quindi la serie data è convergente f) n n! n +n! n n! n! = Quindi la serie è divergente negativamente g) n 5 +n+ n! n+ n n5 n! ; quindi la serie è convergente Esercizio Studiare la convergenza delle seguenti serie:

60 54 CAPITOLO 6 SERIE a) n= n! n ; b) c) n= n= n +n ; n +n n!+ n)!+ ; d) n= n+ n + )n ; e) n= n n ; giustificare la risposta Risoluzione a) : n+)! n+) n! = n!n+) n n +n+ n! = n+ = n+ n n+ 9 n n 9 n n n Quindi la serie data è convergente per il criterio del rapporto n +n n n n+) b) n +n n+) n = n n +n+ n +n +n+ n : n n = n n n Quindi la serie data è convergente per il criterio del rapporto c) n+)! n+))! n! n)! n!+ n)!+ n n! n)! ; : = n+)! n)! n+ n+))! n! = n+)n+) n 4n n Quindi, per il criterio del rapporto, serie data è convergente n d) lim n n+ n + )n n+ = lim n n + = lim n n = n Quindi, per il criterio della radice, la serie è convergente n e) lim n n = lim n n n = Quindi, per il criterio della radice, la serie è convergente 64 Limiti di successioni Esercizio Calcolare i seguenti limiti di successioni a) lim n n+ + n n+ n ; b) lim n n 5 n n! n 5 7 n +n! ; c) lim n n + n n 7 n n! ; d) lim n 5 n +n! n +9 n ; e) lim n Risoluzione n+ n +n! n + n +n!

61 64 LIMITI DI SUCCESSIONI 55 a) n+ + n n+ n n n n = Quindi si ha lim n n+ + n n+ n = b) n 5 n n! n 5 7 n +n! n n! n! = Quindi si ha lim n n 5 n n! n 5 +n! = c) n + n n 7 n n! n n n! ; quindi si ha d) 5n +n! n +9 n n n! 9 n ; quindi si ha e) n + n n n lim n 7 n = lim n! n n! = 5 n + n! lim n n + 9 n = lim n! n 9 n = + n+n +n! n + n +n! n n! n! = ; quindi si ha lim n n + n + n! n + n + n! =

62 56 CAPITOLO 6 SERIE

63 Capitolo 7 Serie di potenze 7 Serie di potenze Esercizio Studiare le seguenti serie di potenze: a) n= +n n z n ; b) n= n + n n 4 +5 n z n ; c) n= n+n n + n z n ; d) n= n+n n!+ n z n ; e) n= n!+n n + n z n ; f) n= n+5 n +n zn ; g) n= n +n + n +n+ zn ; h) n= nn +n n + zn Risoluzione a) Per ogni z C si ha +n z n ) n n n z n = n z n n Quindi la serie di potenze è assolutamente convergente in z se e solo se z <, cioè se e solo se z < Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Per z C, z = si ha lim n +n z n ) n = lim n n n z = limn n = + Quindi la serie non è convergente in z b) Per ogni z C si ha n + n n 4 +5 n z n n 5 z )n ; 57

64 58 CAPITOLO 7 SERIE DI POTENZE quindi la serie è assolutamente convergente se e solo se 5 z <, cio`se e solo se z < 5 Quindi il raggio di convergenza è 5 Per z C, z = 5 si ha lim n n + n n 4 +5 z n = lim n n 5 z )n = lim n = Quindi la serie non è convergente in z c) Per ogni z C si ha n+n n + z n n n n z n = n z )n Quindi la serie n= n+n n + z n è assolutamente convergente se e solo se n z <, cioè se e solo se z < Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Per z C, z = si ha lim n n+n n + z n = lim n n z )n = lim n = Quindi la serie non è convergente in z d) Per ogni z C si ha n+n n!+ z n n n n n! z n = z )n n! Quindi la serie n= n+n n!+ z n è assolutamente convergente per ogni z C n Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è r = + e) Per ogni z C si ha n!+n n + z n n! n n z n = n! z n )n Per z si ha lim n n! z )n = + Quindi la serie n= n!+n n + z n è assolutamente convergente se e solo se n z = Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è r = ) f) Per ogni z C si ha n+5 n +n zn n n z n = n z n; n la serie di potenze è quindi assolutamente convergente in z se e solo se z <, cioè se e solo se z < ; quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Per z C, z = si ha ) n+5 n lim n n +n zn = limn n z limn n = + Quindi la serie non è convergente in z g) Per ogni z C si ha n +n + n +n+ zn n n n z n = n z ) n ; la serie di potenze è quindi assolutamente convergente in z se e solo se z, cioè se e solo se z ; quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Supponiamo z C e z = ; abbiamo visto che per z = la serie è assolutamente convergente; quindi la serie è convergente in z

65 7 SERIE DI POTENZE 59 h) Per ogni z C si ha nn +n n + zn n n n n z n = n z n ; la serie di potenze è quindi assolutamente convergente in z se e solo se z <, cioè se e solo se z < ; quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Supponiamo z C e z = ) n n +n n + zn n = n +n n + zn n n zn + n n zn = n4 n nn +) zn + n z)n n4 n nn +) zn n n z ) n = n ; quindi la serie n= n4 n nn +) zn è assolutamente convergente La serie n= n z)n è convergente per z, non convergente per z =, cioè è convergente per z, non convergente per z = Quindi la serie per z = n= nn +n n + zn è convergente per z, non convergente Esercizio Determinare l insieme degli reali per i quali la seguente serie è definita ed è convergente n= n + n + Risoluzione La serie è definita per Supponiamo R, Poniamo t = + ) n + Consideriamo la serie di potenze reale n= n + n + tn Per ogni t R si ha n + n + tn n n t n ; la serie di potenze è quindi assolutamente convergente in t se e solo se t < ; quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è Supponiamo t R e t =, cioè t = o t = Per t = si ha la serie n= n + n + ; si ha n + potenze non è convergente in Per t = si ha n + n + )n = n n + n n ; quindi la serie di n + n + )n n )n ) + n )n = n nn +) )n + n )n n nn +) )n è assoluta- nn +) )n n n ; quindi la serie n= mente convergente La serie n= n )n è convergente per il criterio di Leibniz Quindi la serie n= n + n + )n è convergente La serie di potenze n= n + n + tn è quindi convergente se e solo se t <

