Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del quarto appello, 12 giugno 2017 Testi 1. n a + n 2a n 4 log(1 + 1/n 2 )

Transcript

1 Scritto del quarto appello, giugno 07 Testi Prima parte, gruppo. cartesiane: a) (, ); b) (0, ); c) (, 3). + sin(e ); b) lim log(); c) lim sin(/ ). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in 0) di f() := ( 3 3 ) log( 3 ). si muove con la legge oraria P (t) := e t( sin(t), cos(t) ). n a + n a n 4 log( + /n ) n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ + 4ẋ + 5 = 0 che soddisfano la condizione 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e ( ) 4. Prima parte, gruppo. cartesiane: a) (, ); b) (0, 3); c) ( 3, 3). cos(e ); b) lim + log ; c) lim log(log ) 0 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in 0) di f() := ( + 3 ) log( 3 ). 4 + log( + ). si muove con la legge oraria P (t) := e t( sin(3t), cos(3t) ). n= sin(/n a ) n n n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ 4ẋ + 5 = 0 che soddisfano la condizione 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e ( + ) 4. Prima parte, gruppo 3. cartesiane: a) (0, 4); b) (, ); c) ( 3, 3).

2 Scritto del quarto appello, giugno 07 Testi 3 ( ) + ; b) lim log ; c) lim sin(/). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in 0) di f() := (8 3 ) + 3. si muove con la legge oraria P (t) := e t( cos(t), sin(t) ). n a + n a n 4 (e /n ) n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ + ẋ + 5 = 0 che soddisfano la condizione 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e e. Prima parte, gruppo 4. cartesiane: a) (0, 3); b) (, ); c) ( 3, ). 5 + ; b) lim 4 ( 4 + log0 ); c) lim 0 log( + ). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in 0) di f() := ( 3 ) + 3. si muove con la legge oraria P (t) := e t( cos(3t), sin(3t) ). n= n 4 (e /n ) n a n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ ẋ + 5 = 0 che soddisfano la condizione 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e e. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per 0 di f() := 3 ep( 6 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per 0 di f() a.. Consideriamo l insieme dei punti (, ) tali che 0 f(), dove f() := ( ) ep( ). a) Disegnare il grafico della funzione f e l insieme. b) Disegnare il solido V ottenuto ruotando attorno all asse e calcolarne il volume. c) Disegnare il solido V ottenuto ruotando attorno all asse e calcolarne il volume.

3 Scritto del quarto appello, giugno 07 Testi 3 3. Si consideri la funzione f data da f() := (+) + t 5. (*) a) Discutere i limiti di f() per ± (esistenza ed eventuale finitezza). b) Disegnare il grafico di f(). c) Trovare la parte principale di f() per 0. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per 0 di f() := ep( 4 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per 0 di f() a.. Consideriamo l insieme dei punti (, ) tali che 0 f(), dove f() := ( ) ep( ). a) Disegnare il grafico della funzione f e l insieme. b) Disegnare il solido V ottenuto ruotando attorno all asse e calcolarne il volume. c) Disegnare il solido V ottenuto ruotando attorno all asse e calcolarne il volume. 3. Si consideri la funzione f data da f() := (+) + t 5. (*) a) Discutere i limiti di f() per ± (esistenza ed eventuale finitezza). b) Disegnare il grafico di f(). c) Trovare la parte principale di f() per 0.

4 4 Scritto del quarto appello, giugno 07 Soluzioni Prima parte, gruppo.. I valori di r e α sono a), 3π/4; b), π/; c), π/3.. a) non esiste; b) 0; c) f() = O( 9 ). 4. La velocità è v(t) = e t( sin(t) + cos(t), sin(t) + cos(t) ). In particolare v(t) = 5 e t, v(t) = Il raggio di convergenza è R = 3/4. 7. (t) = ce t sin t con c R. 8. e quindi converge per 0 < a < /. n a =/( ) 4 Prima parte, gruppo.. I valori di r e α sono a), 3π/4; b) 3, π/; c) 3, π/3.. a) ; b) + ; c) /. 3. f() = O( 9 ). 4. La velocità è v(t) = e t( sin(3t) + 3 cos(3t), 3 sin(3t) + cos(3t) ). In particolare v(t) = 0 e t, v(t) = Il raggio di convergenza è R = (t) = ce t sin t con c R. e quindi converge per a > 0. n+a 8. =/(+) 4 Prima parte, gruppo 3.. I valori di r e α sono a) 4, π/; b), 3π/4; c) 3, 5π/6.

