Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 2007 Tema A

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1 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 7 Tema A Cognome e Nome Matr... Disegnare un grafico approssimativo della funzione f() log( ). Indicare sul grafico dove si annulla la funzione e i suoi limiti ai bordi dell insieme di definizione. Non è necessario e non è richiesto lo studio della funzione. Svolgimento: log( ) Si tratta di una semplice modifica del grafico della funzione log. È il simmetrico di tale grafico rispetto all asse verticale. La funzione si annulla per. Il dominio di definizione è ( ;) con limite + per e limite per Calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo del numero complesso z +i i + + i Svolgimento: z + i i + i + i i ( + i)( + i) ( i)( + i) i i + i + 5 La parte reale di z è quindi 9, la sua parte immaginaria è e quindi il suo modulo è (9 ) z + ( ) 9. ( ).. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f() arctan +log nel punto di ascissa. Svolgimento: La funzione è derivabile nel punto quindi un equazione della sua retta tangente in quel punto è y f( ) + f ( )( ) f() + f ()( ). Abbiamo ( ) ( ) + log + f() arctan arctan arctan π. Inoltre per ogni dell insieme di definizione, cioè (;+ ), si ha Quindi si ha f (). ( + log ) log ( ) + +log + ( + log ) + log + ( + log ). da cui segue che un equazione della retta tangente è f + log () + ( + log ) y π ( ).

2 .. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale y y sin(t). Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Le soluzioni costanti sono quelle per cui y, cioè y. Le soluzioni non costanti verificano che per ogni t, y(t). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per y e otteniamo y y sin(t) dy sin(t)dt y dy sin(t)dt y y cos(t) + C y cos(t) + C y cos(t) + C con C costante reale con C C. L integrale generale dell equazione è quindi y o y cos(t)+c con C reale. Quest ultima è definita per t ( arccos( C) + kπ; arccos( C) + kπ) e per t ( arccos( C) + kπ; arccos( C) + (k + )π) (con k Z)..5. Stabilire se la seguente funzione ammette minimo assoluto. In caso affermativo determinare tale valore f() e. Svolgimento: Per studiare l esistenza di un eventuale minimo assoluto studiamo le sue variazioni. La funzione è definita e derivabile su tutto R. Abbiamo f () e + e ( + )e. La derivata di f ha il segno di +, quindi è negativa per < e positiva per >. Significa che f è strettamente decrescente su ( ; ) e strettamente crescente su ( ;+ ). Ammette quindi in un minimo assoluto e tale minimo vale f( ) e.

3 +.6. Stabilire il carattere della serie n! n Svolgimento: Si tratta di una serie a termini positivi. Possiamo usare il criterio del rapporto. Denotiamo u n n!, allora u n+ u n n +. (n+)! n! n!.(n+) n! Abbiamo quindi lim un+ u n lim n+. Siccome tale limite esiste ed è (strettamente) minore di, la serie converge. Per conoscenza, vale + n n! e... Dare un asintotico della funzione f() sin ( + ) per +. Svolgimento: Possiamo usare due metodi. Si ha per cui che è equivalente a + ( ) + + ( + ( )) + o + ( + + o ( )) +. ( ) + o In particolare + tende a quando tende a +. Siccome sin t t per t, abbiamo quindi sin ( + ). Abbiamo + ( + ) ( + + ) + + con l ultimo asintotico vero perché per +. Poi si finisce come sopra. ( + ) ,

