Esercizi di Analisi Matematica

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 00/ Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica e TWM Esercizi di Analisi Matematica Esercizi sul primo semestre del corso Risolvere le disequazioni razionali seguenti: < > < Risolvere le disequazioni con valori assoluti seguenti: < < < < > > > Studiare il segno delle espressioni seguenti cioè dire per quali sono positive negative nulle: Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: { + > 0 3 < 0 { > 0 { < < 4 + < < < 0 + > < 5 Dimostrare che la disuguaglianza n! 3 n è induttiva ereditaria almeno per n Per quali n è vera?

2 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 6 Dimostrare che 4 5 n 5 4 n per n Verificato poi che n n > 4 5 n 5 4 n > 3 n n dimostrare che n + 5 n 3 n + 4 n n Per il passo induttivo sommare membro a membro con n n 3 n n 7 Dimostrare che n! > 4 n n!n! per n 8 Dimostrare che 5 n n n per n Moltiplicare membro a membro per 5 n + /n che è vera per 9 Dimostrare che per n nn n 3 = 0 Dimostrare che per ogni n n n = + n n+ Trovare massimo e minimo dei seguenti insiemi finiti di numeri reali: { } { { π 3 } } π + Trovare massimo minimo quando ci sono ed estremo inferiore e superiore degli insiemi di numeri reali seguenti: Q {n n Z n 0} {/n n N n } [ 5 + ] { R < 0 { } { < } R + 0 R } 0 { R } { n } n N n n 3 Risolvere le seguenti disequazioni: ma{ } < ma{ } > min{ } 0 min{ } < ma{ + } min { 3 } <

3 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 4 Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali: + < > < > < 0 3 < 4 8 { + 8 < Sapendo che le funzioni costanti sono continue e che la funzione è continua cioè tende a 0 per 0 tende a + per + e tende a per e usando le regole su somma prodotto e quoziente dei iti calcolare i iti seguenti Sapendo che la radice quadrata è continua e che tende a + per + calcolare i iti seguenti:

4 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ Ricordando che seno e coseno sono sempre compresi fra e e usando il teorema del confronto calcolare i iti seguenti: + cos cos sen cos + cos3 + cos 4 + sen sen + + sen + sen 8 Ricordando che seno e coseno sono continui che sen / e cos / / per 0 più la regola del cambio di variabile prodotti notevoli scomposizioni in fattori calcolare i seguenti iti: 0 sen tan 0 0 sen π + sen cos sen 0 0 sen sen sen + sen + cos cos cos sen cos 0 sen cos 3 0 cos + cos 3 9 Ricordando la continuità e i iti agli estremi delle funzioni esponenziali e logaritmiche e i iti di a / n e ln a / per + oltre alle regole già viste prima calcolare i seguenti iti: sen log

5 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ / 0 / log + + log log log / 0 log 33 log log + log log log + log log log log log 0 + / log Esercizi di ricapitolazione: / log + 3 cos 3 + sen / 0 / + +sen + sen sensen cossen 0 0 cos sen 0 cos 0 sen cos sen sen cos log cos + log + cos cos cos sen cos 0 + sen 0 sen 0 sen Esercizi del 6 marzo 0 Dimostrare che la somma di due funzioni strettamente o debolmente crescenti è crescente E la somma di due funzioni decrescenti? E la somma di una funzione crescente con una decrescente? Dimostrare che il prodotto di due funzioni positive crescenti è crescente E il prodotto di due funzioni negative crescenti? Lo stesso per due funzioni positive decrescenti o negative decrescenti E il prodotto di due funzioni crescenti che cambiano segno? 3 Verificare che per ogni y 0 con y si ha y = y/ + y Dedurre che la funzione f := è strettamente crescente su [0 + ] 4 Consideriamo la funzione f := 3 / + Verificare che per ogni y R si ha f fy = + y + + y + y + + y y Dedurre che la funzione f è strettamente crescente su R 5

6 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 5 Dando per noto che la successione a n := +/n n è crescente e tende ad e dimostrare che anche c n := + n n è crescente e trovarne il ite osservare che c n = a n Similmente per d n := + 3n n 6 Avanzato Ricalcando la dimostrazione che la successione a n := +/n n è crescente dimostrare che anche c n := + /n n è crescente Dimostrare poi che c n tende a e Per il calcolo del ite osservare che c n = a n Dare per noti la continuità di esponenziale e logaritmo nonché i iti di +/ per ± ; di + / ln + / e / per 0; di n! n!/a n per n + 7 Calcolare i seguenti iti usando per esempio la formula a b = e b ln a : 0 + sen 0 / + n + n + n n + n + n + n + n + 3 n/ n + 3 n/ n + 3 n/ n + n + n + n + n + n + / lne + ln e + / + + / / / / cos cos cos sen e + e / sen + 3 / ln+ e + sen / Avanzato Calcolare i iti seguenti: Avanzato Calcolare i iti seguenti: Giustificare le disuguaglianze e dedurne che n n n! = n n n 3 n n n n n = n n n n + n! = + cioè che n n va all infinito più velocemente del fattoriale 3 Avanzato Con una variante del metodo dell esercizio precedente dimostrare che n + n n n +! = + 6

