Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Secondo compitino e primo appello, 12 gennaio 2017 Testi 1

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1 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi Prima parte, gruppo.. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin(e ).. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( 3 ) sin(6). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 3 risolve l equazione differenziale ẍ = 4 /3. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio + n= + sin a + 3 n n + 4 n. converge ad un numero finito. 7. Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che 4 y arctan( ). Prima parte, gruppo. (. Determinare l insieme di definizione della funzione arctan e. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( ) log( + 4 ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 4 risolve l equazione differenziale ẍ = 4 /. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio + n= n n. n! ). a + converge ad un numero finito Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione 4 arctan( ). Prima parte, gruppo 3.. Determinare l insieme di definizione della funzione arccos(e 4 ).. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( 4 ) cos( ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) risolve l equazione differenziale ẍ = 6.

2 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( sin(e 3t ); cos(e 3t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio + n= n n + 4 n. a + converge ad un numero finito Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che ( ) y arctan ( ). Prima parte, gruppo 4.. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin( e 4 ).. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + 3 ) sin(6). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 3 risolve l equazione differenziale ẍ = 3 /3. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio 3 + sin a n= 4 n n + n. converge ad un numero finito. 7. Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione 4 arctan( ). Prima parte, gruppo 5. (. Determinare l insieme di definizione della funzione arctan e 3. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + ) log( + 4 ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 4 risolve l equazione differenziale ẍ = 3 /. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze + n= n! n n. ).

3 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 3 6. Dire per quali a > l integrale improprio a converge ad un numero finito. + a 7. Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che y 4 e y arctan( ). Prima parte, gruppo 6.. Determinare l insieme di definizione della funzione arccos( e ).. Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + 4 ) cos( ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) risolve l equazione differenziale ẍ =. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( sin(e 3t ); cos(e 3t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio + n= (3 n + n 3 ) n. converge ad un numero finito. ( sin ) a 7. Trovale la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione ( ) arctan ( ). Seconda parte, gruppo. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a per.. a) Dire se la disequazione ep( ) 6/3 vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. ẍ aẋ + 4 = 8t + 4e t. (*) c) Per ogni a >, trovare una soluzione di (*) che tende a + per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+4. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f().

4 4 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). 5. Sia A l insieme dei punti (, y) tali che y e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione y =. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a 4 per.. a) Dire se la disequazione ep( 4 ) / vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( 4 ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a 3. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 3. ẍ aẋ + 9 = 9t + 6e 3t. (*) c) Per ogni a > 3, trovare una soluzione di (*) che tende a + per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+4. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). 5. Sia A l insieme dei punti (, y) tali che y e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione y = 3. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo 3. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a per.. a) Dire se la disequazione ep( ) / vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( ) a per ogni >.

5 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 5 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. ẍ aẋ + 4 = 4t 4e t. (*) c) Per ogni a >, trovare una soluzione di (*) che tende a per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). 5. Sia A l insieme dei punti (, y) tali che y e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione y =. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo 4. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a 4 per.. a) Dire se la disequazione ep( 4 ) vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( 4 ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a 3. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 3. ẍ aẋ + 9 = 7 t 6e 3t. (*) c) Per ogni a > 3, trovare una soluzione di (*) che tende a per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f(). 5. Sia A l insieme dei punti (, y) tali che y e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione y = 3. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V.

