Lezione 6. 1 Ottobre ore (continua dalla lezione precedente limiti di funzione... )

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1 Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari, anno accademico 2014/15 Corso di Matematica e Statistica I Lezione 6. 1 Ottobre ore continua dalla lezione precedente iti di funzione... Il calcolo dei iti si avvale della seguente tabella operativa che permette quasi sempre di calcolare i iti in questione i ±g = ± g ii c = c iii g = g iv g = g Notiamo che può essere inteso con 0 R, ma anche come. Inoltre, poichè i iti ± possono essere ±, occorre chiarire che + + = +, =, L± = ±, L ± = 0, ± = ± se L > 0, L ± = ± se L > 0 L mentre sono indeterminati da determinare di volta in volta i casi +, 0 ±, ± ±, 0 0, L 0. Casi tipici sono quelli relativi alle funzioni razionali come si vede dall esempio che produce una forma indeterminata del tipo. In questo caso basta notare = = + visto che il fattore in parentesi tende ad 1. In generale se P n e Q m sono due polinomi di gradi rispettivi n ed m, supponendo che i rispettivi coefficienti di grado massimo a n e b m siano entrambi positivi, si ha Infatti, come esempi abbiamo + P n Q m = 0 se n < m a n b m se n = m + se n > m = 0, = 1 2, = +. Forme indeterminate Abbiamo visto nella lezione precedente che la tabella operativa per il calcolo dei iti può portare a forme indeterminate che bisogna analizzare caso per caso, come negli esempi considerati. Altri esempi tipici li abbiamo già incontrati, ad esempio nel considerare la funzione = sin 1

2 che per 0 produce la forma indeterminata 0, ma per la quale si ha 0 A questo caso si riconducono anche i seguenti del tipo 0 sin = sin 1 +, che, ponendo y = 1, si riducono a + 2 sin 1, + sin 1 2. siny 1 siny = 1, = +, y siny2 y 0 y y 0 y y y 0 y 2 = 0. In generale, la risoluzione di forme indeterminate si appoggia a metodi tecniche e risultati teorici. Qui di seguito elenchiamo alcune regole che in fondo abbiamo già utilizzato appoggiandoci all intuizione che possono aiutare Tre regole d oro Regola di confronto Se g allora g. Regola di Pinocchio Se h g e = g = L, allora anche h = L. Regola di composizione Se g = l e l = L, allora anche f g = L. Un esempio importante di utilizzo delle regole precedenti è il calcolo del ite 1 già incontrato. Infatti partendo dalla diseguaglianza geometrica sin < < tan si ha cos < sin < 1 e quindi, per la regola di Pinocchio sin 0 = 1. Aggiungiamo che la regola di composizione interviene continuamente per ridurre il calcolo di un ite a una serie di casi più semplici. Ordine di convergenza Osserviamo che possiamo confrontare funzioni diverse nel modo in cui raggiungono il convergendo o divergendo loro ite. Precisamente si dice che una funzione converge per 0 oppure per ± al ite L, più velocemente della funzione g, anch essa convergente ad L, se risulta L g L = 0 L oppure ± g L = 0 2

3 Possiamo anche confrontare funzioni che tendono a divergono. Infatti Si dice che tra le due funzioni divergenti e g, la diverge più rapidamente, se risulta g = + oppure ± g = + Poi, ancora, si dice che due funzioni e g convergono oppure divergono allo stesso ordine se L g L = l 0, oppure g = L 0 Spesso, come termine di riferimento con cui confrontare l andamento di una funzione, si usano le funzioni potenza c n = n per ±, c n = 0 n per 0 In questo contesto, abbiamo che, per +, la funzione esponenziale = e e la funzione logaritmo = ln sono gli infiniti cioè le funzioni che hanno + come ite rispettivamente più forte e più debole. Infatti qualunque sia l intero n e + n = +, ln n = 0. + Vale la pena mostrare un paio di esempi per illustrare quello che può succedere. Consideriamo infatti le funzioni = , g = per le quali Poiché abbiamo = g = = , g 1 = g 1 = = 5 e dunque le due funzioni convergono con lo stesso ordine. Se modifichiamo la prima funzione ponendo abbiamo invece e la converge più rapidamente di g. = g 1 = = 0 Continuità Riprendiamo ora il concetto di continuità introdotto nella lezione precedente La funzione : R R è continua in 0 se = f 0 Le proprietà e le regole relative ai iti portano alle seguenti Se e g sono continue in 0 allora sono continue in 0 anche ±g, g, g se g 0 0 3

4 Se g è continua in 0 e è continua in g 0, allora f g è continua in 0 che aiutano a determinare la continuità di una funzione a partire dalla continuità di funzioni elementari. ESERCIZI ESERCIZIO 6.1 Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali delle funzioni:. = 2 3 g = h = log 1 k = ESERCIZIO 6.2 Determinare il ite per 0 + della seguente funzione ESERCIZIO 6.3 Calcolare i seguenti iti 2 +2 = Cosa rappresentano le rette = 2 e = 2 per la funzione = 2 2 4? ESERCIZIO 6.4 Considerata la funzione = 2 +3ln identificare il dominio naturale; calcolare,, ; determinare eventuali discontinuità della funzione. ESERCIZIO 6.5 Calcolare il ite per + e per delle seguenti funzioni: f 1 = f 2 = 2 sin 2 4 f 3 = e f 4 = sin 1 cos2 f 5 = 2 e e 2 f 6 = e 2 + e 3 ESERCIZIO 6.6 Calcolare i seguenti iti ± , +1 ± , ESERCIZIO 6.7 Calcolare i iti ± , ± 2 1 2sin , 2 sin , + e +1 15e

5 ESERCIZIO 6.8 Considerate le funzioni = 3 2 e g = Esiste un asintoto orizzontale comune? Quale delle due funzioni vi converge più velocemente? ESERCIZIO 6.9 Per ogni coppia delle seguenti funzioni: a =, g = 2; b =, g = 2 ; c = log 2, g = log 2 2; d = 3, g = 3 2 ; dire quale delle due diverge più rapidamente per +, ovvero se divergono allo stesso ordine. ESERCIZIO 6.10 Le funzioni f 1 =, f 2 = +3, f 3 = 2, f 4 = 2 2, f 5 = , sono tutte divergenti per +. Classificarle in base alla velocità con cui divergono, dalla meno veloce alla più veloce. ESERCIZIO 6.11 Per +, determinare l ordine di convergenza a 0 delle seguenti funzioni: = , g = e 1, h = e 2 e 2. ESERCIZIO 6.12 Due popolazioni diverse si sviluppano nel tempo secondo le due seguenti leggi di crescita N 1 t = t t+1, N 2 t = t 2 t 2, +1 che rappresentano il numero di individui delle due popolazioni al tempo t. Mostrate che a lungo termine le due popolazioni raggiungono la stessa abbondanza stesso numero di individui e individuate la specie che si stabilizza più rapidamente. Quale delle due specie è inizialmente più rapida nella crescita? Perché? Questi e altri esercizi, insieme ad appunti, avvisi e istruzioni, si trovano sul sito del corso all indirizzo iannelli/ corsi/elenco corsi html 5