Partiamo dalla seguente definizione abbastanza intuitiva visto quando detto in precedenza. : R R essa ha limite in x

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1 Funzioni continue Partiamo dalla guente deinizione abbastanza intuitiva visto quando detto in precedenza Deinizione: data una unzione : R R essa ha ite in ( ) l ( ) Cioè il ite destro e il ite sinistro sono uguali e itati Passiamo ora a studiare la continuità delle unzioni Intuitivamente e quindi non rigorosamente una unzione si dice continua per tracciare il graico non si stacca mai la penna da oglio Tale proposizione esprime il concetto ma non è rigorosa dal punto di vista del linguaggio, inatti: Deinizione: data una unzione : R R essa è continua in un punto ( ) ( ) ( ) Cioè il ite destro e il ite sinistro sono uguali al valore itato che la unzione assume proprio nel punto Osrvazione La deinizione appena enunciata ha carattere locale, cioè essa è valida per un intorno del punto che si considera, pertanto tale deinizione non dice nulla riguardo la continuità in generale della unzione considerata Più in generale diremo che un a unzione è continua è continua in ogni suo punto Discontinuità di una unzione La studio della continuità di una unzione è legato allo studio della propria discontinuità, inatti consideriamo una unzione qualsiasi, possiamo individuare grazie al campo di esistenza i punti critici, quei punti per i quali essa prenta dei problemi e potremo dedurre che, data una unzione, il dominio individua le criticità, cioè gli elementi in cui è possibile trovare una discontinuità, per gli altri punti invece la unzione non prenta problemi e quindi e continua

2 Fondamentalmente calcolare il campo di esistenza mi permette di individuare i punti in cui è possibile che la unzione prenti discontinuità, mentre per gli altri punti esso mi assicura che tale problema non sussiste, garantendo la continuità Discontinuità di prima specie Deinizione: data una unzione specie : R R essa prenta in un punto una discontinuità di prima ( ) l l ( ) 1 Cioè i iti destro e sinistro esistono initi ma sono diversi tra loro Empio Consideriamo la unzione ( ), il cui graico è rapprentato da: Veriichiamo la discontinuità Studiando il dominio della unzione si determiana che è un punto critico per il campo di esistenza, pertanto studiamo il ite destro e sinistro per tale valore 1 (inatti è una quantità negativa pertanto, quindi in questo caso )

3 1 (inatti è una quantità positiva pertanto, quindi in questo caso ) Quindi ite destro e ite sinistro esistono initi ma assumono valori diversi, pertanto possiamo concludere che è un punto di discontinuità di prima specie Discontinuità di conda specie Deinizione: data una unzione : R R essa prenta in un punto una discontinuità di conda specie almeno uno dei due non esiste o non sia inito cioè ( ) oppure ( ) Cioè almeno uno dei iti destro e sinistro non è inito oppure non esiste Empio Consideriamo la unzione ( ) tan il cui graico è rapprentato da: Veriichiamo la discontinuità Il dominio della unzione si richiede che tan Studiamo il ite destro e sinistro per tale valore tan

4 Limite destro e ite sinistro sono ininiti pertanto possiamo concludere che è un punto di discontinuità di conda specie Discontinuità di terza specie Deinizione: data una unzione : R R essa prenta in un punto una discontinuità di terza specie o einabile ( ) l ( ) e accade che non è deinita in oppure ( ) l E possibile einare tale discontinuità asgnando alla unzione nel punto il valore l del ite come gue: Consideriamo la unzione ( ) ( ) l ( ) 8 il cui graico è rapprentato da: Veriichiamo la discontinuità Il dominio della unzione si richiede che Studiamo il ite destro e sinistro per tale valore

5 8 8 ( )( 8) ( 8) 16 ( )( 8) ( 8) 16 Limite destro e ite sinistro sono uguali pertanto è un punto di discontinuità di terza specie Possiamo allora prolungare la continuità della unzione nel punto (oppure possiamo einare la discontinuità nel punto ) ponendo: Osrvazione ( ) 8 16 Per alcune unzioni il dominio può richiedere l esclusione di intervalli di valori per la variabile (e non singoli valori per l incognita) Empio ( ) 4 CE 4 4 Come si può osrvare per tale unzione non ha nso parlare di ite destro per 4, inatti tali valori non sono compresi nel dominio, pertanto non si può calcolare il ite destro 4 per ( ) 4 Ecco quindi che per alcune unzioni si può considerare la continuità a destra e a sinistra Deinizione: data una unzione : R R essa è continua a destra in un punto ( ) ( ) Deinizione: data una unzione : R R essa è continua a sinistra in un punto ( ) ( )