I limiti di funzioni reali di una variabile reale. Prof Giovanni Ianne

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1 limiti di unzioni reali di una variabile reale Pro. Giovanni anne 1/26

2 Deinizione di limite di una unzione Limite inito per che tende a un valore inito Limite ininito per che tende a un valore inito Limite inito per che tende a un valore ininito Limite ininito per che tende a un valore ininito 2/26

3 Deinizione di limite inito per che tende a un valore inito Quando il limite è inito si dice che converge a l l : lim l 3/26

4 l signiicato della deinizione L esistenza del limite assicura che: se si avvicina indeinitamente a, si avvicina indeinitamente a. l Se riduciamo, troviamo un intorno di più piccolo. 4/26

5 La veriica Esempio Veriichiamo che lim Dobbiamo ar vedere che, issato >, piccolo a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno completo del punto 2 tale che 2 2 : ossia: /26

6 2 3 L insieme delle soluzioni è quindi:. 2 ; Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la condizione iniziale, quindi il limite è veriicato. 6/26

7 Osserviamo che n generale, l esistenza del limite di una unzione in un punto è indipendente dal comportamento della unzione nel punto stesso. Sono possibili i seguenti casi: lim 2 2 Esiste lim l e ; l Esiste lim l e ; l Esiste lim l e non esiste. 7/26

8 Deinizione di limite ininito per che tende a un valore inito : lim : lim Se il limite della unzione è, si dice che la unzione diverge positivamente. Se il limite della unzione è, si dice che la unzione diverge negativamente. 8/26

9 lim y tale che, Scelto un è per possibile ogni numero determinare preso positivo un nell intorno grande, si di ha quanto che si è vuole maggiore di O 9/26

10 La veriica Esempio 1 Veriichiamo che lim 2 Dobbiamo ar vedere che, issato >, grande a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno completo del punto tale che : 1 ossia: L equazione associata è: /26

11 La disequazione è veriicata per valori interni: 1 1 Tenendo conto del dominio, otteniamo come insieme delle soluzioni della disequazione l intorno di dato 1 da privato del punto. ; 1 Quindi, poiché la soluzione è un intorno di, il limite dato è veriicato. 11/26

12 Deinizione di limite inito per che tende a un valore ininito lim l : l lim l : l 12/26

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15 Esempio Veriichiamo che La veriica Dobbiamo ar vedere che, issato piccolo a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di tale che ossia: : 5 lim log 5 log log 5 5 R R 15/26

16 log 5 Poiché la soluzione è un intorno di limite è veriicato., il 16/26

17 Deinizione di limite ininito per che tende a un valore ininito : lim : lim : lim : lim 17/26

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22 TEORE FONDAENTAL SU LT Teorema dell unicità del limite Teorema della permanenza del segno Teorema del conronto o dei due carabinieri 22/26

23 Teorema dell unicità del limite Se una unzione per questo è unico. n simboli: potesi :1. l R 2.lim l ammette un limite, Tesi : l è unico 23/26

24 Teorema della permanenza del segno Se una unzione per tende ad un limite inito diverso da zero, esiste un intorno del punto l per tutti i punti del quale, escluso al più, la unzione assume valori dello stesso segno del suo limite. potesi :1. lim 2. l l Tesi : in un intorno di potesi :1. lim 2. l l Tesi : in un intorno di 24/26

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26 Teorema del conronto o dei due carabinieri l teorema viene detto dei due carabinieri perché la unzione viene costretta, da h e da g, a tendere a. l 26/26