La convergenza uniforme

Transcript

1 La convergenza uniforme 1. Il tubo Sia {f n (x)} una successione convergente a f(x) per x E: disegniamo il grafico della funzione limite f(x) assegnato ε > 0 disegniamo la striscia - il tubo - intorno al grafico di f(x) di diametro ε la convergenza é uniforme se da un certo indice n ε in poi i grafici delle f n (x) sono interamente contenuti nel tubo.... e questo avviene comunque si scelga l ε > 0. Esempio 1.1. Consideriamo, nell intervallo [0, 2π] la successione f n (x) = sin(x) + 1 n sin(nx), successione certamente convergente a f(x) = sin(x). La Figura (1) contiene il grafico della funzione limite sin(x) il tubo intorno a tale grafico con ε = 0.3 i grafici delle tre f n (x), n = 4, 5, 6 Figura 1. Il tubo 1

2 2 LA CONVERGENZA UNIFORME Si vede come i grafici delle f 4 (x), f 5 (x), f 6 (x) siano ben contenuti dentro il tubo. Naturalmente se avessimo scelto un tubo piú sottile, un tubetto..., avremmo forse dovuto attendere un po di piú per riconoscere che i grafici delle f n (x) finissero interamente dentro tale tubetto! Esempio 1.2. Consideriamo nell intervallo x < 1 la successione f n (x) = x n successione convergente a f(x) = 0, naturalmente questo non accade nei due estremi. La Figura (2) seguente mostra il tubo realizzato intorno alla funzione limite e di spessore ε = 0.1 : sono anche riportati i grafici delle funzioni della successione x 4, x 7, x 12, x 15 che, visibilmente non sono interamente contenuti nel tubo... Figura 2. I grafici non finiscono interamente nel tubo...! Il motivo é evidente: i grafici delle x n per x = 1 devono prendere il valore 1, quindi i loro grafici devono avere un tratto in salita che li porti a raggiungere tale quota, tratto in salita che fuoriesce, naturalmente, dal tubo disegnato. Definizione 1.3 (Convergenza uniforme). La successione {f n (x)} converge per x E uniformemente alla funzione f(x) se per ogni ε > 0 esiste una stessa unica soglia n ε valida per tutti i punti x 0 E: cioé tale che f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε x 0 E, n > n ε La parola uniforme

3 1. IL TUBO 3 o meglio, uniforme rispetto ad x, significa che il tipo di convergenza osservato per le successioni numeriche {f n (x 0 )} ottenute per ogni scelta di x 0 [a, b] non varia, é appunto uniforme, rispetto al variare di x 0 : assegnato ε > 0 esiste una soglia n ε tale che se n n ε sono soddisfatte le disuguaglianze f n (x) f(x) ε qualunque sia il punto x [a, b] scelto. Proposizione 1.4. Sia x [a, b] : lim f n (x) = f(x) n La convergenza é anche uniforme se e solo se lim sup f n (x) f(x) = 0 n Dimostrazione. Supponiamo che riesca allora ε > 0 n ε tale che lim sup f n (x) f(x) = 0 n n n ε : disuguaglianza che implica n n ε : sup f n (x) f(x) ε f n (x) f(x) ε per ogni x [a, b], cioé la convergenza uniforme. Viceversa, supponiamo che la successione {f n (x)} converga uniformemente a f(x) in [a, b]: allora ε > 0 esiste n ε tale che se n n ε si ha x [a, b] : f n (x) f(x) ε disuguaglianza che implica che, per n n ε riesce cioé sup f n (x) f(x) ε lim sup f n (x) f(x) = 0 n

4 4 LA CONVERGENZA UNIFORME Proposizione 1.5. La successione {f n (x)} converga uniformemente in [a, b] se e solo se per ogni ε > 0 esiste n ε tale che se n, m n e riesce sup f n (x) f m (x) ε Dimostrazione. Supponiamo che {f n (x)} converga uniformemente in [a, b] e sia f(x) la funzione limite: sup f n (x) f m (x) sup f n (x) f(x) + sup f(x) f m (x) e pertanto essendo i due addendi a secondo membro infinitesimi, lo é anche il primo. Viceversa scelto ε > 0 sia n ε tale che per n, m n ε riesca sup f n (x) f m (x) ε Passando al limite ad esempio su m si ha, di conseguenza, cioé la convergenza uniforme. sup f n (x) f(x) ε Esempio 1.6. Nel caso di Figura (3) si vede che i grafici delle funzioni Figura 3. x(1 x)/n, n = 1, 2, 3, x [0, 1] 1 x(1 x), n = 1, 2, 3... x [0, 1] n