66 6 CAPITOLO 7 SERIE DI POTENZE La serie assegnata è quindi convergente se R è tale che + < Ciò { equivale a dire + + <, cioè { <, cioè { + <, cioè { o >, cioè < La serie assegnata è quindi assegnata e convergente se e solo se Esercizio Dimostrare che la serie di potenze ) n n + )! zn+ n= la somma della quale è sin z) ha raggio di convergenza + Risoluzione Sia z C, z ; studiamo l assoluta convergenza della serie di potenze in z, cioè la convergenza della serie n= Applichiamo il criterio del rapporto; si ha z n+)+ n+)+)! z n+ n+! z n+ n+)! = z n+ n+)! n+)! z = z n+ n+)!n+)n+)n + )! = z n+)n+) z 4n n Quindi la serie è assolutamente convergente in z Per l arbitrarietà di z la serie di potenze ha raggio di convergenza + 7 Esponenziale, seno, coseno, seno iperbolico, coseno iperbolico Esercizio Dire se la relazione: cos sin = cos è vera e, in caso affermativo, giustificare la risposta Risoluzione La relazione è vera in quanto cos = cos + ) = cos cos sin sin = cos sin Esercizio Calcolare: i ep i Risoluzione i ep i = i ep i = cos + i sin = =

67 7 LIMITI 6 7 Limiti Esercizio Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos ) sin ) ; b) lim ep5)) sin) sh7) ; c) lim sin cos ) ; d) lim ep ) sin cos e) lim sin sh cos ) Risoluzione Gli esercizi sono risolti utilizzando unicamente le equivalenze asintotiche, senza usare dunque gli sviluppi asintotici a) cos ) sin ) ) = 6 6 ) b) ep5)) sin) sh7) 5) c) sin cos ) Quindi si ha 7 = ) = lim = 9 Quindi il limite è 9 Quindi il limite è 5 4 sin cos ) = ep ) d) lim sin cos = lim = 4 e) sin quindi sin sh cos ) Quindi si ha lim sin sh cos ) lim = Esercizio Calcolare i seguenti limiti: a) lim sin +sin sh ; b) lim sh +sin cos +sin ; c) lim sin sh) cos +sin5) ; d) lim sin sin4) ch + ; e) lim sin sh + cos +sin) 6 6 e sh cos ) = ; 6 6 = Risoluzione Gli esercizi sono risolti utilizzando le equivalenze asintotiche e la trascurabilità, senza usare dunque gli sviluppi asintotici

68 6 CAPITOLO 7 SERIE DI POTENZE a) sin +sin sh sin sh ; quindi si ha sin lim +sin sh = b) Poichè sh sin e poichè cos sh, si ha sh +sin cos +sh sin sh = = Quindi il limite è c) sin sh) cos +sin5) sh) sin5) 5 = 5 ; quindi si ha d) sin sin4) ch + e) lim sin4) sin sh + cos +sin) sin sh) cos + sin5) = 5 4 sin sin4) lim ch + = 4 lim Esercizio Calcolare i seguenti limiti: a) lim sin +sh ep) ; b) lim sin + cos ep ) = 4; quindi si ha sin) = ; quindi si ha sin sh + cos + sin) = Risoluzione Gli esercizi sono risolti utilizzando il teorema f c h, g c h, c + c f + g c + c )h, senza usare dunque gli sviluppi asintotici a) sin, sh ; ep) ; quindi si ha sin +sh ep) = ; quindi si ha sin +sh lim ep) = b) sin, cos ; quindi si ha sin + cos ep ) = ; quindi si ha lim sin + cos ep ) = 4 Esercizio Calcolare i seguenti limiti: a) lim 6sh ) ch ; b) lim sin sh cos ;

69 7 LIMITI 6 c) lim sin sh cos ; sin d) lim cos ) sin Risoluzione Gli esercizi sono risolti utilizzando il teorema f c h, g c h, c + c = f g h, senza usare dunque gli sviluppi asintotici a) 6sh ) ; quindi si ha 6sh ) ; si ha ch ; quindi si ha lim 6sh ) ch = sin b) lim sh o cos lim ) = c) sin sh cos Quindi il limite è d) cos ) sin sin Quindi il limite è + 5 Esercizio Calcolare i seguenti limiti: a) lim 4 cos ) sin sh 4 sin ; b) lim sin ep ) sin ; c) lim sh cos ) sin ch ) ; d) lim cos ) sin ch ) ; e) lim cos ) sh cos ) ; f) lim ch ) sin cos ) ; g) lim sh sin sin sin ) ; h) lim ep ) sin ch ) sin ; i) lim ep ) ep + cos ) ; j) lim 4 cos ) sin sh) cos ) Risoluzione Gli esercizi sono risolti utilizzando gli sviluppi asintotici a) : sh 4 sin 6, cos = o 4 ), cos = o 4 ), cos ) = o 6 ), 4 cos ) = o 6 ), sin = 6 + o ), sin = 4 + o 4 ), sin = o 6 ),