PARTE SECONDA I LIMITI

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1 PARTE SECONDA I LIMITI INTRODUZIONE INTUITIVA AL CONCETTO DI LIMITE Consideriamo la funzione f: ² il cui grafico ti è certamente noto: Possiamo anche determinare il valore della funzione in alcuni punti 0 ±1 ± ±1000 ± Per determinare sul grafico il punto di coordinate ( 10 6, 10 1 ) avvresti bisogno di un foglio enorme o dovresti scegliere unità di misura così microscopiche da non poter individuare altri punti. Dal grafico e dalla tabella numerica si intuisce che, al crescere, in valore assoluto, dei valori della valori corrispondenti della crescono indefinitamente. In matematica si sintetizzano frasi di questo tipo con la scrittura ( si legge: il ite per che tende a più infinito di ² è uguale a più infinito) Il simbolo " " [- ] non è un numero reale, ma traduce l idea che la funzione assume valori sempre più grandi (positivi o negativi).

2 Costruiamo per punti, approssimativamente, il grafico di 1 ² : ±0,1 ±0,01 ±0, ±0, ² 100² 1000² ² Si intuisce che, quando i valori della tendono a zero, sia per valori approssimanti per eccesso ( da destra, oppure 0 ) che per difetto (da sinistra, oppure 0 - ) i valori della diventano indefinitamente molto molto grandi. Brevemente Si può costruire il grafico approssimativo della funzione Consideriamo il seguente grafico e proviamo ad interpretarlo utilizzando la nuova "stenografia" introdotta: Possiamo tradurre le seguenti situazioni: a) f( ) b) f( ) c) f( ) 1 d) f( ) 1 In genere utilizziamo queste "scritture" per evidenziare il comportamento della funzione nelle "vicinanze" degli estremi degli intervalli che ne determinano il campo di esistenza. 1

3 Nota in particolare che relativamente al caso c si ha anche f(1). ESERCIZI 19) Utilizzando il grafico seguente dedurne i iti richiesti: a) f( )... d) f( )... 3 b) f( )... 0 c) f( )... 0 e) f( )... 3 f) f( )... 0) Ripetere l'esercizio precedente: a) f( )... d) f( )... 4 b) f( )... 0 c) f ( )... 0 e) f( )... 4 f) f( )... 1)Come sopra

4 a) f( )... 3 b) f( )... 0 c) f( )... 4 d) f( )... 0 )Come sopra a) f( )... d) f( )... 7 b) f( )... 0 c) f( )... 0 e) f( )... 7 f) f( )... 3)Come sopra a) f( )... d) f( )... 1 b) f( )... c) f( )... 1 e) f( )... 6 f) f( )... Avrebbero senso le scritture 3

5 f( )... e f( )...? perchè? 6 4) Interpreta utilizzando i iti i seguenti grafici: a) b) c) d) e) f) 5) Quali delle seguenti scritture sono corrette per ciascun grafico assegnato? 4

6 1) f( ) ) f( ) 3) f( ) 4) f( ) 6) f( ) 1 7) f( ) 8) f( ) 9) f( ) 5) f( ) 1 10) f( ) 6) Considera le seguenti funzioni e determinane il dominio. Con l'uso della calcolatrice e del grafico deducine il comportamento agli estremi degli intervalli che ne determinano il campo di esistenza. a) log ½ b) 3 c) 3 - d) ² e) 4-² f) 3 1 g) 1- h) tg con -p/<<p/ i) cotg con 0<<p l) sen m) cos n) arctg o) arccotg p) log 3 q) log 1/3 r) s) 1-² t) 1² u) v) 7)Noto il grafico della funzione f : f() dedurre: dominio e insieme delle immagini, intersezione con gli assi, positività e negatività, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità. Dedurne, inoltre, il comportamento agli estremi degli intervalli che ne determinano il campo di esistenza. a) b) c) 5

7 d) e) f) g) h) i) 8) Dedurre il grafico della funzione f : f() noto che: a) è definita su tutto R interseca gli assi nel punto (0,0) è positiva per 0 cresce per 0<< decrese per <0 > è concava verso l'alto per < - > e verso il basso per - < < ha un massimo relativo in M(,1) e un minimo assoluto in m(0,0) valgono f( ) e f( ) 0 b) è definita per ±1 ed è dispari interseca gli assi coordinati nel punto (0,0) è positiva per -1< <0 >1 è negativa per <-1 0 < <1 decresce per ogni D non ha nè massimi nè minimi è concava verso il basso per <-1 0 < <1 è concava verso l'alto per -1< <0 >1 valgono f( ) 0 f( ) f( ) 1 f( ) 1 6