5 1. IL TUBO 5 si stringono intorno a quello della funzione 0, loro limite. Nel caso di Figura 4 invece i grafici di Figura 4. e n3 (x 1/n) 2, n = 4, 8, 12, 16 x [0, 1] e n3 (x 1/n) 2, n = 1, 2, 3,...e n3 (x 1/n) 2, n = sono delle campane di Gauss centrate su 1 e via via piú magre: esse costituiscono una successione con limite 0 ma evidentemente i loro grafici n non sono mai completamente contenuti in un tubo intorno all asse x : piú guardiamo ad un x 0 0 piú per avere f n (x 0 ) piccolo occorre riferirsi a n alto. Il caso di Figura 3 rappresenta un caso di convergenza uniforme, quello di Figura 4 un caso di convergenza non uniforme. Osservazione 1.7. Ogni dichiarazione di convergenza o di uniforme convergenza di una successione di funzioni deve essere fatta precisando dove si consente di variare la x. La successione di Figura 4 possiede il requisito di convergenza uniforme se invece di considerare le funzioni e n3 (x 1/n) 2 su tutto [0, 1] le si considera in un intervallo [0.5, 1].

6 6 LA CONVERGENZA UNIFORME 2. Test di convergenza uniforme per le serie Definizione 2.1. Una serie di funzioni g k (x) k=0 si dice uniformemente convergente per x E se é tale la successione delle sue somme parziali n S n (x) = g k (x) Teorema 2.2 (Condizione sufficiente). La serie g k (x) é uniformemente convergente per x E se é possibile maggiorare g k (x) c k, x E, k essendo k=0 c k convergente. La condizione sufficiente del teorema si chiama condizione di Weierstrass o condizione di convergenza totale. Dimostrazione. Sia S(x) la somma della serie: dette S n (x) le somme parziali riesce S(x) S n (x) = lim S m m(x) S n (x) = lim g k (x) m m Tenuto conto che g k (x) c k k=0 k=0 m m g k (x) e che la serie k=0 c k é convergente per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste n ε N tale che m n > n ε c k ε Ne segue pertanto che, x E n+1 n+1 n+1 n > n ε S(x) S n (x) ε ovvero la convergenza uniforme della successione S n (x) delle somme parziali. n+1 c k

7 2. TEST DI CONVERGENZA UNIFORME PER LE SERIE Il test per le successioni. Per decidere se la successione {f n (x)} converga o meno uniformemente basta esaminare se converge o meno uniformemente la serie associata f 0 + {f 1 (x) f 0 (x)} + {f 2 (x) f 1 (x)} +... Pertanto, servendosi del criterio precedente, Teorema 2.3. La successione {f n (x)} converge uniformemente se essendo convergente la serie c n. f n+1 (x) f n (x) c n Esempio 2.4. Sperimentiamo il teorema precedente sulla successione x n per 0 x < 1: la serie associata ha, tenuto conto del modulo, i seguenti termini x n+1 x n = x n (1 x) I termini da maggiorare hanno i seguenti grafici, Figura (5), in corrispondenza ad n = 4,..., 8 Figura 5. I termini della serie associata I massimi raggiunti in Figura (5) si possono anche calcolare facilmente ( x n+1 x n) n = 0 x = n + 1 massimi che pertanto valgono 1 1 n + 1 ( n )n e n + 1 Gli ultimi termini costituiscono una maggiorazione non ulteriormente scontabile dei termini della serie associata, e si tratta di maggiorazioni che non corrispondono ad una serie convergente (somigliano molto alla serie armonica...)

8 8 LA CONVERGENZA UNIFORME Non c é da stupirsi che la successione x n per 0 x < 1 non sia uniformemente convergente...! 2.2. Un teorema di Dini. Il nome di Ulisse Dini é legato ad importanti risultati d Analisi Matematica, che gli sono riconosciuti a livello internazionale: fra tali risultati la seguente condizione di convergenza uniforme Teorema 2.5. Sia {f n (x)} una successione di funzioni continue nell intervallo chiuso e limitato I = [a, b] tali che f n (x) f n+1 (x), x I lim n f n (x) = f(x), x Icon f(x) continua in I, allora {f n (x)} converge uniformemente ad f(x) in I. Il risultato, pur apparendo quasi evidente, é, invece nella sua generalitá assai profondo: la sua dimostrazione non é opportuna in un corso iniziale. In altri termini il teorema di Dini permette di riconoscere che l esempio delle funzioni f n (x) = e n3 (x 1/n) 2 illustrate in Figura 4, successione di funzioni convergente alla funzione continua f(x) = 0 su I = [0, 1] non uniformemente é un esempio base. La convergenza non uniforme di successioni {f n (x)} di funzioni continue ad una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] si incontra solo in presenza di successioni di tipo non monotono.