5 Scritto del quarto appello, giugno 07 Soluzioni 5. a) 0; b) + ; c). 3. f() = O( 9 ). 4. La velocità è v(t) = e t( sin(t) + cos(t), sin(t) + cos(t) ). In particolare v(t) = 5 e t, v(t) = Il raggio di convergenza è R = /4. 7. (t) = ce t sin(t) con c R. e quindi converge per 0 < a <. n3 a 8. =ep( ) Prima parte, gruppo 4.. I valori di r e α sono a) 3, π/; b), 3π/4; c), 5π/6.. a) ; b) + ; c). 3. f() = O( 9 ). 4. La velocità è v(t) = e t( 3 sin(3t) + cos(3t), sin(3t) + 3 cos(3t) ). In particolare v(t) = 0 e t, v(t) = Il raggio di convergenza è R =. 7. (t) = ce t sin(t) con c R. 8. = =e e quindi converge per a > 3. na Seconda parte, gruppo.. Usando lo sviluppo di Talor e t = + t + t / + O(t 3 ) con t = 6 ottengo f() := 3 ep( 6 ) = O( 8 ), e raccogliendo 6 sotto la radice, f() = O( ).

6 6 Scritto del quarto appello, giugno 07 Soluzioni Usando ora lo sviluppo 3 + t = ( + t) /3 = + t/3 + O(t ) con t = 6 + O( ) ottengo f() = 3 [ ] O( ) = O( 4 ). Questa formula implica chiaramente che la parte principale di f() per 0 è 3, e inoltre f() a { ( 3 a) se a 3, se a = 3.. a) La funzione f() è definita (e continua) per ogni R, è positiva per e negativa altrimenti. Inoltre tende a per, e tende a 0 per +. Studiando poi il segno della derivata f () = ( )e ottengo che f() cresce per e decresce per ; in particolare = è il punto di massimo assoluto. Utilizzando queste informazioni disegno il grafico sottostante (le proporzioni non sono quelle reali). = f() e b) Usando la prima formula per i volumi dei solidi di rotazione (e la figura sopra) ottengo volume(v ) = π ( f() ) d = π ( + )e d = π 4e. (L ultimo passaggio nasconde una doppia integrazione per parti, in cui ogni volta ho preso la primitiva di e.) c) Usando la seconda formula per i volumi dei solidi di rotazione (e la figura sopra) ottengo volume(v ) = π f() d = π ( )e d = 6π e. (L ultimo passaggio nasconde una doppia integrazione per parti, in cui ogni volta ho preso la primitiva di e.) 3. a) Per la definizione di integrale improprio, i limiti di f() per che tende a ± coincidono con L := + t 5. Questo integrale improprio semplice esiste ed è positivo perché la funzione integranda è positiva, ed è finito per confronto asintotico con l integrale improprio t 5. b) La funzione integranda /( + t 5 ) in (*) è ben definita e positiva per t >, e gli estremi di integrazione e (+) sono entrambi positivi, e quindi strettamente maggiori di. Pertanto l integrale che definisce f() è proprio per ogni R, e l insieme di definizione di f è tutto R. Inoltre il valore di f() è positivo se l estremo di integrazione ( + ) è maggiore dell estremo di integrazione, vale a dire se > 0 oppure <, si annulla per = 0 e =, ed è negativo per < < 0. Studiando il segno della derivata f () = ( + ) + ( + ) 0 ottengo infine che f() decresce per e cresce per ; in particolare = è il punto di minimo assoluto. Utilizzando queste informazioni disegno il grafico sottostante.

7 Scritto del quarto appello, giugno 07 Soluzioni 7 L = f() c) Per 0 l estremo di integrazione superiore in (*) converge a, che è l estremo di integrazione inferiore. Quindi i valori assunti della funzione integranda /(+t 5 ) per t nell intervallo di integrazione sono sempre più vicini al valore dell integranda per t =, vale a dire /. Pertanto f() = (+) + t 5 (+) = ( + ), e quindi la parte principale di f() per 0 è. (Una dimostrazione più precisa del fatto che f() la si ottiene mostrando tramite la regola di de L Hôpital che il limite del rapporto f()/ per 0 è uguale a ; nel farlo si usa la formula per f data sopra.) Seconda parte, gruppo.. Procedendo come per il gruppo otteniamo f() = O( 0 ) da cui segue che la parte principale di f() per 0 è, e inoltre { ( a) f() a se a, 6 se a =.. a) Il grafico di f è molto simile a quello del gruppo. Le differenze più significative sono che f() è negativa per e positiva altrimenti, cresce per 3 e decresce altrimenti. b) nalogo al gruppo : volume(v ) = π c) nalogo al gruppo : 3. Uguale al gruppo. volume(v ) = π ( f() ) d = π f() d = π ( 4 + 4)e d = π 4e 4. ( )e d = 8π e. Commenti Prima parte, esercizio 6. Molti dei presenti hanno risolto l esercizio trascurando gli addendi n e n presenti nel numeratore e nel denominatore del coefficiente della serie, e tenendo solo gli esponenziali 3 ±n e ±n. Questo passaggio è corretto quando gli esponenziali tendono a infinito, cioè quando all esponente c è il segno +. Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno impostato male il calcolo del volume al punto c), pur essendo completamente standard.