I Limiti di una funzione ANNO ACCADEMICO

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1 Prof. M.Ferrara I Limiti di una funzione ANNO ACCADEMICO

2 Studio del Grafico di una Funzione Il campo di esistenza e gli eventuali punti singolari; Il segno della funzione; I limiti della funzione agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti; La derivata prima e, tramite il suo segno, la crescenza o decrescenza della funzione, gli eventuali punti di massimo e minimo locale ed i flessi a tangente orizzontale; La derivata seconda, la concavità e gli eventuali flessi a tangente obliqua.

3 Le Funzione Studiate Funzioni intere polinomiali; Funzioni razionali; Funzioni algebriche irrazionali; Funzioni goniometriche; Funzioni esponenziali; Funzioni logaritmiche; Funzioni oscillanti;

4 Dalla Storia L idea di limite si può far risalire al metodo di esaustione di Eudosso (IV secolo a.c.) e dei geometri greci che lo hanno seguito. Tale metodo fu poi potenziato da Archimede (II secolo a.c.). La nozione di limite nasceva però solo in una forma geometrica intuitiva. Così,, ad es., una piramide appariva come il limite della somma di tanti prismi in essa inscritti (o circoscritti). La nozione entrò nell ambito dell Analisi pura con Wallis (1656) e, in una forma più completa e rigorosa, con Bolzano (1817), Cauchy (1823) e, soprattutto, Weierstrass (1885).

5 Nozione di Limite Data la funzione di dominio D f. La funzione non è definita per x = 2; la si può tuttavia calcolare in punti che si approssimano a 2 tanto per difetto quanto per eccesso. Si osservi dalle tabelle 1 e 2 che, a mano a mano che x si avvicina a 2, i valori di f(x) si avvicinano sempre più a 8. Il concetto sempre più vicino a,, per ora solo intuitivo, si può esprimere come Tale scrittura (limite) è uguale a

6 Prima di dare, in generale, la definizione di limite per una funzione occorre osservare: Per quali punti x 0 si pone il problema: cercare il limite della funzione in x 0 ; Cosa vuol dire che in x 0 la funzione ha come limite un certo valore l l

7 Gli intorni di un punto Nella definizione di limite la nozione di intorno di un assegnato elemento x 0 є R ha importanza fondamentale. Si tratta di un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto in oggetto. Se x 0 = 1, l intervallo l aperto I =]0;3[ è un intorno completo di 1. In questo caso δ 1 =1 e δ 2 =2 perché si può scrivere: I =]1-1;1+2[. 1;1+2[. Questo intorno ha ampiezza δ 1 + δ 2 =1+2= 3 Quando δ 1 =δ 2, il punto x 0 è il punto medio dell intervallo. In questo caso si può parlare di intorno circolare di x 0.

8 L intorno circolare del punto 5 di raggio 2 è ]5-2;5+2[ ossia ]3;7[. Poiché l intorno circolare di x 0 di raggio δ è l insieme dei punti x є R tali che: x 0 -δ < x < x 0 + δ cioè tali che -δ < x-x x 0 < + δ.. Si può allora scrivere: I δ (x 0 )= {x є R : x- x 0 <δ}. L intorno destro e l intorno l sinistro di un punto. Gli intorni di infinito. Punto di accumulazione.. Il termine accumulazione indica che i punti di A si accumulano, si addensano intorno al punto x 0. Esempio

9 Definizione di Limite Finito di una funzione per x che tende a un valore finito Intuitivamente La definizione Poiché il limite per x che tende a x 0 di f(x) è un numero reale l, si dice che il limite è finito (nel senso che non è ). La validità della condizione f(x)- l <є presuppone che f(x 0 ) sia definita in I (escluso al più x 0 ). Il punto x 0 è di accumulazione per il dominio della funzione.

10 Spesso si prende come intorno di x 0 un intorno circolare I δ (x 0 ) e quindi la definizione precedente si può formulare anche così: IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Nella definizione appena data, quando si dice є reale positivo in effetti si considerano valori di є che si avvicinano a zero. L ampiezza L δ є dipende dalla scelta di є. Interpretiamo f(x) - l < є: Esplicitando il valore assoluto nella espressione f(x) - l < є si ottiene: -є < f(x) l < є,, l-є l < f(x) < l+є ossia,

11 f(x) appartiene all intorno ]l-є;l+ ;l+є[. Interpretiamo la definizione: La definizione dice che, fissato un є qualsiasi, anche molto vicino a zero,, troviamo sempre un intorno di x 0 tale che per ogni x di quell intorno f(x) appartiene a ]l-є;l+ ;l+є[, cioè è molto vicino a l. Il raggio δ dell intorno trovato dipende da є: δ = є/2 Forme indeterminate.

