Analisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.

Transcript

1 Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it

2 Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto parziale n-mo e si indica con R n, la quantità Teorema R n = + k=n+1 Se + n=0 a n è convergente, allora R n è una serie convergente e a k lim R n = 0 n +

3 Serie a termini non negativi Definizione Una serie a termini non negativi è del tipo + n=0 a n, a n 0 n Teorema Una serie a termini non negativi o converge o diverge a + (non può essere non regolare). In particolare, converge se e solo se la successione delle somme parziali n-me è limitata. Dimostrazione: La successione delle somme parziali s 0 = a 0 ; s 1 = a 0 + a 1 ;... s n = a a n ;... è monotona crescente perché s n+1 = s n + a n+1 s n n. Per un teorema, una successione monotona ha sempre limite: finito o infinito (+ se a termini positivi). Se {s n } ha limite finito a n converge Se {s n } ha limite + a n diverge a +

4 Criteri sufficienti di convergenza Criterio del confronto Siano + n=0 a n e + n=0 b n due serie a termini non negativi e tali che a n b n definitivamente allora 1 Se + n=0 b n converge + n=0 a n converge 2 Se + n=0 a n diverge + n=0 b n diverge + n=0 a n è detta serie minorante per + n=0 b n + n=0 b n è detta serie maggiorante per + n=0 a n

5 Criteri sufficienti di convergenza Criterio del confronto asintotico Siano + n=0 a n e + n=0 b n due serie a termini positivi e tali che a n b n per n + allora le due serie hanno lo stesso comportamento: o convergono entrambe o divergono entrambe.

6 Applicazione: serie armonica generalizzata Proprietà (serie armonica generalizzata) + n=1 { 1 diverge a +, α 1 n α = converge, α > 1 Per α = 1 si ottiene la serie armonica + n=1 1 n che diverge Dimostrazione: Caso α = 1: serie armonica + n=1 1 n = + Caso 1 < α < 2: si dimostra con il criterio integrale per le serie Caso α < 1: n α < n 1 n α > 1 n Per Criterio del confronto: + n=0 1 n = + + n=1 1 n α = +

7 Applicazione: serie armonica generalizzata Caso α = 2: 1 n 2 1 n 2 + n = 1 n(n + 1) Per Confronto asintotico con serie di Mengoli: + 1 n=1 n(n+1) = 1 (convergente) + n=1 1 n converge. 2 Caso α > 2: 1 n α < 1 n 2 Per criterio del confronto e caso precedente: + n=1 1 n converge + 2 n=1 1 n converge α

8 Serie di Abel Proprietà (serie di Abel) + n=2 1 n p log q n = converge se, p > 1 converge se, p = 1 e q > 1 diverge a + se, p = 1 e q 1 diverge a + se, p < 1

9 Criteri sufficienti di convergenza Criterio del rapporto Sia + n=0 a n una serie a termini positivi. Se esiste allora 1 Se l > 1 la serie diverge 2 Se l < 1 la serie converge a n+1 lim = l n + a n 3 Se l = 1 nulla si può concludere

10 Criteri sufficienti di convergenza Criterio della radice Sia + n=0 a n una serie a termini non negativi. Se esiste allora 1 Se l > 1 la serie diverge 2 Se l < 1 la serie converge lim n an = l n + 3 Se l = 1 nulla si può concludere

11 Dimostrazione (criterio della radice): Caso 1. lim n + n an = l < 1 Se l < 1, è anche l < 1 ε, per un certo ε > 0. Con questo ε, consideriamo ε 2. Dalla definizione di limite, ν N : n > ν n an l + ε 2 < (1 ε) + ε 2 = 1 ε 2 a n < ( 1 ε ) n 2 Usando il criterio del confronto: la serie geometrica + ( ) n=1 1 ε n + 2 converge n=1 a n converge. Caso 2. lim n + n an = l > 1 Analogamente al Caso 1, per un certo ε, definitivamente si ha ( a n > 1 + ε ) n 2 Per il criterio del confronto: la serie geometrica + n=1 ( 1 + ε 2 ) n diverge + n=1 a n diverge

12 Osservazione sul criterio del rapporto e della radice Dalla dimostrazione del criterio della radice (e anche da quella del criterio del rapporto) si vede che nel caso l > 1 a n > ( 1 + ε ) n 2 ovvero sappiamo che non solo la serie diverge, ma anche che il termine generale non è infinitesimo (tende a + ).

13 Osservazione Criterio del confronto, confronto asintotico, rapporto e radice valgono anche se la serie è a termini definitivamente non negativi. Raccogliendo un segno meno dall intera serie, questi criteri si possono applicare anche alle serie a termini non positivi o definitivamente non positivi. Esempio: Se a n è serie a termini non positivi + n=0 + a n = ( a n ). L ultima serie è a termini non negativi. n=0

14 Esercizi Esercizio 1 Studiare il carattere della serie + n=1 e sin3 1 3 n 1 3 n Serie a termini non negativi, in quanto a n 0 n 1. Utilizziamo il criterio del confronto asintotico: ( ) 3 a n sin n n n 3 n 3 = n 3 = 1 = 1 = b n n 3 n n 1+ 1 n 3 bn converge perchè serie armonica generalizzata di esponente α > 1 a n è convergente

15 Esercizio 2 Studiare il carattere della serie + n=1 ( n 3 tan 1 ) n n Serie a termini non negativi, in quanto a n 0 n 1. Utilizziamo il criterio della radice: (n lim n an = n + n lim n + 3 tan 1 n ) n ( n = lim n + 3 tan 1 ) ( n = lim n n + 3 Dato che il limite l < 1, la serie proposta converge. ) 1 = 1 n 3

16 Esercizio 3 Studiare il carattere della serie + n=1 n!2 n n n Serie a termini non negativi, in quanto a n 0 n 1. Utilizziamo il criterio del rapporto: a n+1 lim = lim n + a n n + = lim n + (n+1)!2 n+1 (n+1) n+1 n!2 n = lim n + n n (n + 1)2n n = 2 lim (n + 1) n+1 n + n = 2 lim log( en n+1) n + Calcoliamo separatamente il limite dell esponente. (n + 1)!2 n+1 n n (n + 1) n+1 n!2 n ( ) n n n + 1

17 Limite dell esponente: ( ) ( ) n n lim n log = lim n + n + 1 n log n + n + 1 ( = lim n log 1 1 ) n + n + 1 ( = lim n 1 ) n + n + 1 = 1 Sostituendo nel limite precedente, abbiamo a n+1 lim = 2e 1 = 2 n + a n e < 1 La serie converge per il criterio del rapporto.