LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

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1 LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

2 2 INTERVALLI Limitati: Chiuso: a x b [a;b] Aperto: a<x<b ]a;b[ Chiuso a sn e aperto a dx: a x<b [a;b[ Chiuso a dx e aperto a sn: a<x b ]a;b] Ampiezza intervallo = b-a; b>a Raggio intervallo = Centro intervallo = Illimitati: b a 2 b a 2 chiuso lim sup: x a ]- ;a] Chiuso lim inf: x a [a;+ [ Aperto lim sup: x<a ]- ;a[ Aperto lim inf: x>a ]a;+ [

3 3 Intervalli: Esercizi

4 4 Intorni di un punto

5 5 Intorni di un punto

6 6 Intorno dx e sn

7 7 Intorni: esercizi

8 LA DEFINIZIONE DI LIMITE Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a f(x 0 ) o a un altro valore reale l? Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x 0 ). x 0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x 0 ). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato.

9 LA DEFINIZIONE ESEMPIO Cosideriamo la funzione: La condizione per avere f(x) 6 < e è x 3 <. Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? x f(x) 2,9 5,8 2,99 5,98 2,999 5,998 2,9999 5,9998 x f(x) 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002. Cioè, per ogni numero reale positivo e, se allora,. 6

10 LA DEFINIZIONE DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x 0 Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x 0, e si scrive, quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x 0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x 0. In simboli.

11 IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Qual è il significato intuitivo della definizione? L esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l. Fissiamo Se riduciamo e > 0. e, Individuiamo troviamo un intorno un intorno di x 0 I di più x 0 tale piccolo. che per ogni. In simboli.

12 LA VERIFICA ESEMPIO Verifichiamo che. Per ogni e troviamo l insieme dei valori di x che soddisfano la condizione e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi, cioè da cui si ricava. In temini di intervalli:, che è un intorno di 2.

13 LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x 0 se x 0 appartiene al dominio di f e il limite in x 0 coincide con f(x 0 ), cioè: DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione.. Funzioni continue in intervalli reali La funzione costante f(x) = k, continua in tutto R. La funzione polinomiale f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + +a n-1 x+a n, continua in tutto R. La funzione radice quadrata, continua in R + U {0}. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R {kp, }. La funzione esponenziale f(x) = a x, con a > 0, continua in tutto R. La funzione logartimica f(x) = log a x, con a > 0,, continua in R +.

14 IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x 0, sempre valori maggiori di l, si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: Se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.. ESEMPIO Verifichiamo che. Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x 2 3) ( 3) < e, ossia 0 < 4x 2 < e. La prima relazione, 0 < 4x 2, dà. La seconda, 4x 2 < e, è soddisfatta per Il La limite funzione esiste tende e vale a 3. 3 Inoltre, in da un valori intorno più di grandi. 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3..

15 IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x 0, sempre valori minori di l, si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive:. Se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

16 IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x 0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x 0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell intorno destro di x 0,. Se x si avvicina indefinitamente a x 0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x 0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x 0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell intorno sinistro di x 0,. Se x si avvicina indefinitamente a x 0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

17 IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che,. Limite destro Verifichiamo se f(x) 3 < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. (2x + 1) 3 < e e < 2x 2 < e Soddisfatta in. Limite sinistro Verifichiamo se f(x) 2 < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. (3x 1) 2 < e e < 3x 3 < e Soddisfatta in.