12 Scheda di Verifica Per quali punti x 0 si pone il problema di cercare il limite della funzione in x 0? Motivare la risposta con degli esempi. Cosa vuol dire che in x 0 la funzione ha come limite un certo valore l? Calcolare i seguenti limiti Gli intorni di un punto

13 Limite Destro, limite Sinistro Definizione limite destro. La rappresentazione grafica La scrittura x x + 0 si legge x x tende a x 0 da destra.. Significa che x si avvicina a x 0 restando però sempre maggiore di x 0. Definizione limite sinistro. La rappresentazione grafica La scrittura x x - 0 si legge x x tende a x 0 da sinistra.. Significa che x si avvicina a x 0 restando però sempre minore di x 0. Osservazione

14 Limite Infinito di una funzione per x che tende a un valore finito Data la funzione Vogliamo esaminare il problema della ricerca del limite nel punto x 0 = -1. Attribuendo a x valori che si avvicinano sempre più a -1, tanto per difetto quanto per eccesso,, si osserva che i corrispondenti valori di f(x) risultano via via crescenti. Osservando le tabelle si nota un fenomeno importante: pur non ottenendo la stabilizzazione dei valori della funzione su un numero ben preciso, come avveniva nel caso del limite finito

15 I valori di f(x) tuttavia crescono a mano a mano che si sceglie x più vicino a -1. A questo comportamento di valori sempre più grandi si dàd il nome di limite più infinito (+ ), intendendo con ciò che le cose vanno come se possedessimo un numero fantasioso che fosse il più grande di tutti da chiamarsi + e i valori della funzione si avvicinassero a esso. Si badi bene che l aggettivo l fantasioso è il più adatto: + non è numero, per la semplice ragione che non esiste alcun numero più grande di tutti. Dire invece che la funzione tende al limite + è lecito e appropriato per indicare il fenomeno osservato nelle tabelle.

16 Si riconduce perciò il limite più infinito alla possibilità per la funzione di assumere valori sempre più grandi. Si scrive allora L andamento della funzione è Si può riassumere quanto si è detto mediante la seguente definizione. La rappresentazione grafica relativa a tale definizione è Analogamente si può dare la seguente definizione.- La rappresentazione grafica relativa a tale definizione è

17 I limiti destro e sinistro infiniti. Gli asintoti verticali. Esempio Scheda di Verifica Quando si dice che una funzione diverge positivamente? E negativamente? Motivare la risposta con degli esempi. Cosa implica l esistenza l di un asintoto verticale? La funzione come deve essere? Calcolare i seguenti limiti

18 Il Limite finito di una funzione per x che tende all infinito Data la funzione,, definita in R escluso 1. Il relativo grafico è In quale valore si stabilizza? Pensiamo per esempio al numero delle bottiglie, di una nuova bevanda, vedute ogni giorno. Si tratta di una funzione del tempo, che, dopo eventuali brusche variazioni nel primo periodo, dovute per esempio a un diverso impatto pubblicitario, si stabilizza su una certa quota giornaliera costante.

19 Per indicare il comportamento descritto si parla di limite di una funzione all infinito infinito,, precisando tale concetto di limite nel modo seguente La rappresentazione grafica della funzione f è Analoga alla precedente è la definizione seguente La relativa rappresentazione grafica è X tende a : i due casi precedenti possono essere riassunti in uno solo se si considera un intorno di determinato dagli x per i quali x > c per cui Il limite

20 Gli asintoti orizzontali. Esempio Osservazione 1 Osservazione 2 Scheda di Verifica Quali funzioni non ammettono limite all infinito? Motivare la risposta con degli esempi. La funzione y = (sen x)/x ha limite allo infinito? Motivare la risposta. Se si calcolarlo. Il grafico di una funzione può intersecare l asintoto orizzontale? E quello verticale? Motivare le risposte con degli esempi. Calcolare i seguenti limiti

21 Limite infinito di una funzione per x che tende all infinito Data la funzione, definita in R. Il relativo grafico è Il limite per x che tende a più infinito vale più infinito (la( funzione diverge positivamente); il limite per x che tende a meno infinito vale meno infinito (la( funzione diverge negativamente). Estendendo al caso di limite all infinito le definizioni di limite infinito, si ha Il grafico nel caso di limite infinito (+)( per x che tende a più infinito è,, mentre il grafico di limite infinito (+)( ) per x che tende a meno infinito è

22 Si possono avere anche i casi,, con le relative rappresentazioni grafiche: limite infinito (-) per x che tende a più infinito ed il limite infinito (-)) per x che tende a meno infinito. Gli asintoti obliqui,, data la funzione il cui grafico è Possono aversi solo nel caso di funzioni definite in intervalli illimitati. Se si ha è lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, se cioè il grafico della funzione si accosti a quello di una retta di equazione In quel caso si calcola m. Perché la retta y= mx + q sia un asintoto obliquo della funzione data occorre che esista e sia finito e non nullo il limite che permette di calcolare m. [Deve[ esistere m, CNS affinché esista l Asintoto l O.]

23 Successivamente si calcola q, si vede che deve esistere ed essere finito anche tale limite. Pertanto, affinché la retta y=mx+q sia un asintoto obliquo della funzione occorre che esistono e siano finiti entrambi i limiti seguenti In maniera analoga si procede se Esempio 1, 1 grafico. Esempio 2, 2 grafico. Esempio 3, 3 grafico.

24 Scheda di Verifica Quando una funzione diverge positivamente? E negativamente? Motivare le risposte con degli esempi. Quando esistono gli asintoti obliqui? Una funzione limitata può avere un asintoto obliquo? Motivare le risposte con esempi. Studiare l andamento l della seguente funzione algebrica e studiarne il grafico. Calcolare i seguenti limiti.