6 6 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni Prima parte, gruppo.. Deve essere e, ovvero log 3,. f() = O( 6 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità 6a ( + at) = 4 ( + at) che è verificata per a = ±. 4. La velocità è v(t) = ( 4e t sin(e t ); 4e t cos(e t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R =. v(t) dt = e. 6. L integrale in questione si comporta come Quindi converge per a > 3. per a 3 e come per a >. a 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = tan ( e t (t ) e ). 8. y π/ y= 4 A π/ y= arctan( ) Prima parte, gruppo.. Deve essere e, ovvero log,. f() = O( 6 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità a ( + at) = 4 ( + at) che è verificata per a = ±. 4. La velocità è v(t) = ( e t sin(e t ); e t cos(e t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R = L integrale si comporta come v(t) dt = e. a a, e siccome converge per ogni a >. 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = tan ( e t e 4). 8. y π/ y= 4 soluzioni y= arctan( )

7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni 7 Prima parte, gruppo 3.. Deve essere e 4, ovvero log 3 4,. f() = O( 8 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità 6a ( + at) 4 = 6( + at) 4 che è verificata per a = ±. 4. La velocità è v(t) = ( 6e 3t cos(e 3t ); 6e 3t sin(e 3t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R = L integrale in questione si comporta come v(t) dt = e 3. (a/) e quindi converge per < a <. 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = ep ( e t (t ) e ). 8. y y=/( ) π/ A y=arctan( ) A Prima parte, gruppo 4.. Deve essere e 4, ovvero log 3 4,. f() = O( 6 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità 6a ( + at) = 3( + at) che è verificata per a = ±/. 4. La velocità è v(t) = ( e t sin(e t ); e t cos(e t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R = /. v(t) dt = e. 6. L integrale in questione si comporta come Quindi converge per < a <. per a 4 e come per a < 4. a 3 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = ep ( e t e 4). 8. y π/ y= 4 soluzioni soluzioni π/ y= arctan( )

8 8 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni Prima parte, gruppo 5.. Deve essere e 3, ovvero log 3,. f() = O( 6 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità a ( + at) = 3( + at) che è verificata per a = ±/. 4. La velocità è v(t) = ( e t sin(e t ); e t cos(e t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R =. 6. L integrale in questione si comporta come 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = 8. y π/ y= 4 v(t) dt = e. e quindi converge per < a < 4. a 3 e t (t ). A y= arctan( ) Prima parte, gruppo 6.. Deve essere e, ovvero log 3,. f() = 4 + O( 8 ). 3. Sostituendo la formula per nell equazione si ottiene l identità 6a ( + at) 4 = ( + at) 4 che è verificata per a = ±. 4. La velocità è v(t) = ( 3e 3t cos(e 3t ); 3e 3t sin(e 3t ) ). La distanza è d = 5. Il raggio di convergenza è R = /3. 6. L integrale in questione si comporta come 7. Equazione a variabili separabili. La soluzione cercata è (t) = 8. π/ y y=/( ) v(t) dt = e 3. e quindi converge per < a < /3. 3a e t. soluzioni soluzioni y=arctan( )

9 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni 9 Seconda parte, gruppo.. a) Scriviamo la funzione f nella forma f() := ( cos( ) ) / = ep ( log ( cos( ) ) ). Utilizzando lo sviluppo cos t = t / + O(t 4 ) con t = otteniamo cos( ) = 4 + O( 8 ). Utilizzando quindi lo sviluppo log( + t) = t + O(t ) con t = 4 + O( 8 ) otteniamo log ( cos( ) ) = log( 4 + O( 8 )) = 4 + O( 8 ) + O(( 4 ) ) = 4 + O( 8 ), e dunque log ( cos( ) ) = + O( 6 ). Infine, usando lo sviluppo e t = + t + O(t ) con t = + O( 6 ) otteniamo ( ep log ( cos( ) )) = ep ( + O( 6 ) ) da cui segue f() = + O( 4 ) e quindi b) Usando la formula () otteniamo = + O( 6 ) + O ( ( ) ) = + O( 4 ), () p.p.(f()) =. () p.p. ( f() a ) = ( a) per ogni a. Per a = dobbiamo invece usare uno sviluppo più preciso di f. Per ottenerlo, procediamo come prima utilizzando però lo sviluppo e t = + t + t / + O(t 3 ) al posto di e t = + t + O(t ) nella formula (): ( ep log ( cos( ) )) = ep ( + O( 6 ) ) = + O( 6 ) + ( + O( 6 ) ) ( + O ( ) 3) = O( 6 ). (Che per ottenere uno sviluppo più preciso di f basti rendere più preciso solo lo sviluppo dell esponenziale, e non quello del coseno e del logaritmo, non è per nulla evidente e anzi può sembrare sbagliato; solo controllando con cura i resti ci si rende conto che è corretto.) Dalla formula precedente si ottiene infine f() + = 4 + O( 6 ) e quindi p.p. ( f() + ) = 4.. Risolvo direttamente il punto b). Per iniziare, riscrivo la disequazione ep( ) a per ogni > nella forma a log per ogni >. Osservo adesso che questa disequazione è automaticamente verificata per perché per tali il logaritmo è negativo (mentre è positivo). La domanda diventa quindi: per quali a > vale che a log per ogni >, ovvero a per ogni >? log (Ho diviso per log, che è positivo per >, e quindi la disequazione non cambia.) Ponendo f() := / log si vede che quest ultima disequazione vale se e solo se min f() a. >