4 .. Calcolare il seguente integrale + + d. Svolgimento: Si tratta di un integrale definito di una funzione fratta. Il denominatore della frazione è un trinomio del secondo ordine. Il suo discriminante è.. e i suoi zeri sono e. Quindi la frazione è definita e continua su [; ] e quindi l integrale è definito. Siccome abbiamo calcolato gli zeri del polinomio, sappiamo che + + ( + )( + ). + + d d log( + + ) ( + ) + + d ( + )( + ) d log( +. + ) log( +. + ) log 6 log + d d + + d + ( + ) ( + )( + ) d log log + log log log log log 9 8. Era possibile, anzi era anche più veloce, sviluppare subito la frazione in elementi semplici: + + ( + )( + ) a d log log( + ) + log( + ) b a( + ) + b( + ) Abbiamo quindi a + b e a + b e quindi b, cioè b e a. In definitiva Il calcolo dell integrale è allora immediato (a + b) + (a + b) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + y + Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti. Risolviamo l equazione omogenea associata: z + z. Se z è una funzione che verifica l equazione precedente, allora z + z a con a costante. Si tratta di un equazione lineare del primo ordine. La soluzione dell equazione omogenea associata a questa equazione lineare è z Be. Una soluzione particolare dell equazione del primo ordine è z a e quindi la soluzione dell equazione completa (del primo ordine) è z A + Be (con A a ) ed è anche la soluzione dell equazione omogenea del secondo ordine. Possiamo cercare una soluzione particolare dell equazione come polinomio. Siccome c è un polinomio di grado soluzione dell equazione omogenea, la soluzione deve essere cercata sotto la forma a +b. Se y a +b, allora y a+b e y a. Abbiamo allora y + y a + a + b. Per essere soluzione dell equazione dobbiamo avere a e a + b, cioè a e b. L integrale generale dell equazione è quindi y + + A + Be con A e B costanti. Nota: questa soluzione è un po originale. Per vedere delle soluzioni più classiche, guardare le soluzioni degli altri temi.

5 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 7 Tema B Cognome e Nome Matr... Disegnare un grafico approssimativo della funzione f() sin(). Indicare sul grafico dove si annulla la funzione e i valori massimi e minimi che raggiunge. Non è necessario e non è richiesto lo studio della funzione. Svolgimento: sin().5 Si tratta di una semplice modifica del grafico della funzione sin. Partendo dal grafico di sin se ne deve fare la dilatazione orizzontale.5 di fattore (quindi una contrazione) e il simmetrico di questo grafi- co contratto rispetto alla retta orizzontale y.5. La funzione si annulla quando sin, cioè quando π + kπ con k Z, cioè per π + kπ. I valori massimi -.5 e minimi sin sono e quindi i massimi e minimi di f() sono e -. π π π π π π.. Calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo del numero complesso z i +i (6 + i) Svolgimento: π π z i ( i)( i) (6 + i) (6 i) + i ( + i)( i) i i 6 + i i 6 + i + i 6 + i 5 i La parte reale di z è quindi 5, la sua parte immaginaria è e quindi il suo modulo è z ( 5) + ( ) 6. (.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f() log +tan cos sin ) nel punto di ascissa π. Svolgimento: La funzione è derivabile nel punto quindi un equazione della sua retta tangente in quel punto è y f( ) + f ( )( ) f ( ) ( )( ) π + f π + π. Abbiamo f ( π ) ( tan π ) log cos π + sin π log ( + ) ( ) log log. Ogni funzione che compone f è derivabile sul suo insieme di definizione. Quindi anche f è derivabile sul suo insieme di definizione e in particolare in π. Per ogni nell insieme di definizione di f abbiamo f () ( + tan )(cos sin ) ( + tan)( sin cos ) (cos sin) cos sin + tan cos sin + sin + cos + tan cos tan sin + tansin + sin (cos sin )( + tan) cos + sin + tan cos tan sin + tansin (cos sin)( + tan ) Quindi si ha f ( π ) e un equazione della retta tangente è y log + ( + π ).

6 .. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale y y cos(t). Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Le soluzioni costanti sono quelle per cui y, cioè y. Le soluzioni non costanti verificano che per ogni t, y(t). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per y e otteniamo y y cos(t) dy cos(t)dt y y sin(t) + C y sin(t) + C y sin(t) + C con C costante reale con C C. L integrale generale dell equazione è quindi y o y sin(t)+c con C reale. Quest ultima è definita per t ( arcsin( C) + kπ;π arcsin( C) + kπ) e per t ( π arcsin( C) + kπ; arcsin( C) + (k + )π) (con k Z)..5. Stabilire se la seguente funzione ammette un punto di flesso. In caso affermativo determinare tale punto f(). Svolgimento: Per determinare se questa funzione ammette un flesso, calcoliamo la sua derivata seconda. Abbiamo f () 6 e quindi f () 6 6 6( ). La funzione f () è del segno di, quindi è negativa per < e positiva se >. Quindi f () è definita su R e cambia segno in. La funzione f ammette quindi un punto di flesso in. Abbiamo f() e f (), quindi la curva rappresentativa di f ammette un flesso nel punto (; ) e la sua retta tangente in questo punto ha equazione y ( ).