7 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 3 Calcolare n + n n n + n + n! + ln n n + n n n + n + e n n! 33 Studiare monotonia e ite della successione ricorsiva a 0 = 0 a = 0 a n+ = a n+ + a n nonché della successione dei rapporti b n = a n+ /a n n /n n dove n k = n!/k!n k! è il coefficiente binomiale Mostrare che vale la relazione ricorsiva 34 Avanzato Consideriamo la successione a n = n a n+ = Studiare monotonia e ite della successione 4n + n + + n a n n Esercizi del aprile 0 35 Consideriamo le funzioni sen / sen cos log / e / e / e altre inventate sul momento per 0 Dire quali di queste sono infinitesime o infinite e metterle in ordine di infinito o infinitesimo crescente Scrivere tutte le possibili notazioni di Landau che valgono fra queste funzioni 36 Consideriamo le funzioni + sen / cos log log/ / e e + e altre inventate sul momento per + Dire quali di queste sono infinitesime o infinite e metterle in ordine di infinito o infinitesimo crescente Scrivere tutte le possibili notazioni di Landau che valgono fra queste funzioni 37 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f + sia per che per + Dimostrare che f ha almeno uno zero 38 Avanzato Considerare la funzione f := 3 su [a b] = [0 ] e siano [a n b n ] gli intervallini prodotti dal metodo di bisezione del teorema dell esistenza degli zeri Calcolare esplicitamente a n b n per n da a 3 Mostrare per induzione che a n e b n sono tutte frazioni con denominatore una potenza di Dedurre che la bisezione non termina in un numero finito di passi 39 Avanzato Considerare la funzione cos sull intervallo [0 3π] Siano [a n b n ] gli intervallini prodotti dal metodo di bisezione del teorema dell esistenza degli zeri A cosa tendono a n e b n per n +? 7

8 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ Esercizi del 7 aprile 0 40 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che esistano finiti + f e f Dimostrare che f è itata Ha necessariamente punti di massimo o minimo globale? 4 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f > 0 per ogni R e supponiamo che f 0 sia per che per + Dimostrare che esiste almeno un punto di massimo globale per f 4 Avanzato Sia f: R R una funzione continua per la quale i iti per + e per esistono finiti e coincidono Dimostrare che almeno uno fra il sup R f e l inf R f è un valore assunto da f 43 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f + sia per + che per Dimostrare che esiste almeno un punto di minimo globale per f e che ogni valore maggiore del valore minimo viene assunto in almeno due punti distinti 44 Avanzato Verificare che vale l uguaglianza 3 a 3 b 3 = a b 4 b + a + b Dedurne che a 3 b 3 e a b hanno sempre lo stesso segno Dimostrare quindi che la funzione f := 3 + è strettamente crescente su tutto R Mostrare anche che fr = R che f è invertibile e che l inversa è continua Usare il teorema dei valori intermedi e il teorema sull invertibilità 45 Calcolare la derivata della funzione f := nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 46 Calcolare la derivata della funzione f := / + nel punto 0 = usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Lo stesso per la derivata nel punto generico 0 Scrivere l equazione della retta tangente nel punto 0 = 47 Calcolare la derivata della funzione f := nel punto generico 0 > 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 48 Calcolare la derivata della funzione f := log3 nel punto generico 0 > /3 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 8

9 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 49 Calcolare la derivata della funzione f := 3 nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Si ricordi che si parla di funzione derivabile quando la derivata esiste finita Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = Ricordare il prodotto notevole a ba + ab + b = 50 Calcolare la derivata della funzione f := 3 sen nel punto generico 0 per il quale sen 0 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = π/3 5 Avanzato Calcolare la derivata della funzione f := nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 5 Calcolare le derivate nel punto generico delle funzioni seguenti: sen e + cos cos ln sen ln e cos + sen + sen ln cos + sen e 5 cos 5 + cos π tan + e 5 sen cos 3 sen + e + ln + tan + + ln sen + e + e + sen 53 Calcolare la derivata delle seguenti somme di funzioni specificando su quale dominio siano definite: f = sen +3 arctan f = 4 +arcsen f 3 = log cos + 54 Calcolare la derivata dei seguenti prodotti di funzioni specificando su quale dominio siano definite: f 4 = 3/ log f 5 = sen cos f 6 = e 3 f 7 = 3 sen log f 8 = log arctan f 9 = 5 arcsen cos 55 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni specificando su quale dominio siano definite: f 0 = 3 f = arcsen f = + cos 9