8 f( ) 1 f( ) 1 c) è definita per <1 v > interseca gli assi coordinati nei punti A(-,0), B(0,-4), C(3,0) è positiva per <- v >3 è negativa per -<<1 v <<3 cresce per > e decresce per <1 non ha nè massimi nè minimi ed è sempre concava verso il basso valgono f( ) 1 f( ) f( ) 1 f( ) d) è definita per ogni R ed è pari interseca gli assi nel punto (0,0) è positiva per 0 cresce per < 3 0<< 3 decresce per 3<<0 > 3 ha massimi nei punti ( 3,3) e ( 3,3), minimo in (0,0) è concava verso l'alto per <-4 >4 e verso il basso per -4<<4 valgono f( ) 0 f( ) 0 CONFRONTO FRA INFINITI E INFINITESIMI Costruiamo per punti, in uno stesso R.C.O. Monometrico i grafici delle seguenti funzioni, ristrette all'intervallo [0, ). 7

9 ,189 1,316 1,7783 5, ,599 1,44 3, ,414 1,73 3,163 31,

10 Osserviamo che: I iti di tutte le funzioni considerate per che tende a, sono uguali a, ma, dai grafici, si intuisce che alcune raggiungono valori "molto grandi" più rapidamente di altre. Possiamo quindi stilare una specie di "graduatoria" di infiniti. In generale, considerata n con n Q e tendente a, al crescere di n ci troviamo in presenza di infiniti "più rapidi": n è detto ordine di infinito. Conosci però altre funzioni che tendono all'infinito per tendente a e precisamente log a e a con a>1. Studiamo in particolare ln e proviamo a confrontarla ad esempio con 7 Costruiamo in uno stesso R.C.O.M. i relativi grafici dopo aver completato le seguenti tabelle: ln ,3 4,6 6,9 13,31 3, , ,

11 1 1,58 1,93,68 7,19 6,8 Si vede chiaramente che ln è un infinito più debole di e, ma si intuisce anche, dalla tabella, che è più debole di 7 in quanto, per valori molto molto grandi,la funzione 7 assume valori superiori a ln. Si può dimostrare che ln è un infinito più debole di qualunque potenza di ; in simboli ln 0 n Questo sintetizza il fatto che pes ogni n Q il denominatore, per tendente a, "vince" il confronto con il numeratore. La stessa cosa si può dimostrare per log a con a>1, per cui in generale si dice che il logaritmo (con base maggiore di 1), ha ordine di infinito minore di ciascuna potenza razionale positiva di. Formalmente ln a 0 con a>1 e n Q. n Procediamo in modo analogo per la funzione esponenziale e , ,47 5,18*10 1,69* ,39* ,3*

12 ,77* ,77*10 1 1,0*10 3 Si puo' notare che la funzione esponenziale e' un infinito di ordine superiore a qualunque potenza di, in simboli e n n Q Si dimostra che, in generale, a n n Q con a > 1 Confronti analoghi a prima si possono fare quando si hanno funzioni tali che 4 f( ) 0 0 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,5634 0,3163 0, ,1 0,1 0,01 0,001 0,

13 0,3163 0,1 0,0316 0,01 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,01 0, ,1 0,01 0,001 0,0001 0,001 0, Stavolta nelle tabelle prendiamo in considerazione valori prossimi a 0. Si intuisce che al crescere di n, cresce la "velocita'" di avvicinamento a 0; n si dice ordine di infinitesimo. Consideriamo ora la funzione sin, che per 0 e' un infinitesimo. sin 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,0998 0, ,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 Si puo' notare che sin e hanno nelle immediate vicinanze do 0 lo stesso comportamento, in simboli In modo analogo si ha sin 1 0 tg 1 0 Si dice che le funzioni sin e tg sono infinitesimi del 1 ordine, o in altre parole che, nelle vicinanze dell'origine, si possono approssimare con la funzione Consideriamo ora la funzione sin tg in un intorno di (0) e 1 che per 0 e' un infinitesimo. 3

14 e 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,105 0, ,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 Si puo' notare che e 1 e hanno lo stesso comportamento, nelle immediate vicinanze dello 0, per cui si pio' concludere che anche e 1 e' un infinitesimo del 1 ordine. In generale, si dice che una funzione f() e' un infinito per a, quando f( ) ± ed e' un infinitesimo per a quando f( ) 0 a Anche in tal caso si puo' stabilirne l'ordine di infinito o infinitesimo confrontandole rispettivamente con 1 n n e ( a) ( a) a 33