7 +.6. Stabilire il carattere della serie n + n / n Svolgimento: Il termine generale della serie è positivo. Inoltre per ogni n vale n + n / n. Quindi il termine generale della serie è minore o uguale a n. Tale serie è una serie armonica ed è convergente perché la potenza di n è strettamente maggiore di. Quindi la serie proposta è convergente... Dare un asintotico della funzione f() log( + e ) per +. Svolgimento: Abbiamo f() log( + e ) log( + e ) log e ( ) + e log log(e + ) e Per +, abbiamo e. Siccome log( + t) t per t, abbiamo f() log(e + ) e per +.

8 .. Calcolare il seguente integrale + + d Svolgimento: Si tratta di un integrale definito di una funzione fratta. Il denominatore è un trinomio del secondo ordine. Il suo discriminante è.. 6. Le sue soluzioni sono e +. In particolare il denominatore non si annulla tra e, quindi l integrale è definito. Abbiamo inoltre + + ( + )( + ). Decomponiamo la frazione in elementi semplici. + + ( + )( + ) a + + b + a( + ) + b( + ) ( + )( + ) (a + b) + (a + b) + + Quindi abbiamo a + b e a + b, facendo la differenza viene a e quindi a e quindi b. Segue L integrale è quindi d + d + d log( + ) log( + ) log 5 log log + log log 5 log log + log log 5 log log log 5... Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + y + y + 8 Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Risolviamo l equazione omogenea associata: z + z + z. L equazione caratteristica di quest ultima è λ +λ+. Questa ha una soluzione doppia λ e quindi l integrale generale dell equazione omogenea è z (C + C )e. Il termine noto dell equazione completa è un polinomio. Siccome non è soluzione dell equazione caratteristica, possiamo cercare una soluzione dell equazione completa sotto la forma y a +b+c, cioè un polinomio dello stesso grado. Abbiamo allora y a + b e y a. Quindi y + y + y a + (8a + b) + (a + b + c). Segue che y è soluzione dell equazione completa se e solo se a 8, 8a + b e a + b + c. Dalla prima ricaviamo a, quindi dalla seconda b e quindi dalla terza c. L integrale generale dell equazione differenziale è la somma di una soluzione particolare e dell integrale generale dell equazione omogenea associata. L integrale generale è quindi: y + + (C + C )e.

9 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 7 Tema C Cognome e Nome Matr... Disegnare un grafico approssimativo della funzione f() arctan( ). Indicare sul grafico dove si annulla la funzione e i suoi limiti ai bordi dell insieme di definizione. Non è necessario e non è richiesto lo studio della funzione. Svolgimento: arctan( ) Si tratta di una semplice modifica del grafico della funzione arctan. Partendo dal grafico di arctan se ne deve fare la dilatazione verticale di fattore e il simmetrico di questo grafico dilatato rispetto all asse verticale. La funzione si annulla quando, cioè quan- - do. Il limite per + è - il doppio del limite di arctant per t, cioè π. Nello stesso - modo, il limite per è π Calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo del numero complesso z 5i i + Im( + i) Svolgimento: z 5i i + Im( + i) ( 5i)( + i) ( i)( + i) + + i 5i 5i + 6 i + + i + 5 i La parte reale di z è quindi 5, la sua parte immaginaria è e quindi il suo modulo è z 5 + ( ) 9. ( ).. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f() arctan +log nel punto di ascissa. Svolgimento: La funzione è derivabile nel punto quindi un equazione della sua retta tangente in quel punto è y f( ) + f ( )( ) f() + f ()( ). Abbiamo ( f() arctan + log ) arctan ( ) arctan π +. Ogni funzione che compone f è derivabile sul suo insieme di definizione. Quindi anche f è derivabile sul suo insieme di definizione e in particolare in. Per ogni nell insieme di definizione di f abbiamo Quindi si ha f () f () ( + log ) ( + log ) + log ( + log ) + ( ) + log ( + log ) + ( + +log + log (+log ) + e un equazione della retta tangente è y π + ( ). )