10 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni (E come al solito, se il minimo non esistesse andrebbe sostituito dall estremo inferiore.) Per calcolare il minimo di f studio il segno della derivata f ( log ) () = log, ottenendo che f decresce nell intervallo (, e] e cresce nella semiretta [ e, + ). Pertanto e è il punto di minimo assoluto di f relativamente alla semiretta (, + ), e quindi min f() = f( e) = e, > e in particolare i valori di a cercati sono quelli tali che a e. Come conseseguenza dell analisi appena fatta otteniamo infine la risposta alla domanda a): siccome 6/3 < e, la disequazione ep( ) 6/3 è verificata per ogni >. 3. a), b). La soluzione dell equazione generale differenziale lineare (*) può essere ottenuta tramite la formula = om + + dove om è la soluzione generale dell equazione omogenea associata, vale a dire ẍ aẋ + 4 =, (3) mentre e sono rispettivamente soluzioni particolari delle equazioni non omogenee ẍ aẋ + 4 = 8t, (4) ẍ aẋ + 4 = 4e t. (5) Calcolo di om. L equazione caratteristica associata alla (3) è λ aλ + 4 =, e le soluzioni sono λ = a + a 4, λ = a a 4 ; in particolare il discriminante è positivo per a >, nullo per a = e negativo per < a <. Pertanto c e λt + c e λt per a >, om (t) = e t (c + c t) per a =, e at (c cos(ωt) + c sin(ωt)) per < a <, dove ω := a 4 e c, c sono numeri reali qualunque. Calcolo di. Poiché il termine noto della (4) è un polinomio di primo grado, cerco tra i polinomi di primo grado, cioè della forma = b t + b. Sostituendo questa espressione nella (4) otteniamo (4b 8)t + (4b ab ) =, e questa identità è soddisfatta per ogni t se i coefficienti 4b 8 e 4b ab sono entrambi nulli, ovvero se b = e b = a; la soluzione cercata è quindi = t + a. Calcolo di per a. Poiché il termine noto della (5) è un multiplo di e t, e questa funzione non risolve l equazione omogenea (3), cerco tra i multipli di e t, cioè della forma = be t. Sostituendo questa espressione nella (4) otteniamo l identità (8 4a)be t = 4e t, che è soddisfatta se (8 4a)b = 4, ovvero se b = /( a); la soluzione cercata è quindi = et a per a. Calcolo di per a =. In questo caso sia e t che te t risolvono l equazione omogenea (3), e quindi cerco della forma = bt e t. Sostituendo questa espressione nella (4) otteniamo l identità be t = 4e t 4, che è soddisfatta per b = ; la soluzione cercata è quindi = t e t per a =. c) Per quanto visto sopra, per a > la soluzione generale della (*) è (t) = c e λt + c e λt + t + + et a.