10 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 56 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni razionali specificando dove fattibile su quale dominio siano definite: f 3 = f 4 = f 5 = f 6 = + + f 7 = Calcolare la derivata delle seguenti funzioni composte specificando su quale dominio siano definite: f 8 = 3 + f 9 = + f 0 = log 3 f = 5 log 3 f = arctane + f 3 = 3+sen f 4 = arcsen 3 f 5 = senlog3 + 5 f 6 = e3+ sen Calcolare la derivata delle seguenti funzioni forma esponenziale specificando su quale dominio siano definite: f 7 = arctan f 8 = sen + f 9 = f30 = logarctan / + 3 Esercizi del 7 maggio 0 59 Avanzato Sia f: [a b] R derivabile e supponiamo che f a ed f b siano di segno opposto Dimostrare che esiste c [a b] tale che f c = 0 Applicare il teorema del massimo/minimo di Weierstrass 60 Avanzato Sia I un intervallo e f: I R una funzione non monotona Dimostrare che in I esistono tre punti < < 3 tali che f non è compreso fra f e f cioè è maggiore o minore di entrambi Dimostrare poi che se f è anche derivabile allora la derivata si annulla in almeno un punto 6 Delle seguenti funizioni trovare il dominio di definizione studiare il segno della derivata e dedurne gli intervalli di crescenza/decrescenza e i punti di massimo/minimo locali e globali: log log log + log + arctan + arcsen arctan arcsen + arccos arctan loglog e +3 0

11 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 6 Calcolare i seguenti iti usando eventualmente la regola de L Hôpital se ritenuto lecito e opportuno: 0 log + log + π arctan 0 sen e + sen π arcsen π arcsen e sen 3 + log tan 0 0 cos log + + log e / + + sen arcsen e sen 3 + sen log9 + + loge + sen tan 5 e 4 cos + sen e sen log log cossen 0 cos 63 Consideriamo il ite e e + e e È una forma indeterminata? Applicando la regola de L Hôpital ripetutamente più volte si arriva prima o poi a una forma non indeterminata? C è un altra via per calcolare il ite? 64 Delle seguenti funzioni studiare il segno della derivata seconda e dedurne gli intervalli di convessità/concavità e i punti di flesso: log log log + arcsen arctan arcsen loglog e Studiare le seguenti funzioni dagli appelli estivi 004 e 005: log ln

12 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ Esercizi del 7 giugno 0 66 Trovare primitive delle seguenti funzioni cioè funzioni le cui derivate siano le funzioni date: f = f = f 3 = sen 3 cos f 4 = f 5 = 5 + cos f 6 = f 7 = f 8 = 5 cos 3 cos f 9 = 5 cos + 5 f 0 = +4 sen f = 3 f = Trovare primitive delle seguenti funzioni: f 3 = f 4 = cos3 + 4 f 5 = 5e 5 f 6 = 3 sen cos 3 f 7 = f 8 = f 9 = cos f 0 = 3 4 f = cos sen f = 4 f 3 = f 4 = arctan Trovare primitive delle seguenti funzioni utilizzando il metodo per parti: f 5 = e f 6 = log4 f 7 = e f 8 = e sen f 9 = arctan f 30 = 3 + cos f 3 = log f 3 = log f 33 = e 3 sen 69 Calcolare i seguenti integrali utilizzando la sostituzione suggerita: d = t d = t d = t 3 e d = log t + e arcsen d = sen t

13 Analisi Matematica Esercizi AA 00/ 70 Trovare l integrale indefinito delle seguenti funzioni razionali: f = 3 5 f = 7 f 3 = f 5 = f 8 = + f 6 = + + f 9 = f 7 = 3 + f 0 = f 4 = f = 3 + f = f 3 = f = f = f 3 = 3 7 Calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni mediante la sostituzione t = e f 7 = 3e e 3e + f 8 = e + e e + 7 Avanzato Ricordando le formule utilizzare la sostituzione sen = tan + tan cos = tan + tan = arctan t ovvero t = tan per calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni: f 4 = sen f 5 = f 6 = cos + sen + sen 5 cos + 73 Avanzato Ricordando le formule utilizzare la sostituzione sen = tan + tan cos = = arctan t ovvero t = tan per calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni: f 7 = + sen f 8 = + tan sen 4 cos 3