10 .. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale y y e t. Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Le soluzioni costanti sono quelle per cui y, cioè y. Le soluzioni non costanti verificano che per ogni t, y(t). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per y e otteniamo y y e t y dy e t dt y dy e t dt y e t + C y e t + C con C costante reale L integrale generale dell equazione è quindi y o y e t +C con C reale. Quest ultima è definita su R se C e su uno degli intervalli ( ; log( C)) e ( log( C);+ ) se C <..5. Stabilire se la seguente funzione ammette un punto di flesso. In caso affermativo determinare tale punto f(). Svolgimento: Per determinare se questa funzione ammette un flesso, calcoliamo la sua derivata seconda. Abbiamo f () e quindi f () 6. La funzione f () è del segno di, quindi è positiva per < e negativa se >. Quindi f () è definita su R e cambia segno in. La funzione f ammette quindi un punto di flesso in. Abbiamo f() e f (), quindi la curva rappresentativa di f ammette un flesso nel punto (;) e la sua retta tangente in questo punto ha equazione y.

11 +.6. Stabilire il carattere della serie n n Svolgimento: È una serie a termini positivi. Possiamo usare il criterio del rapporto per determinare se converge. Poniamo u n n. Allora u n+ u n n+ n n n+ n Siccome lim n +, il limite del rapporto un+ u n è <. La serie è quindi convergente. Un altra possibilità era di procedere tramite asintotico: il termine generale della serie è asintotico a ( n ) che è il n termine generale di una serie geometrica convergente (perché di ragione ( ;)). Siccome la serie di partenza è a termini positivi, ha lo stesso carattere di questa serie ed è quindi convergente. Attenzione: la somma della serie n è strettamente maggiore di perché ciascuno dei termini della n n n prima serie è maggiore di ciascuno dei termini della seconda. n... Dare un asintotico della funzione f() log( + ) log ( + + ) per +. Svolgimento: Abbiamo f() log( + ) log ( + ) + log log + + log log Siccome tende a +, abbiamo lim e quindi sia il numeratore che il denominatore della frazione tendono ad. La funzione log t è continua in t quindi il limite di f() è. Inoltre sappiamo che log t (t ) per t, quindi f() Abbiamo Sappiamo che + t t+o(t) quando t, da cui + +o ( ), quindi f() +o( ). Quando moltiplichiamo il termine di destra da, rimane + + o( ) che tende a. Quindi f().

12 .. Calcolare il seguente integrale e d. Svolgimento: Si tratta dell integrale di una funzione prodotto di un polinomio per un esponenziale. Cominciamo per calcolare una primitiva della funzione e. Usiamo l integrazione per parti (due volte), integrando l esponenziale e derivando il polinomio: e d e L integrale definito è allora immediato: e d e e d ( e e ) e d e (e e + C) ( + )e C e d [( + )e ] ( + )e ( + )e e... Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + y + y e Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Risolviamo l equazione omogenea associata: z + z + z. L equazione caratteristica di quest ultima è λ + λ +. Questa ha due soluzioni reali distinte λ e λ e quindi l integrale generale dell equazione omogenea è z C e + C e. Il termine noto dell equazione completa è il prodotto di un polinomio per e. Siccome è soluzione dell equazione caratteristica, possiamo cercare una soluzione dell equazione completa sotto la forma y ae. Abbiamo allora y ae + ae a( )e e y a( )e ae a( )e. Quindi y + y + y a( )e ae. Segue che y è soluzione dell equazione completa se e solo se a, cioè a. L integrale generale dell equazione differenziale è la somma di una soluzione particolare e dell integrale generale dell equazione omogenea associata. L integrale generale è quindi: y e + C e + C e.