11 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni Osserviamo ora che λ > λ e λ > a >, quindi tutti gli addendi alla destra dell uguale nell equazione precedente (tranne il primo, ovviamente) sono trascurabili rispetto a e λt per t + ; pertanto da cui segue che lim (t) = t + (t) c e λt se c, lim c e λt = t + { + se c >, se c <. In particolare la soluzione (t) tende a + se c > (qualunque sia c ). 4. a) Osserviamo che la funzione f() è ben definita, positiva e continua per >, ma non è definita per = ; quindi l integrale da studiare è improprio semplice in ed ammette solo due comportamenti: o converge a un numero finito (positivo), oppure diverge a +. Per capire quale dei due casi si verifica, studio il comportamento asintotico di f() per. Usando lo sviluppo e t t per t con t = a ottengo ep( a ) a e dunque Quindi f() := f() (ep( a ) ) a+4. a(a+4) si comporta come a(a+4), e pertanto è finito se e solo se a(a + 4) <, vale a dire < a < + 5. b) Questo integrale è improprio semplice in +, e come il precedente ammette solo due casi: o converge a un numero positivo finito oppure diverge a +. Usando che e t t b per t + e per ogni b > ottengo e quindi Prendendo ora b = a(a+4) ottengo ep( a ) ep( a ) ( a ) b = ab (ep( a ) ) a+4 ba(a+4). (ep( a ) ) a+4, f() := (ep( a ) ) a+4, e pertanto l integrale f() è finito per confronto asintotico con, per ogni a >. 5. a) Per ogni R indico con V la sezione ottenuta intersecando V con il piano ortogonale all asse delle e passante per il punto (o meglio il punto (,, )). sezione V y proiezione di V sul piano y intersezione di V con il piano y e A y=e Come si vede dal disegno, V è una corona circolare con raggio esterno r e = e raggio interno r i = e, e quindi area(v ) = π ( r e r i ) = π ( 4 ( e ) ) = π ( 4e e ). b) Com è noto, il volume di V è dato da volume(v ) = area(v ) = π 4e e,

12 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni e siccome la funzione integranda è pari, l ultimo integrale è il doppio di quello con estremi di integrazione e +, vale a dire volume(v ) = π 4e e = π 4e + e + = 7π. Seconda parte, gruppo.. Analogo al gruppo : p.p.(f()) = 4 ; p.p. ( f() a 4) =. b) Analogo al gruppo : i valori di a cercati sono a 4e. { ( a) 4 per a ; 8 per a =. a) Siccome / < 4e la disuguaglianza in questione vale per ogni >. 3. Analogo al gruppo. a) e b). La soluzione è = om + + dove: c e λt + c e λt per a >, om (t) = e t (c + c t) per a =, e at (c cos(ωt) + c sin(ωt)) per < a <, con λ := a + a 9, λ := a a 9, ω := a 9, e c, c numeri reali qualunque; { = t + a e 3t 9, = 3 a se a 3, 3t e 3t se a = 3. c) La soluzione (t) tende a + se c > (qualunque sia c ). 4. Uguale al gruppo. 5. Analogo al gruppo : la sezione V è una corona circolare con raggio esterno r e = 3 e raggio interno r i = 3 e, e quindi area(v ) = π ( 6e e ), volume(v ) = area(v ) = π. Seconda parte, gruppo 3.. Uguale al gruppo.. b) Uguale al gruppo : i valori di a cercati sono a e. a) Siccome / > e la disuguaglianza in questione non vale per ogni >. 3. Analogo al gruppo. a) e b). La soluzione è = om + + dove: c e λt + c e λt per a >, om (t) = e t (c + c t) per a =, e at (c cos(ωt) + c sin(ωt)) per < a <, con λ := a + a 4, λ := a a 4, ω := a 4, e c, c numeri reali qualunque; { = t + a e t, = a se a, t e t se a =. c) La soluzione (t) tende a + se c < (qualunque sia c ).

13 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni 3 4. Analogo al gruppo : l integrale in a) è finito se < a < +, mentre l integrale in b) è finito per ogni a >. 5. Uguale al gruppo. Seconda parte, gruppo 4.. Uguale al gruppo.. b) Uguale al gruppo : i valori di a cercati sono a 4e. a) Siccome > 4e la disuguaglianza in questione non vale per ogni >. 3. Analogo al gruppo. a) e b). La soluzione è = om + + dove: c e λt + c e λt per a >, om (t) = e t (c + c t) per a =, e at (c cos(ωt) + c sin(ωt)) per < a <, con λ := a + a 9, λ := a a 9, ω := a 9, e c, c numeri reali qualunque; { = 3t + a e 3t 3, = a 3 se a 3, 3t e 3t se a = 3. c) La soluzione (t) tende a + se c < (qualunque sia c ). 4. Uguale al gruppo Uguale al gruppo. Commenti Seconda parte, esercizio. Diversi dei presenti hanno calcolato la parte principale di f() come segue (tralascio i resti, che non sono il punto): f() := ( cos( ) ) / = ( 4 ) / = + ( 4 ) =, dove nel secondo passaggio è stato usato lo sviluppo ( + t) a = + at con t = 4 e a = /. Anche se il risultato è corretto, la procedura è sbagliata perché non si può applicare questo sviluppo con a non costante. E infatti in situazioni analoghe questa procedura porta a risultati errati. Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno riscritto la disequazione ep( ) a (mi riferisco qui al gruppo ) come a log, e quindi hanno diviso per log ottenendo / log a, ma questo passaggio non è corretto perché log non è sempre positivo. Con poche eccezioni, le stesse persone hanno quindi cercato di calcolare il minimo di f() := / log per > senza accorgersi che questa funzione ha un asintoto verticale in (dove non è definita) e che l estremo inferiore dei valori è ; in particolare queste persone non si sono accorte che e è solo un punti di minimo locale di f(). Anche se il risultato finale è corretto, questa soluzione è concettualmente sbagliata (in modo anche grave). Seconda parte, esercizio. Una soluzione alternativa consiste nel riscrivere la disequazione come a ep( ) (mi riferisco al gruppo ) e quindi calcolare il valore minimo della funzione a ep( ) tra tutti gli >. Un altra soluzione consiste nel riscrivere la disequazione come a log e quindi calcolare il valore minimo della funzione a log tra tutti gli >.

14 4 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Soluzioni Seconda parte, esercizio 3. Diversi dei presenti hanno omesso di scrivere la soluzione dell equazione omogenea nel caso in cui l equazione caratteristica ha radici complesse, oppure l hanno scritta incompleta (senza specificare i valori di ρ e ω che appaiono nella formula) oppure sbagliata (per esempio, nel caso del gruppo, alcuni hanno scritto ω = a 4, per cui ω non è un numero reale). Seconda parte, esercizio 3. Nel calcolare le costanti che determinano le soluzioni particolari, alcuni dei presenti hanno ottenuto valori che dipendono da t, per cui le costanti non sono costanti; questo è un errore grave. Seconda parte, esercizio 3. Il punto c) è stato svolto da pochi, e pochissimi hanno messo chiaramente in evidenza il punto chiave, vale a dire che la soluzione è asintoticamente equivalente a c e λt (quando c ). Seconda parte, esercizio 4. Molti dei presenti hanno dato la risposta corretta al punto b), vale a dire che l integrale è finito per ogni a >, ma senza dare alcuna dimostrazione, o nel migliore dei casi dicendo che la funzione integranda è trascurabile rispetto a / per +. Questo fatto è vero, ma non così evidente da non richiedere alcuna dimostrazione. (La sensazione è che per molti l integrale converge semplicemente perché c è un esponenziale di mezzo... )