13 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 7 Tema D Cognome e Nome Matr... Disegnare un grafico approssimativo della funzione f() e. Indicare sul grafico dove si annulla la funzione e i suoi limiti ai bordi dell insieme di definizione. Non è necessario e non è richiesto lo studio della funzione. Svolgimento: e Si tratta di una semplice modifica del grafico della funzione e. Partendo dal grafico di e se ne deve fare la simmetria rispetto all asse verticale poi rispetto all asse orizzontale y - (oppure, è la stessa cosa, farne la simmetria centrale rispetto al punto ( ; )). La - funzione si annulla quando e, cioè quando. Siccome il limite di e t per t è, il limite - di f() per + è. Siccome - il limite di e t per t + è +, il limite di f() per è Calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo del numero complesso z i +i + Re Svolgimento: Cominciamo per calcolare la parte reale di Quindi Re i. Allora i + i ( i)( + i) + i + + i. z i + i + ( i)( i) ( + i)( i) + i i + i + + i + i La parte reale di z è quindi Rez, la sua parte immaginaria Imz e il suo modulo z ( ) + ( ) 5 5. i ( ) +tan.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f() log cos +sin nel punto di ascissa π. Svolgimento: La funzione è derivabile nel punto quindi un equazione della sua retta tangente in quel punto è y f( ) + f ( )( ) f ( ) ( )( ) π + f π π. Abbiamo ( π ) ( + tan π ) ( ) ( ) + ( ) f log cos π + sin π log + log log log. Ogni funzione che compone f è derivabile sul suo insieme di definizione. Quindi anche f è derivabile sul suo insieme di definizione e in particolare in π. Per ogni nell insieme di definizione di f abbiamo f () ( + tan )(cos + sin ) ( + tan)( sin + cos ) (cos + sin) cos + sin + tan cos + sin + sin cos + tan cos + tan sin + tansin sin (cos + sin )( + tan) sin + tan cos + tan sin + tan sin (cos + sin)( + tan ) Quindi si ha f ( ) π e un equazione della retta tangente è y log + ( π ).

14 .. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale y y e t. Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Le soluzioni costanti sono quelle per cui y, cioè y. Le soluzioni non costanti verificano che per ogni t, y(t). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per y e otteniamo y y et y dy et dt y et + C y e t + C con C costante reale con C C. L integrale generale dell equazione è quindi y o y e t +C con C reale. Quest ultima è definita su R se C e su uno degli intervalli ( ; log( C)) e ( log( C);+ ) se C <..5. Stabilire se la seguente funzione ammette massimo assoluto. In caso affermativo determinare tale valore f() e e. Svolgimento: Per determinare se questa funzione ammette un massimo assoluto, studiamo le sue variazioni. Questa funzione è una somma di due esponenziali quindi è derivabile su tutto R. Abbiamo per ogni in R f () e e ( e )e La funzione f () è del segno di e, quindi è positiva per < log log e negativa se > log. Quindi f cresce su ( ; log ) e decresce su ( log ;+ ). La funzione f ammette quindi un massimo assoluto in log, tale massimo è f( ).

15 + ( ) n.6. Stabilire il carattere della serie log n n Svolgimento: Per n abbiamo log n log >. Quindi la serie è a termini alterni. La funzione logaritmo è crescente, quindi la successione log n Leibniz, possiamo dedurre che la successione è convergente. è decrescente. Inoltre lim log n + e quindi lim. Dal criterio di log n.. Dare un asintotico della funzione f() + per +. Svolgimento: Abbiamo f() + ( + )( + + ) ( ) + ( + + ) + + Quando +, la quantità tende a. Quindi la prima frazione tende a + + e quindi f() è asintotica a.

16 .. Calcolare il seguente integrale ( )e d. Svolgimento: Si tratta dell integrale del prodotto di un polinomio per un esponenziale. Usiamo l integrazione per parti, integrando l esponenziale e derivando il polinomio. ( )e d [ ] ( )e e + + [e ] e e e d.( ).e d + e e.. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + y e. Svolgimento: Si tratta di un equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Risolviamo l equazione omogenea associata: z + z. L equazione caratteristica di quest ultima è λ +. Questa ha due soluzioni complesse λ i e λ i e quindi l integrale generale dell equazione omogenea è z C cos + C sin. Il termine noto dell equazione completa è il prodotto di un polinomio per e. Siccome non è soluzione dell equazione caratteristica, possiamo cercare una soluzione dell equazione completa sotto la forma y (a+b)e, cioè un polinomio dello stesso grado per la stessa esponenziale. Abbiamo allora y (a + b)e + ae (a + a + b)e e y (a + a + b)e + ae (a + a + b)e. Quindi y + y (a + a + b)e. Segue che y è soluzione dell equazione completa se e solo se a e a + b. Dalla prima si deduce che a e dalla seconda che b. L integrale generale dell equazione differenziale è la somma di una soluzione particolare e dell integrale generale dell equazione omogenea associata. L integrale generale è quindi: y ( )e + C cos + C sin.